第7章 锐角三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第7章 锐角三角函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．由特殊角的三角函数值，即可得的值． 【详解】解：∵为锐角，且， ∴， ∴由特殊角的三角函数值可知，， 故选：B． 2．在中， ， ， ， 则的值为（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】根据三角函数的定义可知，将已知条件代入计算即可． 本题主要考查了三角函数的定义，直角三角形中，如果锐角的大小确定，则．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图 ∵中， ， ， ， 则． 故选：A． 3．已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、求角的余弦值 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 4．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求角的正弦值 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵ ∴是的直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选 5．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键． 根据锐角的余弦的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， 千米， 故选：C． 6．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ， ． 【答案】 / 1 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 8．有一斜坡的坡角为，坡长为米，那么斜坡的高为 ． 【答案】米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握是解题的关键． 如图，由题意知，，，则，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故答案为：米． 9．在中，，，那么 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先由勾股定理得，根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为: ． 10．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【知识点】绝对值非负性、三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【答案】3 【知识点】勾股定理与网格问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形．将点与图中的格点连接，再连接，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 因为， 所以， 所以． 故答案为：3． 12．已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、正弦、余弦的定义等知识点，掌握正弦、余弦的定义成为解题的关键． 化简可得，即是直角三角形，且为直角；再由可得，设，则，由勾股定理可得，最后根据三角形函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且为直角， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，中，，平分，，，连接，当时， ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过点D作于H，连接，则，证明得到，设，则，可得，则，由勾股定理得到，，由角平分线的性质得到，再由，推出，则，解得，再证明，则． 【详解】解；如图所示，过点D作于H，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 14．如图，分别与相切于点A，B，直线与交于点C，D，连接．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、求角的正弦值 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识．连接．根据切线的性质得到，则，得到，，则，则，勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案 【详解】解：连接． 分别与相切， ， ， ． 设，则， ， ， ． 故答案为： 15．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 16．在等腰直角三角形中，，，点是直线上一点，且，连接，过点作直线于，交直线于点，则的值为 ． 【答案】3或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】分两种情况当①点D在线段上时 ，作交的延长线于F，先利用等面积法求出，证明，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再根据正切的定义求解即可，②当点D在线段的延长线上时，作交于F，解题思路同①． 【详解】解：①当点D在线段上时 ，作交的延长线于F，如图1所示： 则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴． ②当点D在线段的延长线上时，作交于F，如图2所示∶ 则， ∴， 设，则 同①得∶，，， ∴，， ∵， ∴， ．∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，或 故答案为∶3或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，求角的正切值以及勾股定理等知识，利用分类讨论思想解题是这道题的解题关键． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用二次根式的性质，特殊角的三角函数，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果； （2）原式利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的三角函数值，进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 18．在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． (1)，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理以及特殊角三角函数值求解是解题的关键． （1）首先利用三角形内角和定理求出，然后解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出； （2）根据勾股定理可求得c，然后根据，，可得，的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 19．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理等知识． （1）由，，即可证明； （2）在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 20．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． (1)______度； (2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【答案】(1) (2)杨树的高度为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据坡度得出，即可求解； （2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：斜坡的坡度为， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，交于点，如下图： ，即， 解得：， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 解得：（米）， 答：杨树的高度为米． 21．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解非直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 22．如图，菱形的对角线和交于点，分别过点作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可求解． （2）过点作交的延长线于点，利用菱形，靠边三角形的性质，易得到构的，再利用（1）结论求出，最后利用锐角三角函数值的求法求解． 【详解】（1）证明：， ∴四边形为平行四边形. ∵四边形是菱形 ∴， ， ∴平行四边形为矩形． （2）解：过点作交的延长线于点， ， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴是等边三角形 ， ， ∴， ， ． 由（1）已证四边形为矩形 ， ， ∴， ∴． ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．理解相关知识是解答关键． 23．如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，由为的直径得到，则，得到，由得到，由切线的判定定理即可得到结论； （2）证明，在中，，，得到，则，由勾股定理求出，得到，求出，在中，，，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和解直角三角形是解题的关键． 