专题02 圆（8大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题02 圆 圆的标准方程 1．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）若直线经过点 和圆C：的圆心,并且与直线垂直,则m的值为（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 6．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 8．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 11．（23-24高二上·吉林长春·期末）的顶点的垂心（三条高交点）为． (1)求顶点的坐标； (2)求的外接圆方程． 12．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 圆的一般方程 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期末）若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 11．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 12．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 13．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 14．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，． (1)求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 15．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 16．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 6．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 7．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 8．（23-24高二上·天津·期末）为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离 9．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 10．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知两个不相等的实数a，b满足关系式和，则经过，两点的直线l与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．与的取值有关 11．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·广东肇庆·期末）（多选）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ） A． B．   C． D．     15．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 16．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 圆的切线方程 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 7．（23-24高二上·湖北孝感·期末）（多选）已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 8．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆：，过点作圆的切线，切点为，则 . 9．（23-24高二上·江苏·期末）①经过点；②与x轴相切，半径为2；③被直线平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.（注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 已知圆M经过点，点， . (1)求圆M的方程； (2)设，P是圆上任意一点，当取得最大值时，求过点P的圆M的切线方程. 10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知点和圆．    (1)求以为直径的圆N的标准方程； (2)设圆M与圆N相交于A，B两点，试判断直线是否为圆M的切线．若是，请求出直线和的方程；若不是，请说明理由． 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 12．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 13．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点在圆上，直线平分圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 14．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 15．（23-24高二上·上海·期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. (1)求圆的方程； (2)判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 16．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 圆的弦长与弦心距 1．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）（多选）过点作两条相互垂直的射线与圆分别交于两点，则弦长可能的取值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为 7．（23-24高二上·安徽·期末）过点的直线被圆：所截得的弦长的最小值为 ． 8．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 11．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 13．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求. 14．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 15．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 16．（23-24高二上·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 5．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏·期末）（多选）已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A．线段的中垂线方程为 B．直线的方程为 C．公共弦的长为 D．圆与圆的公切线有3条 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）（多选）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 . 12．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 13．（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 14．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 15．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 16．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知以点为圆心的圆与圆相外切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程. 17．（23-24高二上·四川凉山·期末）如图，已知圆，点. (1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 18．（23-24高二上·上海·期末）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 圆的公共弦 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 3．（23-24高二上·福建泉州·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）（多选）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 5．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为 6．（23-24高二上·重庆·期末）（多选）已知圆和圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．点为圆上一动点，的最大值为 C．圆与圆的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆的公共弦长为 7．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . 8．（23-24高二上·天津西青·期末）已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长，则 . 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 10．