第7章 锐角三角函数归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第7章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角（或方位角） 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 五、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 六、解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 03 题型归纳 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 4．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正切的概念辨析、余弦的概念辨析、正弦的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 【答案】 【知识点】三线合一、圆周角定理、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、坐标与图形、正弦的定义等知识点，正确如图：作的外接圆，将求转换为求成为解题的关键． 如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到，然后根据勾股定理结合网格可得、，最后根据正弦的定义求得即可． 【详解】解：如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆， 由圆周角定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，连接和，通过证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明，再根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接和， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 设小正方形的边长为1， 则,，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求角的余弦值 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】7 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、求角的正切值 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识；连接，延长交于E，证明四边形是矩形，根据矩形的性质分别求出，，再根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于E， 将矩形绕点C顺时针旋转， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 的正切值为， 故答案为：7． 题型三　已知正弦值、余弦值、正切值求边长 例题：（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】4 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 2．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题、已知余弦求边长 【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题． 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点， 则四边形是矩形． ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折后，点落在点， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】利用矩形的性质证明、已知正弦值求边长 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查折叠的性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．过，设与交于，根据折叠的性质得垂直平分，再由菱形的性质得，再根据正切函数的定义得出，设则，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】过，设与交于， 有折叠可知，垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 【答案】3或21 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 题型四　特殊角的三角函数值的混合运算 例题：（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值等知知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行特殊角的三角形函数值运算、算术平方根运算、零指数幂运算，再进行乘方和乘法运算，然后相加减即可； （2）首先进行负整数指数幂运算、特殊角的三角形函数值运算以及化简绝对值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型五　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例题：（2024·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 2．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 4．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状、等边三角形的判定、绝对值非负性 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型六　解直角三角形的相关计算 例题：（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，设，则，列方程求出x值，即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ， ， ， ∵， 设，则， ， ， 设，则， ， ∵． ∴， 解得：， ， ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，求边的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形及相似三角形的性质与判定． （1）过D作于点E，由等腰三角形的性质可得，再结合求出，，最后根据求解即可； （2）过点B作于点F，则，得到，求出，，再证明，得到，最后根据求解． 【详解】（1）解：如图，过D作于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点B作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）直接利用正弦函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用正切函数的定义求解即可； （3）作的平分线，作于点，证明，求得，，设，则，在中，由勾股定理得列式计算求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：作的平分线，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角（或方位角） 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 五、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 六、解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 03 题型归纳 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则的值为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 题型三　已知正弦值、余弦值、正切值求边长 例题：（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，则的长度为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 2．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 题型四　特殊角的三角函数值的混合运算 例题：（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 题型五　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例题：（2024·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 2．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 4．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 题型六　解直角三角形的相关计算 例题：（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，求边的长． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$