第7章 用锐角三角函数解决实际问题压轴训练（单元复习 6压轴）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第7章 用锐角三角函数解决实际问题压轴训练 01 思维导图 目录 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 1 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 9 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 15 压轴题型四　解直角三角形应用与三角形的综合 22 压轴题型五　解直角三角形应用与四边形的综合 27 压轴题型六　解直角三角形应用与其他图形的综合 34 02 压轴题型 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 例题：（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 4．（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 2．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 例题：（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 巩固训练 1．（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 2．（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 压轴题型四　解直角三角形应用与三角形的综合 例题：中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 巩固训练 1．露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 2．油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时． (1)　 　，　 　； (2)求线段的长；（结果保留整根号） (3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 压轴题型五　解直角三角形应用与四边形的综合 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北衡水·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 2.如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且． 当点P向下滑至点N处时，测得时 求滑槽MN的长度； 此时点A到直线DP的距离是多少？ 当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？ 结果精确到，参考数据 3.某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 4.图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 压轴题型六　解直角三角形应用与其他图形的综合 例题：（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 巩固训练 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． (1)求点D到的距离；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到，参考数据） 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）     (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 3．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 5．（24-25九年级上·山东济南·期中）数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 (1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； (2)如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 用锐角三角函数解决实际问题压轴训练 01 思维导图 目录 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 1 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 9 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 15 压轴题型四　解直角三角形应用与三角形的综合 22 压轴题型五　解直角三角形应用与四边形的综合 27 压轴题型六　解直角三角形应用与其他图形的综合 34 02 压轴题型 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 例题：（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)5米 (2)17.1米 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； （2）解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 4．（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 【答案】不能．理由见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点D，求出C到的距离为并与比较即可得出结论． 【详解】解：不能．理由如下： 由题意可得， 设C到的距离为，如图，过点C作于点D， 则， 则有， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴不穿过文物保护区． 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】(1)小山与亭台之间的距离米 (2)小玲先到达寺庙处 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【详解】（1）作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 （2）延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 2．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为 (2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可． （1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果； （2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M， 由题意可知：中，，， ， ， 在中，，， ， ， 答：B点与糖所在位置C点之间的距离为； （2）如图，过点C作与点N， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为． 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 例题：（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 巩固训练 1．（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 2．（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为； (2)纪念碑的实际高度为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角和坡度坡比问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由坡度的定义和勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作于交于，四边形、四边形是矩形，求出的长，再由三角函数定义求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 答：到三楼地面的高度为． （2）如图，过点作于点，过点作于交于， 由题意可知，，四边形、四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ． 答：日光灯到三楼地面的高度为． 压轴题型四　解直角三角形应用与三角形的综合 例题：中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）如图，过E作，交于点O，交于点H，则，运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答； （2）如图，过A作，交于点I．再解直角三角形可得的长，然后再求得，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则， 则在中， (米)， ∵是等腰三角形， ∴ (米)． ∵四边形是矩形， ∴(米)； （2）解：如图，过A作，交于点I． 在中， (米)， 在中， (米)， ∴ (米)， ∴(米)， 即点A到屋面的距离约为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 巩固训练 1．露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得； （2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴平分，， ∵， ∴， 在中，， ∵米， ∴米， 则米， 故遮阳宽度为米．    （2）∵在中，， ∴米， 当从变为， 如图所示：旋转到， 则， 过点作交于点H，则， ∵在中，， ∴米， ∵， ∴米， ∴O点下降到H点的距离为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算． 2．油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时． (1)　 　，　 　； (2)求线段的长；（结果保留整根号） (3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证明，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：（2）过点B作，垂足为E， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴线段的长为； （3）解：（3）∵， ∴， ∴， 解得：， ∴最少需要准备长的伞柄． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 压轴题型五　解直角三角形应用与四边形的综合 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北衡水·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 2.如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且． 当点P向下滑至点N处时，测得时 求滑槽MN的长度； 此时点A到直线DP的距离是多少？ 当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？ 结果精确到，参考数据 【答案】（1）①；②（2） 【分析】（1）①作于H，由得出，进而求出MN； ②点A到直线DP的距离是； （2）当点P向上滑至点M处时，是等边三角形，作于G，求CG，即可求出结果． 【详解】解：当点P向下滑至点N处时，如图1中，作于H． ， ， ，即， ， ， ． 滑槽MN的长度为． 根据题意，点A到直线DP的距离是． 当点P向上滑至点M处时，如图2中，是等边三角形， ， 作于G，则， 此时点A到直线DP的距离是， ， ∴点A在相对于的情况下向左移动的距离是．   【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键． 3.某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2) 【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形； （2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，由旋转性质得， ∴， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．    ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， 由平行线的性质知， ∴， ∴， 即点到水平地面的距离约为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形． 4.图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 【答案】(1)四边形是菱形，详见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论； （2）作于点M，解，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形  ， 理由：正方形与正方形的面积相等， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形 ． （2）解：作于点M，    在中，， ，得  ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键． 压轴题型六　解直角三角形应用与其他图形的综合 例题：（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H， ， ， ， 答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为． （2）解：过点C作于点P，于点K， ， ， ， ， ， ， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 巩固训练 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． (1)求点D到的距离；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到，参考数据） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,涉及矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过D点作DE⊥OC于E点，在，先求得，，然后利用锐角三角函数求解即可； （2）过D点作于F点，证明四边形是矩形得到，，，进而得到，求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解． 【详解】（1）解：过D点作于E点，则 ， 在中， ∵， ∴， 答：点D到的距离为； （2）解：过D点作于F点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴(cm)， 即的长度为． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）     (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 3．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长，交于点，根据题意得出，通过解求得，根据与3比较即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，， ， 又， ， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 5．（24-25九年级上·山东济南·期中）数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 (1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； (2)如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1)； (2)． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，在中，， ， ， 的长为； （2）解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$