九年级数学第三次月考测试卷【华东师大版，测试范围：第二十一章～第二十四章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题。 2．测试范围：二次根式~解直角三角形（华东师大版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1 2．（4分）配方法解方程2x2x﹣2＝0应把它先变形为（　　） A．（x）2 B．（x）2＝0 C．（x）2 D．（x）2 3．（4分）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，则AC等于（　　） A．6 B．12 C． D． 6．（4分）如图，点G是△ABC的重心，AD＝6，则GD的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1.5 7．（4分）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点A（2，3）和B（1，﹣1），并且知道藏宝地点的坐标是（3，2），则藏宝处应为图中的（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．（4分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a：b，则（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2 10．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）已知线段a＝2，b＝8，若线段c是线段a，b的比例中项，则c＝　 　． 12．（4分）△ABC与△DEF是相似三角形，且对应面积比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为 　 　． 13．（4分）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　 　m．（结果保留根号） 14．（4分）如图，一农户要建一个80m2的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为x m，则根据题意列方程为 　 　． 15．（4分）如图，在Rt△AOB中，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO：BO＝1：2，若点A在反比例函数y上，则经过点B的反比例函数为 　 　． 16．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝11，点D在AC边上，E为BD中点，∠CED＝60°，则AD的长为　 　． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17．（8分）计算：6cos45°|5|﹣（π﹣2）0． 18．（8分）先化简再求值（），其中a2． 19．（8分）解方程：（x+1）（x﹣3）＝6． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，且CD＝CA，过点D作DE⊥AB．交BC于点E．求证：△CDE∽△CBD． 21．（9分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F． （1）在图中画出△DEF； （2）点E是否在直线OA上？为什么？ （3）△OAB与△DEF　 　位似图形（填“是”或“不是”）． 22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使AE⊥BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，求证：AC•CD＝DE•BC． 23．（10分）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐EA＝6米，屋顶E到支点C的距离EC＝5.4米，墙体高CF＝3.5米，屋面坡角∠ECD＝28°． （1）求房屋内部宽度FG的长； （2）求点A与屋面FG的距离． （以上结果均精确到0.1米．参考数值：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 24．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AH⊥BC于H，HC＝CD，AH＝2，AD＝1，点E在边DC上，联结BE分别交AH、DH于点M、N． （1）求线段CD的长； （2）当DEBH时，设BH＝x，HM＝y，求y关于x的函数解析式． 25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．动点P、Q分别从O、B同时出发，其中点P以每秒4个单位的速度沿OB向终点B运动，点Q以每秒5个单位的速度沿BA向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）连结PQ，若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似，求t的值； （2）连结AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△AOB的一条中位线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题。 2．测试范围：二次根式~解直角三角形（华东师大版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1 【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的性质得出答案． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选：B． 2．（4分）配方法解方程2x2x﹣2＝0应把它先变形为（　　） A．（x）2 B．（x）2＝0 C．（x）2 D．（x）2 【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：方程2x2x﹣2＝0变形得：x2x＝1， 配方得：x2x，即（x）2． 故选：D． 3．（4分）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意； B、1×6＝2×3，所以B选项符合题意； C、2×4≠2×3，所以C选项不符合题意； D、1×5≠3×4，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】先判断出A的取值范围，再根据sin60°解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A为锐角． ∵sin60°， ∴A＝60°． 