第二十七章 相似三角形 （A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第二十七章 相似 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，6cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 2．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 3．如图，，，中， ，则边的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．本题证明，再由性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴， ∴； 故选A． 5．已知和中，，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意，易得，根据相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的周长之比为； 故选B． 6．如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段乘比例，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴； 故选B． 7．如图，已知，，则的长为（    ） A． B．6 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，根据，得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得 故选：B 8．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 9．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①利用直角三角形度角的性质即可解决问题；②根据两角相等两个三角形相似即可判断；③通过计算证明，即可判断；④利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴与不相似，故③错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．线段8cm、5cm的比例中项是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据定义可得，即可求解；掌握定义“如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c 之间有，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．”是解题的关键． 【详解】解：设比例中项为，由题意得 ， 解得：，（舍去）， 故答案：． 12．如图，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 13．已知小颖身高，她的影子长度．若与此同时，小东的影子比小颖的影子长，则小东的身高是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比例是解答此题的关键． 设小东的身高为，根据三角形相似的性质得出同一时刻同一地点物体的高度和影长的比相等得出，求解即可． 【详解】解：设小东的身高为, 由题意得，， 解得：， 故答案为：． 14．若满足 且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，代数式求值，根据可设，，，代入求出的值，进而确定出的值，再代入代数式计算即可求解，根据比例假设出未知数是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15．如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么 ． 【答案】6 【分析】由四边形是矩形，得到，， ，，因为，所以证明四边形是矩形，然后，因为，所以证明，列式代入数值，进行计算，即可作答．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．关键是由平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ∵于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于，， ∴， ∴分别是的高， ∵， ∴设， ∵， ∴， ， ， 即， 解得， 故答案为：6． 16．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置，则图2中当时，的值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．（8分）已知，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据可得，即可求解． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， 18．（8分）如图，在中，为上一点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据一对三角形中有两组角对应相等即可判断两个三角形相似，据此即可作答． 【详解】解：，， ， ， ． 19．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，直线经过两点． (1)四边形是一个轴对称图形，其对称轴为直线，请将四边形补充完整； (2)将缩小后得到（点均在格点上），则与的比值为______． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题考查图形的轴对称及勾股定理． （1）先在图上找到点关于直线的对称点，再连接即可； （2）先用勾股定理分别计算出，再算比值即可． 【详解】（1）解：四边形如图所示； （2）由网格和勾股定理得 ， ． 故答案为：2． 20．（8分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 21．（8分）如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接． (1)求的长；（结果保留根号） (2)点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． （1）只要证明是等边的高即可解决问题； （2）由，可得，推出，又，即可推出； 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． （2）证明：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 22．（10分）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N 为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t 的值； 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； 【详解】（1）解：在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）解：是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂线交于， 则，， ∴，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂线交于， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形． 23．（10分）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度． 【答案】大雁塔的高度为64米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，可证，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：大雁塔的高度为64米． 24．（12分）如图，为等腰的边所在直线上一点．    (1)如图1，过点作交延长线于点，为的中点，连接，，试判断与的关系，并说明理由； (2)点与点关于对称， ①如图2，连接，作交于点，为的中点，连接，求证：； ②如图3，将绕点顺时针旋转至，直线与直线交于点，连接，若，直接写出的最小值为______． 【答案】(1)与的数量关系：，位置关系： (2)①证明见解析；② 【分析】（1）运用斜边上的中线等于斜边的一半可得；利用三角形外角的性质和等边对等角分别证明，，在结合，可得，从而证明，再总结结论即可； （2）①连接，可证，在中，，有，在中，，有，有，再根据为公共角，可证∽，则有，则； ②先证明点G在以O为圆心，为直径的圆上，从而得到当点D、G、O三点共线，且点G在D、O之间时，有最小值，分别求出和，从而得解． 【详解】（1）解：（1）与的数量关系：，位置关系：，理由如下： 依题意得：，即， 在中，为的中点， ∴， ∴，， 在中，为的中点，， ∴ ， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴，即， 综上所述：与的数量关系：，位置关系：； ∴； （2）解：①连接，    ∵点与点关于对称， ∴， ∴，， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴也是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴∽， ∴， ∴． ②依题意可知：，，， ∴， ∴， ∴， 取的中点为O，则， ∴点G在以O为圆心，AC为直径的圆上，作圆如下图所示， ∴当点D、G、O三点共线，且点G在D、O之间时，有最小值，如下图点所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，6cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm 2．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，中， ，则边的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 4．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知和中，，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，则的长为（    ） A． B．6 C．5 D．以上都不对 8．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．线段8cm、5cm的比例中项是 cm． 12．如图，若，则 ． 13．已知小颖身高，她的影子长度．若与此同时，小东的影子比小颖的影子长，则小东的身高是 ． 14．若满足 且，则的值为 ． 15．如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么 ． 16．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置，则图2中当时，的值为 ． 3、 解答题：共8题，共72分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．（8分）已知，，，，求的长． 18．（8分）如图，在中，为上一点，． 求证：． 19．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，直线经过两点． (1)四边形是一个轴对称图形，其对称轴为直线，请将四边形补充完整； (2)将缩小后得到（点均在格点上），则与的比值为______． 20．（8分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 21．（8分）如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接． (1)求的长；（结果保留根号） (2)点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：． 22．（10分）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N 为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t 的值； 23．（10分）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度． 24．（12分）如图，为等腰的边所在直线上一点．    (1)如图1，过点作交延长线于点，为的中点，连接，，试判断与的关系，并说明理由； (2)点与点关于对称， ①如图2，连接，作交于点，为的中点，连接，求证：； ②如图3，将绕点顺时针旋转至，直线与直线交于点，连接，若，直接写出的最小值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$