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 11．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 12．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 13．（23-24高二上·广东珠海·期末）圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点． (1)当P为弦AB中点时，求直线AB的方程； (2)若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度． 圆的公切线 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 6．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 8．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 . 轨迹问题—圆 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 6．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆，两点、. (1)若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程； (2)动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围. 7．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 8．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 9．（23-24高二上·湖北·期末）已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 10．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 11．（23-24高二上·河南驻马店·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 12．（23-24高二上·广东·期末）已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 13．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆， (1)已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 14．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知点和圆． (1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程． 直线与圆的实际应用 1．（23-24高二上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 3．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ） A．观测点之间的距离是 B．圆C的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车不会进入安全预警区 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 5．（23-24高二上•吉林•期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地 （包含地界和内部）， 长为12米，在 边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为 ，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 6．（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 直线与圆的位置关系求距离的最值 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 3．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 7．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 8．（23-24高二上·天津·期末）已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 9．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 10．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 12．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 13．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 14．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知圆． (1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆 圆的标准方程 1．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程, 又经过，两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：. 故选：A. 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B. 4．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）若直线经过点 和圆C：的圆心,并且与直线垂直,则m的值为（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 【答案】C 【详解】解：圆C：的圆心坐标为， 因为直线经过点 和圆C：的圆心, 所以直线的斜率为， 又因为该直线与直线垂直, 所以，解得 ， 故选：C 6．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 7．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 8．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 9．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 【答案】 【详解】根据题意，，即圆心坐标为； 则圆的半径， 故所求圆的方程为：. 故答案为：. 11．（23-24高二上·吉林长春·期末）的顶点的垂心（三条高交点）为． (1)求顶点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 由题意得，， 所以，解得， 所以顶点的坐标为； （2）设的外接圆方程为， 则，解得， 所以的外接圆方程为. 12．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）可化为， 令，得， 所以，直线过定点. （2）当时，， 联立方程组，解得， 即. 因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为， 所以，， 故以为直径的圆的标准方程为. 圆的一般方程 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的方程可化为. 所以圆心的坐标为，半径为， 故选：B. 2．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 3．（23-24高二上·四川成都·期末）若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由方程分别对进行配方得：， 依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足. 故选：D. 4．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 5．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应， 故选：D 6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 曲线围成图形如下图所示：其中每个象限内半圆的半径为， 所以曲线围成图形的面积为：， 故选：D    8．（23-24高二上·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 【答案】 【详解】由可得， 所以半径为， 故答案为： 11．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 【答案】 【详解】圆的一般方程写成标准方程为， 由圆的半径为可知，，得. 故答案为： 12．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 【答案】5 【详解】由题意可知：两圆心坐标分别为，， 所以两圆心之间的距离为. 故答案为：5. 13．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 14．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，． (1)求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 方法一：因为，，， 则，， 由，得， 则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点， 半径， 所以过A，B，C三点的圆的方程为； 方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为， 则，解得， 故过A，B，C三点的圆的方程为，即. （2） 设， 由题意可得：，， 因为线段上靠近点A的三等分点为E，则， 则，解得，即． 