故选：C． 5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，则AC等于（　　） A．6 B．12 C． D． 【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝2BC＝12，再根据勾股定理，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝12， ∴AC6． 故选：C． 6．（4分）如图，点G是△ABC的重心，AD＝6，则GD的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1.5 【分析】三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．由此得到DGAD，即可求出DG的长． 【解答】解：∵点G是△ABC的重心， ∴DG：AG＝1：2， ∴DGAD6＝2． 故选：B． 7．（4分）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点A（2，3）和B（1，﹣1），并且知道藏宝地点的坐标是（3，2），则藏宝处应为图中的（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【解答】解：如图所示： 藏宝处应为图中的M点． 故选：A． 8．（4分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】要求cos∠AOB的值，连接AD，CD，根据勾股定理可以得到OD＝AD，则OC是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解． 【解答】解：连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到： OD＝AD，OC＝AC，∠OCD＝90°． 则cos∠AOB．故选D． 9．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a：b，则（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2 【分析】由AD＝OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，求得△ABC与△DEF的面积之比，求得． 【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA， ∴AB：DE＝OA：OD＝1：2， ∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4， ∴， ∴． 故选：B． 10．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME， ②利用相似三角形的性质可得∠NAE＝∠AEN＝45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断； ③先证明CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，表示AC的长为AO+OC可作判断； ④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判断； ⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF＝CF＝a，AFa，想办法求出BE，EC即可判断． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°， ∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴， ∴， ∵∠AMB＝∠EMN， ∴△AMB∽△NME，故①正确， ∴∠AEN＝∠ABD＝45° ∴∠NAE＝∠AEN＝45°， ∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确， 在△ABE和△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD， ∴CE＝CF， 假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x， 如图2，连接AC，交EF于O， ∵AE＝AF，CE＝CF， ∴AC是EF的垂直平分线， ∴AC⊥EF，OE＝OF， Rt△CEF中，OCEFx， △EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°， ∴OE＝BE， ∵AE＝AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）， ∴AO＝AB＝1， ∴ACAO+OC， ∴1x， x＝2， ∴，故③不正确， ③如图3， ∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH， ∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE， ∵∠ABE＝∠ABH＝90°， ∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故④正确， 如图4中，设正方形的边长为2a，则DF＝CF＝a，AFa， ∵DF∥AB， ∴， ∴AN＝NEAFa， ∴AEANa ∴BEa， ∴ECaBC，故⑤正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）已知线段a＝2，b＝8，若线段c是线段a，b的比例中项，则c＝　4　． 【分析】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值． 【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c＝4． 故答案为：4． 12．（4分）△ABC与△DEF是相似三角形，且对应面积比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为 　2：3　． 【分析】由△ABC与△DEF相似且面积的比为4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积的比为4：9， ∴△ABC与△DEF的相似比为：2：3， ∴△ABC与△DEF周长的比为：2：3． 故答案为：2：3． 13．（4分）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　8　m．