24．如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成． 图①是其侧面简化示意图． 滑轨 支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上． (1)如图①，固定若 求的度数； (2)如图②， 固定， 若 时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点 B， 求滑轨 的长度． （结果精确到0.1， 参考数据：π取3.14， 【答案】(1) (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作，垂足为，根据平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，从而可得，进而可得圆弧形滑轨所在的圆的圆心为，先利用三角形的外角性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，最后根据垂直定义可得，从而可得，进而可得为等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，，从而利用弧长公式进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，弧长的计算，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 的度数约为； （2）解：如图，过点作，垂足为， 圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点， 过点作，作的垂直平分线，交于点，连接， ， 圆弧形滑轨所在的圆的圆心为， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 滑轨的长度， 滑轨的长度约为． 25．已知等腰中，，，分别是腰，上点，连接，设． (1)当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； (2)如图3，若，当时，直接写出的值为_____． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①如图所示，过点D作交于点F，首先得到是的中位线，然后得到，得到，然后证明出是等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质表示出，求出，然后得到； ②如图所示，延长到点F使，得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后得到； （2）如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G，证明出，得到，证明出边形是正方形，设，然后证明出，得到，然后得到，推出，得到，，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，过点D作交于点F， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长到点F使， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线以及掌握以上知识点． 26．梯形中， ，点是边的中点，点是边上的动点． (1)如图①，求梯形的周长； (2)如图②，连接，设，求关于的关系式及定义域； (3)如果直线与直线交于点，当时，求的长． 【答案】(1)116 (2)，定义域为 (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点C作交于点F，得到平行四边形和直角三角形，求出，即可； （2）过点N作，垂足为Q，求出以及，即可得解； （3）分别延长，，相交于E，连接，分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点C作交于点F，如图 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：过点N作，垂足为Q，如图2 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴定义域为； （3）解：分别延长，，相交于E，连接， ∵， ∴， ∴， ， ①当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 27．问题提出 （1）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点．若，，则的值为________； 问题探究 （2）如图，在矩形中，，，的直角顶点在边上，顶点在边上，若，求的长； 问题解决 （3）如图，是四边形是某科技园示意图，其中，，，，，，点是大门，，现需要在边上安装一个监控，对道路、进行全天监控，监控的角度为，且，监控是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（）由四边形为矩形得，再根据同角的余角相等得，则，再根据相似三角形的性质即可求解； （）同（）理得出，则，由，则，，最后由线段和差即可求解； （）作于点，则，，通过正切可求得，设，延长至，使得，则，根据性质得，即，然后解出方程即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）解：存在，理由如下， 如图，作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， 延长至，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 锐角三角函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中， ， ， ， 则的值为（      ） A． B． C． D．2 3．已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（   ） A． B． C． D． 5．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 6．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ， ． 8．有一斜坡的坡角为，坡长为米，那么斜坡的高为 ． 9．在中，，，那么 ． 10．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 11．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 12．已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为 ． 13．如图，中，，平分，，，连接，当时， ． 14．如图，分别与相切于点A，B，直线与交于点C，D，连接．若，则的值为 ． 15．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 16．在等腰直角三角形中，，，点是直线上一点，且，连接，过点作直线于，交直线于点，则的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1) (2) 18．在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． (1)，； (2)，． 19．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 20．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． (1)______度； (2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 21．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 22．如图，菱形的对角线和交于点，分别过点作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的值． 23．如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 24．如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成． 图①是其侧面简化示意图． 滑轨 支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上． (1)如图①，固定若 求的度数； (2)如图②， 固定， 若 时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点 B， 求滑轨 的长度． （结果精确到0.1， 参考数据：π取3.14， 25．已知等腰中，，，分别是腰，上点，连接，设． (1)当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； (2)如图3，若，当时，直接写出的值为_____． 26．梯形中， ，点是边的中点，点是边上的动点． (1)如图①，求梯形的周长； (2)如图②，连接，设，求关于的关系式及定义域； (3)如果直线与直线交于点，当时，求的长． 27．问题提出 （1）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点．若，，则的值为________； 问题探究 （2）如图，在矩形中，，，的直角顶点在边上，顶点在边上，若，求的长； 问题解决 （3）如图，是四边形是某科技园示意图，其中，，，，，，点是大门，，现需要在边上安装一个监控，对道路、进行全天监控，监控的角度为，且，监控是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$