方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点， 所以直线l的方程为，整理得； 方法二：设l与相交于点，则， 由直线l平分四边形的面积，可得， 则，解得，即， 所以直线l的方程为，整理得. 15．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 【答案】(1)； (2)（或）； 【详解】（1）由题意可得的斜率为， 可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得， 即直线； （2）联立直线l和方程，解得； 联立直线l和方程，解得； 如下图所示： 设过三点A，B，O的圆的方程为， 将三点坐标代入可得，解得， 可得圆的方程为（或）. 16．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【详解】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【详解】因为圆，所以， 半径，因为点到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点. 故选：C. 6．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【详解】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 7．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【详解】易知恒过定点， 且易知点在点内， 所以直线与圆相交； 故选：A 8．（23-24高二上·天津·期末）为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离 【答案】A 【详解】由题意圆心，而圆心到直线的距离， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：A. 9．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 【答案】D 【详解】将直线整理变形可得， 令，解得， 即直线恒过定点， 显然，即定点在圆内， 可知直线与圆一定相交. 故选：D 10．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知两个不相等的实数a，b满足关系式和，则经过，两点的直线l与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．与的取值有关 【答案】C 【详解】由题意得，点A，B的坐标都满足， 由于两点确定一条直线，所以直线l的方程为， 的半径，圆心到直线l的距离， 所以直线l和圆相切， 故选：C. 11．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：的圆心，半径为2，显然， 令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由圆上存在点使，得， 即，则，又，解得， 所以正数的取值范围为. 故选：B 13．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 14．（23-24高二上·广东肇庆·期末）（多选）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ） A． B．   C． D．     【答案】ABD 【详解】直线过定点，显然点在圆内， 因此直线与圆必相交，C错误； 而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能. 故选：ABD 15．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 16．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）方法一：设所求圆的标准方程为， 由已知条件得：，解得：， 所以圆的方程为． 方法二：因为点为圆心，点在直线上， 则可设. 所以，即，解得， 所以圆心，半径长， 所以圆的方程为． 方法三：由已知可得线段的中点坐标为，， 所以弦的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为， 则圆心是直线与的交点. 由得：， 即圆心坐标为，半径长， 所以圆的方程为. （2）证明： 方法一：因为，即 所以由直线的方程可知：直线恒过定点， 又因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内部，即直线与圆相交． 方法二：由直线， 可得圆心到的距离. 因为， 所以， 即， 所以直线与圆相交． 圆的切线方程 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 5．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确；    如图，点为圆的两条切线, 切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 7．（23-24高二上·湖北孝感·期末）（多选）已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 【答案】ACD 【详解】根据题意，圆心，半径为2， 过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图， 则，所以，， 所以A正确，B错误； 四边形为正方形，中心为 所以P、A、Q、B均在圆上，C正确； 所在直线方程为，D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆：，过点作圆的切线，切点为，则 . 【答案】 【详解】点到圆心的距离为， 则切线长为. 故答案为：.    9．（23-24高二上·江苏·期末）①经过点；②与x轴相切，半径为2；③被直线平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.（注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 已知圆M经过点，点， . (1)求圆M的方程； (2)设，P是圆上任意一点，当取得最大值时，求过点P的圆M的切线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选①:设圆M的方程为. 因为圆M经过三点，所以， 解得，所以圆M的方程为，即.   选②:由点，得线段的中垂线方程为，则圆心M在直线上. 设圆M的圆心坐标为.又由圆M与x轴相切，半径为2，可知圆心M在x轴上方，且，所以， 所以圆M的方程为.     选③:由点，得线段的中垂线方程为，则圆心M在直线上. 因为圆M被直线平分，则圆心M也在直线上. 由，解得，所以圆心M的坐标为，半径，所以圆M的方程为. （2）   过点P作直线的垂线，垂足为H，则， 故当点P为线段与圆M的交点时，取得最大值. 因为，所以的方程为， 故设所求切线方程为.由，解得或， 结合条件可知符合题意，即所求切线方程为. 10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知点和圆．    (1)求以为直径的圆N的标准方程； (2)设圆M与圆N相交于A，B两点，试判断直线是否为圆M的切线．若是，请求出直线和的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线是圆M的切线， 【详解】（1）圆即，所以圆心，半径 又，所以中点为，以为直径的圆N的半径， 所以以为直径的圆N的标准方程为. （2）    由，，，得， 所以，所以为圆的直径，所以， 即直线是否为圆M的切线， 过点且斜率不存在的直线为， 而点到直线的距离满足，满足题意， 故直线的方程为； 设的方程为， 点到直线的距离满足， 解得，所以的方程为，即. 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)选择见解析； (2) 【详解】（1）若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. （2）因为点是圆上的一点，故切线只有一条， 又圆的圆心为，半径为， 当切线l的斜率不存在时，其方程为，显然不符合题意； 当切线l的斜率存在时，设切线，即． 则圆心到切线的距离，解得， 所以切线l的方程为，即. 12．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    13．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点在圆上，直线平分圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）点在圆上，且直线平分圆， 线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心， 线段的中点坐标为，斜率， 则线段的中垂线方程为：，即， 由，解得，即圆心坐标为， 圆'C的半径， 所以圆的标准方程为. （2）过点且与圆相切的直线， ①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切， ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 有，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 14．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆心的坐标为，则， 即， 即，解得， 圆心的坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点， 当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意， 当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：， 即， 设圆心到直线的距离为， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以,所以， 即,解得或, 所以反射后光线所在直线的方程为或. 