（结果保留根号） 【分析】根据AB的坡度为1：，AB＝8，可得AE的长，再根据AB改为坡度为1：2可以求出PE的长，根据勾股定理即可求出新坡面AP． 【解答】解：∵AB的坡度为1：，AB＝8， 设AE＝a，则BEa， ∴ABa＝8，故a＝8， 在Rt△APE中，坡度为1：2， ∴PE＝2a，故APa＝8． 故答案为：8． 14．（4分）如图，一农户要建一个80m2的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为x m，则根据题意列方程为 　x（26﹣2x）＝80　． 【分析】根据各边之间的关系，可得出猪舍平行于墙的边为（26﹣2x）m，根据猪舍面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵另外三边用25m长的建筑材料围成，且猪舍垂直于墙的边为x m， ∴猪舍平行于墙的边为25+1﹣2x＝（26﹣2x）（m）， 又∵猪舍面积为80m2， ∴x（26﹣2x）＝80． 故答案为：x（26﹣2x）＝80． 15．（4分）如图，在Rt△AOB中，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO：BO＝1：2，若点A在反比例函数y上，则经过点B的反比例函数为 　y　． 【分析】作BC⊥x轴，作AD⊥x轴可得△BCO∽△ODA，继而得到，根据S△AOD，求出S△BCO＝2，继而得到点B所在的反比例函数解析式． 【解答】解：如图，作BC⊥x轴，垂足为C，作AD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCO＝∠ODA，∠BOC＝∠OAD， ∴△BCO∽△ODA， ∴， ∵S△AOD， ∴S△BCO＝2， 设经过点B的反比例函数为 y， ∴丨k丨＝2S△BCO＝2×2＝4， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣4， ∴点B所在的反比例函数解析式为：y． 故答案为：y． 16．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝11，点D在AC边上，E为BD中点，∠CED＝60°，则AD的长为　4　． 【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，可以得到BF、DG、BD和CD的关系，再根据勾股定理和锐角三角函数，即可求得AD的长． 【解答】解：截取AF＝AD，DG＝DE，如图所示， ∵∠BAC＝60°，∠CED＝60°， ∴△AFD和△DEG是等边三角形， 设AF＝x，DE＝y，则BF＝6﹣x，CD＝11﹣x， ∵∠AFD＝60°，∠DGE＝60°， ∴∠BFD＝∠DGC＝120°， ∵∠ADF＝60°，∠EDG＝60°， ∴∠BDF+∠CDG＝60°， ∵∠DGE＝60°， ∴∠CDG+∠DCG＝60°， ∴∠BDF＝∠DCG， ∴△BDF∽△DCG， ∴， 即， ∴2y2＝（6﹣x）（11﹣x）①， 作BH⊥AD于点H， ∵A＝60°， ∴BH＝AB•sin60°＝3，AH＝AB•cos60°＝3， ∴DH＝x﹣3， ∵∠BHD＝90°， ∴BD2＝BH2+DH2， 即（2y）2＝（3）2+（x﹣3）2②， 由①②可得，x＝4或x＝24（舍去）， 即AD的长为4， 故答案为：4． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17．（8分）计算：6cos45°|5|﹣（π﹣2）0． 【分析】根据特殊角的三角函数值、立方根、绝对值、零指数幂的运算法则分别计算即可． 【解答】解：6cos45° ． 18．（8分）先化简再求值（），其中a2． 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（） ＝[] ， 当a2时，原式． 19．（8分）解方程：（x+1）（x﹣3）＝6． 【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：方程整理得：x2﹣2x﹣9＝0， 这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣9， ∵△＝4+36＝40＞0， ∴x1±， 则x1＝1，x2＝1． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，且CD＝CA，过点D作DE⊥AB．交BC于点E．求证：△CDE∽△CBD． 【分析】根据直角三角形的性质及垂直定义求出∠A+∠B＝90°，∠ADC+∠CDE＝90°，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ADC，进而求出∠CDE＝∠B，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【解答】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， ∵CD＝CA， ∴∠A＝∠ADC， ∴∠CDE＝∠B， 又∵∠DCE＝∠BCD， ∴△CDE∽△CBD． 21．（9分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F． （1）在图中画出△DEF； （2）点E是否在直线OA上？为什么？ （3）△OAB与△DEF　是　位似图形（填“是”或“不是”）． 【分析】（1）根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案； （2）求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上； （3）利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系． 【解答】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求； （2）点E在直线OA上， 理由：设直线OA的解析式为：y＝kx， 将A（3，2）代入得：2＝3k， 解得：k，故直线OA的解析式为：yx， 当x＝6时，y6＝4， 故点E在直线OA上； （3））△OAB与△DEF是位似图形． 故答案为：是． 22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使AE⊥BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，求证：AC•CD＝DE•BC． 【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可； （2）因为BD⊥AC，AE⊥BC，则∠AEC＝∠BDC＝90°，又因为∠C＝∠C，推出△AEC∽△BDC，则，又因为AB＝AC，AE⊥BC，则点E是BC的中点，推出，则，推出AC•CD＝DE•BC． 