15．（23-24高二上·上海·期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. (1)求圆的方程； (2)判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)点在圆外，切线方程为或 【详解】（1）圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上， 又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为2， 所以圆的方程为. （2），则点在圆外， 过点的直线若斜率不存在，则直线方程为，此时直线与圆相切； 过点的直线若斜率存在，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径，即，解得， 此时直线方程为. 所以经过点的圆的切线方程为或. 16．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的圆心为，半径，， 因为 故 所以，的长都是. （2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径长为， 所以圆的方程为，即， 由得，故直线的方程为. 圆的弦长与弦心距 1．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆的方程为，因为圆过，两点， 且，两点的横坐标满足方程， 所以，， 所以圆的方程为， 又在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 即， 令，解得或， 即圆恒过点和，又，所以该定值为． 故选：B． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为， 由点到直线的距离为， 则该圆截直线所得弦长为. 故选：A. 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10， 最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下) 如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点， 在中，显然,而, 因，则得，即为过点的最短弦长. 要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项. 即，解得：，故公差的最大值为. 故选：B. 4．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 直线交轴于点，当直线与垂直时， 此时，，原点到直线的距离取最大值，即， 因为直线被圆所截得的弦长的最小值为，即，解得. 故选：C. 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）（多选）过点作两条相互垂直的射线与圆分别交于两点，则弦长可能的取值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【详解】如图，圆的圆心，半径为3，圆的直径为6，若直径的端点为， 不存在的情况，否则在圆上，所以排除选项D. 当轴时，， 当与正方向成角时， ， ，解得， 此时， 同理当与正方向成角时，可得，故ABC均可能取到. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为 【答案】 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 又由圆心到直线，可得， 所以直线截圆所得的弦长为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·安徽·期末）过点的直线被圆：所截得的弦长的最小值为 ． 【答案】 【详解】根据题意：直线过定点， 判断可知点在圆内， 而圆， 若直线斜率存在时，设， 圆心到直线的距离为， 所以，若，则， 若，则，解得或， 直线斜率存在时，，此时， 若直线斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为， 综上所述，圆心到直线的距离最大值为， 所以所截的弦长的最小值为． 故答案为：. 8．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 11．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，，， 则， 所以弦的长为. （2）圆心到直线的距离， 设圆的半径为，则，因此圆的半径长为， 所以圆的方程是，即． 13．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 代入点可得，解得， 可知圆M的圆心在直线上， 联立方程，解得， 即圆M的圆心，半径， 所以圆M的标准方程为. （2）设， 联立方程，消去y得， 则， 因为，解得， 此时，即符合题意， 设的倾斜角为，则，故， 所以. 14．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为圆与直线相切于点 所以过点与直线垂直的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 由，解得圆心.所以半径. 故圆的标准方程为：； （2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：， 即，所以圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得. 此时直线的方程为. ②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径， 弦长为，符合题意. 综上，直线的方程为或.    15．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）显然当切线的斜率不存在时，此时直线方程为，圆心到该直线的距离为7，不等于半径，则此时不相切， 则切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得； （2）圆心到直线的距离， ， ∴三角形面积的最大值为：． 16．（23-24高二上·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 5．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 8．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 9．（23-24高二上·江苏·期末）（多选）已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A．线段的中垂线方程为 B．直线的方程为 C．公共弦的长为 D．圆与圆的公切线有3条 【答案】BC 【详解】根据题意可知圆，则,半径， 圆，则，半径， 易知线段的中垂线为直线,显然两圆心都不在上，故A错误； 由两圆方程相减可得直线的方程为，故B正确； 圆心到直线的距离为，所以，故C正确； 因为，所以圆与圆相交，所以有两条公切线，故D错误. 故选：BC 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）（多选）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】BD 【详解】圆：，整理得，圆心为，半径为 对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误； 对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确； 对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为， 所以圆与圆内切，故C错误； 对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切， 所以的最大值为圆的直径6，故D正确， 故选：BD. 11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 . 【答案】6或2 【详解】圆的圆心为，半径为2； 圆的圆心为，半径为； 由题意可得：或， 且，解得或． 故答案为：6或2. 12．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 【答案】或 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，其中， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，两圆外切或内切，且， 若两圆外切，则，即，解得； 若两圆内切，则，即，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 13．（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】(1) (2)相交 【详解】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心， 又圆心在直线上，由，解得，即圆心， 圆的半径. 所以圆的标准方程为. （2）圆的方程为，则圆心，半径.    圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交. 14．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3)或. 【详解】（1）， 可化为， 所以； （2）由（1）知，圆心C(1,2)，半径， 因为圆和直线相切， 所以有， 所以. （3）因为与圆C相切， 所以或， 解得或， 故实数m的值是或. 15．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 16．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知以点为圆心的圆与圆相外切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由已知得圆的圆心坐标为,半径， 圆的半径， 圆的方程为； （2）由已知得直线过定点， ， 在圆内， 由圆的几何性质可知，当时，弦最小， 此时， 又，， 当最小时，， ， 直线的方程为，即. 17．（23-24高二上·四川凉山·期末）如图，已知圆，点. (1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）解：由，化为标准方程得 所以圆的圆心坐标为， 又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为， 设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得， 则有 解得，所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为.    （2）解：因为圆弧恰为圆周长的， 根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴， 此时直线的方程为. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 可得，即，解得， 所以直线的方程，即， 故所求直线的方程为或.    18．（23-24高二上·上海·期末）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 圆的公共弦 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B.    2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 3．（23-24高二上·福建泉州·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】AD 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 可得，即，可知两圆相交. 对于选项A：两圆的公共弦所在的直线方程为：，即，故A正确； 对于选项B：因为圆心到直线的距离， 且圆半径为2，可知圆与直线相交，而垂直且到距离为， 由知轴与圆相切，故是圆被所截劣弧上唯一到距离为1的点； 过作直线的平行线，则和轴是平面上到距离为1的所有点的集合， 而和圆相交于点和点；如下图示， 所以共3点符合题意，故B错误； 对于选项C：直线与轴交于点，交两圆于S，T， 在中，则，可得，即， 可得弓形TOS的周长为，故所求公共部分周长为，故C错误； 对于选项D：由圆的性质可知：当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，最大， 所以最大值为圆心距和两个半径的和，故D正确． 故选：AD． 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）（多选）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABC 【详解】对于，因为圆，两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于，圆的圆心为，， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C正确； 对于为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误， 故选：ABC. 5．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为 【答案】ACD 【详解】选项A：由两圆与的方程相减可得，即， 则两圆的相交弦所在直线方程为.判断正确； 选项B：：的圆心，半径为5， 到直线的距离为， 则两圆的公共弦长为.判断错误； 选项C：经过A，B两点的圆的方程可设为 ， 又此圆过原点，则有，解之得， 则， 则经过A，B两点，且过原点的圆的方程为.判断正确； 选项D：：的圆心，半径为5， 圆：的圆心，半径为， P为上任意一点，Q为上任意一点， 则PQ的最大值为.判断正确. 故选：ACD 6．（23-24高二上·重庆·期末）（多选）已知圆和圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．点为圆上一动点，的最大值为 C．圆与圆的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆的公共弦长为 【答案】BCD 【详解】对于A：由题知，，，，，则， 又，即， 所以圆与圆相交，有两条公切线，A错； 对于B：点为圆上一动点，则的最大值为，故B正确；    对于C：联立得， 故圆与圆的公共弦所在直线方程为，C正确； 对于D：点到的距离为， 所以圆与圆的公共弦长为，D正确. 故选：BCD 7．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】联立方程组，， 两式相减，得，为公共弦长所在直线的方程， 又圆的圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以两圆公共弦长. 故答案为：. 8．（23-24高二上·天津西青·期末）已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长，则 . 【答案】 【详解】①若，则圆：，圆：， 两个方程相减得， 化简并整理得公共弦所在直线方程为， ②若弦长，即公共弦所在直线通过圆心 ， 而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为， 所以，解得. 故答案为：. 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）法一：由已知可得圆，直线即， ∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得，故直线的斜率的取值范围为. 法二：设直线的方程, 联立方程得, 故，解得. 故直线的斜率的取值范围. （2） 以为直径的圆，且半径， 圆的方程为， 由圆和圆：可得： 的方程为：， 整理得直线的方程为. 法一：因为圆心到直线的距离即, ，， 所以的面积. 法二：联立方程，得， 解得或， 所以的面积. 10．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得即， 圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，由垂径定理得. （2）由得或，不妨设，， 的垂直平分线为，由得圆心坐标为，半径长为， 所以圆的方程为. 11．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 【答案】(1)3 (2)证明见解析，． 【详解】（1） 由题意知x轴平分，所以， 设，则，解得，所以， 所以，所以为直角三角形， 因为，，所以． 即的面积为3． （2） 由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为， 所以圆M的方程为，半径． 将圆N的方程化为标准方程，得， 所以圆心，半径． 所以． 又，，所以， 故圆N与圆M相交． 因为，圆M的方程可化为， 两方程作差，得． 所以圆N与圆M的公共弦所在直线的方程为． 12．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点， 所以圆心在直线即直线上， 所以， 又， 所以解得， 所以圆的标准方程. （2）由（1）得圆的标准方程. 又圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 而圆的半径为， 所以圆与圆的公共弦长为. 13．（23-24高二上·广东珠海·期末）圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点． (1)当P为弦AB中点时，求直线AB的方程； (2)若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）圆的圆心，半径， 由P为圆的弦AB中点，得，而直线的斜率为2， 因此直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的方程为. （2）圆的圆心，半径，而， 即圆与圆相交，两圆方程相减得直线的方程：， 点到直线的距离， 所以弦的长. 圆的公切线 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 4．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 6．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 8．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由于与有四条公切线，所以两圆为外离关系， 由于，，, 所以,故，解得， 故答案为： 轨迹问题—圆 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 3．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设则代入圆: 可得即 点的轨迹方程为 故答案为： 4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【答案】 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，   表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为： 6．