【解答】（1）解：如图，点E即为所求． （2）证明： ∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠BDC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△AEC∽△BDC， ∴， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴点E是BC的中点， ∴， ∴， ∴AC•CD＝DE•BC． 23．（10分）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐EA＝6米，屋顶E到支点C的距离EC＝5.4米，墙体高CF＝3.5米，屋面坡角∠ECD＝28°． （1）求房屋内部宽度FG的长； （2）求点A与屋面FG的距离． （以上结果均精确到0.1米．参考数值：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 【分析】（1）如图，过E作EO⊥CD，交CD于点O，交FG于点H．运用三角函数解直角三角形可得CO＝4.752，然后再根据等腰三角形的性质可得CD＝2CO≈9.5，然后再根据矩形的性质即可解答； （2）如图，过A作AI⊥EH，交EH于点I．再解直角三角形可得EI＝2.82、EO＝2.538，然后再根据EH＝EO+OH求得EH，最后根据IH＝EH﹣EI即可解答． 【解答】解：（1）解：如图，过E作EO⊥CD，交CD于点O，交FG于点H． 则在Rt△CEO中，CO＝CE⋅cos∠ECO＝5.4×cos28°＝4.752（米）． ∵△ECD是等腰三角形， ∴CD＝2CO≈9.5（米）． ∵四边形CDGF是矩形， ∴FG＝CD＝9.5（米）． （2）如图，过A作AI⊥EH，交EH于点I． 在Rt△EAI中，EI＝AE•sin∠EAI＝6×sin28°＝2.82（米）． 在Rt△ECO中，EO＝CE•sin∠ECO＝5.4×sin28°＝2.538（米）， ∴EH＝EO+OH＝EO+CF＝6.038（米）， ∴IH＝EH﹣EI＝3.218≈3.2（米）， 即点A到屋面FG的距离约为3.2米． 24．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AH⊥BC于H，HC＝CD，AH＝2，AD＝1，点E在边DC上，联结BE分别交AH、DH于点M、N． （1）求线段CD的长； （2）当DEBH时，设BH＝x，HM＝y，求y关于x的函数解析式． 【分析】（1）过点C作CF⊥HD于F，先计算出，再根据等腰三角形的性质得，然后证△ADH和△FHC相似，进而利用相似三角形的性质可得CF的长，最后利用勾股定理可求出CH的长，进而可得出答案； （2）过点E作EP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q，由，BH＝x得，，证四边形AHQD为矩形得DQ＝AH＝2，再证△CPE和△CQD相似得，进而得，，最后再证△BHM和△BPE相似，利用相似三角形的性质即可得出y关于x的函数解析式． 【解答】解：（1）过点C作CF⊥HD于F， ∵AD∥BC，AH⊥BC， ∴AH⊥AD， 在Rt△ADH中，AH＝2，AD＝1， 由勾股定理得：， ∵HC＝CD，CF⊥HD， ∴， ∵AH⊥BC，CF⊥HD， ∴∠AHC＝∠CFH＝90°， ∴∠AHD+∠DHC＝∠DHC+∠FCH， ∴AHD＝∠FCH， 又AH⊥AD， ∴∠HADF＝∠CFH＝90°， ∴△ADH∽△FHC， ∴AD：HF＝AH：CF， ∴AD•CF＝HF•AH， 即：， ∴， 在Rt△HCF中，，， 由勾股定理得：， ∴CD＝CH＝2.5． （2）过点E作EP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q， ∵BH＝x，， ∴， 由（1）可知：CD＝HC＝2.5， ∴， ∵AH⊥BC，AH⊥AD，DQ⊥BC，AD∥BC， ∴四边形AHQD为矩形， ∴DQ＝AH＝2， ∵EP⊥BC，DQ⊥BC， ∴EP∥DQ， ∴△CPE∽△CQD， ∴EC：CD＝EP：DQ， 即：EP•CD＝DQ•EC， 即：， ∴， 在Rt△CEP中，，， 由勾股定理得：， ∵BP＝BH+CH﹣CP， 即：， ∵AH⊥BC，EP⊥BC， ∴AH∥EP， ∴△BHM∽△BPE， ∴BH：BP＝HM：EP， ∴HM•BP＝BH•EP， 即：， 整理得：． 25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．动点P、Q分别从O、B同时出发，其中点P以每秒4个单位的速度沿OB向终点B运动，点Q以每秒5个单位的速度沿BA向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）连结PQ，若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似，求t的值； （2）连结AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△AOB的一条中位线上． 【分析】（1）若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似时，则存在∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，则cosB，即可求解； （2）在Rt△OAH中，tan∠PAO×tan∠QOA＝1，即可求解； （3）证明：由中点坐标公式得，PQ的中点坐标为：（，4），则PQ的中点在OB的中垂线上，即可求解． 【解答】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则点A、B的坐标：（6，0）、（0，8）， 则AB＝10， 由题意得，OP＝4t，BQ＝5t，则PB＝8﹣4t， 若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似时， 则存在∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°， 则cosB， 即或， 解得：t＝1或； （2）解：由（1）知，BQ＝5t， 过点Q作QN⊥y轴于点N， 则BN＝BQcosB＝5t4t，则NQ＝3t， 则点Q（3t，8﹣4t）， 设AP交OQ于点H， 在Rt△OAH中，tan∠PAO×tan∠QOA＝1， 由点A、P、Q的坐标得，tan∠PAO×tan∠QOA1， 解得：t＝0（舍去）或； （3）证明：由中点坐标公式得，PQ的中点坐标为：（，4）， 则PQ的中点在OB的中垂线上， 即PQ的中点在△AOB的一条中位线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$