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆，两点、. (1)若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程； (2)动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若时，圆，可得圆心， 因为直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线方程为或， 综上可得，所求直线的方程为或. （2）因为动点满足，、， 所以，化简得， 所以动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的轨迹与圆有公共点，所以， 即，解得，所以半径的取值范围. 7．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【详解】（1）设，则，， 则， 整理得动点的轨迹方程为； （2）圆与只有一个公共点 则圆与圆内切或外切， 又圆的圆心在圆内， 所以圆与圆内切， 所以， 解得或3. 8．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 9．（23-24高二上·湖北·期末）已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设，，，， 由，可得，，， 又因为，可得B的轨迹方程为： （2）由，可得，，， 代入，可得B的轨迹方程为：， 所以B的轨迹是以为圆心设为，为半径的圆， 所以当时，，两圆外离； 当时，，两圆外切； 当时，，两圆相交． 10．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆由公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 11．（23-24高二上·河南驻马店·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设， 由，得， 整理得， 即曲线的方程为. （2）①如果选，此时直线的方程为 而圆的半径，圆心到直线的距离为， 故弦长， ②如果选，此时直线的方程为， 由，解得或， 则直线与圆的两个交点坐标为，， 故弦长. ③如果选，此时直线的方程为， 可知直线经过圆心，圆的半径， 所以弦长. 12．（23-24高二上·广东·期末）已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设，由题意得，即，化简得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径， 设直线的斜率为，即直线方程为，因为直线与圆相切， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 13．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆， (1)已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线过定点， 则可知弦中点应在以为直径的圆上， 的中点为，，设， 则点的轨迹方程为， 由于直线不能表示直线， 则点的轨迹方程应为． （2）记点为点，则点到直线的距离为， 可知. 14．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知点和圆． (1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径， 因为直线过点，且被圆截得的弦长为， 所以，圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 即，则，解得， 故直线的方程为，即； ②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意. 综上所述，直线的方程为或． （2）解：设点，因为，则点为线段的中点， 设点，由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在圆上运动，则，可得， 故点的轨迹方程为． 直线与圆的实际应用 1．（23-24高二上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转射线时， 所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量也在变大， 当射线从射线逆时针匀速旋转到轴正半轴时， 所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量在变小， 综合选项可得，选线A符合， 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ） A．观测点之间的距离是 B．圆C的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车不会进入安全预警区 【答案】BC 【详解】由题意，得，，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆C的方程为， 因为圆C经过O，A，B三点， 所以，解得， 所以圆C的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C正确； 圆C化成标准方程为， 圆心为，半径， 圆心C到直线的距离， 所以直线与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区，故D错误. 故选：BC. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 5．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 6．（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 直线与圆的位置关系求距离的最值 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    3．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心， 所以点到直线：的距离为， 所以点在圆上运动，则其到直线的最短距离为：. 故选：A. 4．（23-24高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】因为是直径，， 所以原点在圆上， 过作垂直直线，垂足为点， 因为圆与直线相切， 所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径， 点到直线的距离 所以圆的半径的最小值为1. 故选：B 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线恒过定点，直线恒过定点， 由两直线的方程可知：两直线相互垂直. 所以点的轨迹方程为（且），圆心为， 圆心到直线的距离， 所以且与直线相离， 所以线段长度的最小值为. 故选：A. 6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 7．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 8．（23-24高二上·天津·期末）已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 则四边形面积， 要使得四边形面积的最小值，只需最小， 由圆心到直线的距离为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 10．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当的斜率不存在时，满足条件. 当的斜率存在时，不妨设其方程为， 即， 圆心到的距离为，解得， 可得的方程为， 综上所述，的方程为或. . （2）， 当最短时，即时，取得最小值， 此时， ，又， . 12．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值，最小值. 【详解】（1）法一：由，得， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 法二：依题意可设直线的方程为， 由于直线过点，所以，所以 所以直线的方程为 （2）法一：由题意知，作出图形如图所示，    圆过，所以中点为， 直线垂直平分线记为，由得， 所以直线的方程为即， 又圆心在轴上，即上， 联立，解得， 所以圆心坐标为， 半径 所以圆的标准方程为. 法二：设圆的一般方程为，圆过， 所以，解得， 所以圆的一般方程为， 即. 所以圆的标准方程为. （3）由（2）知，圆心，半径为，作出图形如图所示，    所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为； 点到直线的距离最小值为. 13．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)面积最大值为8，直线方程为或 【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得， 消得， ； 法3：设，联立方程组得， 消得，解得， 则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为， 又的面积， 所以当时取最大值8， 由，得， 解得，， 所以直线的方程为或. 14．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知圆． (1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）圆：，圆心的坐标为，半径． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到的距离，与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为． 综上所述：直线的方程为或． （2）圆心到直线的距离，所以， 因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离， 所以的面积， 当且，在圆心的两侧时，等号成立， 所以的面积的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$