专题05 抛物线（4大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题05 抛物线 抛物线的定义 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．11 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 7．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为 . 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 9．（23-24高二上·上海·期末）已知一个酒杯是由一个抛物线绕其对称轴旋转一周形成的，抛物线的方程为：，现在将一个半径为的小球放入酒杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 . 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京·期末）已知直线与抛物线的准线相交于点A，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 5．（23-24高二上·甘肃白银·期末）抛物线上一点到焦点的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 8．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知抛物线，焦点为在抛物线上，在轴上，且，则 ． 9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）以直线 为准线的抛物线的标准方程为 . 10．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 11．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 . 12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ． 13．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）. (1)若，求直线的倾斜角； (2)若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程. 14．（23-24高二上·福建南平·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离少1，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)将曲线按向量平移得到曲线（即先将曲线上所有的点向右平移2个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点向上平移1个单位，得到曲线），求曲线的焦点坐标与准线方程； (3)证明二次函数的图象是拋物线. 直线与抛物线的位置关系 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北·期末）（多选）已知抛物线的焦点的坐标为，则（    ） A．准线的方程为 B．焦点到准线的距离为4 C．过点只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点 D．抛物线与圆交于两点，则 3．（23-24高二上·广东河源·期末）（多选）已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（   ） A．存在，使得直线过点与 B．存在，使得直线与各有1个公共点 C．若过与的公共点，则与两准线的交点距离为 D．与的交点个数构成的集合为 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）（多选）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）（多选）已知抛物线焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为中点，则（    ） A．抛物线方程为 B．点在直线上 C．轴 D． 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则 ． 7．（23-24高二上·广东广州·期末）抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，为坐标原点，抛物线，一条平行于轴的光线射向抛物线上的点（不同于点），反射后经过抛物线上另一点，再从点处沿直线射出.若直线的倾斜角为，则入射光线所在直线的方程为 ；反射光线所在直线的方程为 . 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 . 9．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 10．（23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 11．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线． 12．（23-24高二上·福建龙岩·期末）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值. 13．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知抛物线（）的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且． (1)求抛物线C的方程； (2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线，的斜率分别为，若，求直线m的方程． 抛物线的弦长 1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 2．（23-24高二上·山东聊城·期末）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点．已知抛物线，一束平行于x轴的光线，从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 6．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 7．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． (1)若，求的方程； (2)若，求． 9．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为两点，与轴的交点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求. 12．（23-24高二上·四川南充·期末）已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离． (1)求曲线的方程； (2)直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求． 13．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 14．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比点M到直线的距离大． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为，求线段AB的长． 15．（23-24高二上·海南·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 16．（23-24高二上·江西九江·期末）已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程. 17．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）设抛物线的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为2时. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程. 18．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 抛物线的实际应用 1．（23-24高二上·陕西西安·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 6．（23-24高二上·广西百色·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；    7．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 抛物线中的三角形或四边形面积问题 1．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ． 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，满足（为坐标原点），，垂足为，若，则 ． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P． (1)若，求P的坐标； (2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积． 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 6．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 8．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程． 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于、两点，求的面积. 10．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知过点的直线与抛物线交于两点，且当的斜率为1时，恰为的中点. (1)求抛物线的方程； (2)当经过抛物线的焦点时，求（为原点）的面积. 11．（23-24高二上·福建福州·期末）在直角坐标系中，抛物线Γ：上的点M与Γ的焦点F的距离为2，点M到y轴的距离为. (1)求Γ的方程： (2)直线：与Γ交于A，B两点，求的面积. 12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知动点P与定点的距离等于点P到的距离，设动点P的轨迹为曲线C．直线l与曲线C交于A，B两点，（O为坐标原点）． (1)求曲线C的标准方程； (2)求面积的最小值． 13．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：（）与圆O的一个交点为． (1)求抛物线C及圆O的方程； (2)设直线l与圆O相切于点R，与抛物线C交于A，R两点，求的面积． 14．（23-24高二上·山东东营·期末）已知拋物线的焦点为为抛物线上一点，. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作互相垂直的两条直线交抛物线于四点，求四边形的面积最小值 15．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 16．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：； (3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 17．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程. 抛物线中的参数范围及最值问题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）（多选）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 5．（23-24高二上·浙江舟山·期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ． 6．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为 ． 7．（23-24高二上·湖北·期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 . 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 9．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值. 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）（多选）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）（多选）已知直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ）． A． B．为定值 C．线段AB的中点在一条定直线上 D．为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 3．（23-24高二上·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 6．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．    (1)求拋物线的方程； (2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 7．（23-24高二上·广东·期末）已知平面直角坐标系下，抛物线的准线方程： (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上两点满足，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线的焦点为，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且. (1)求的值； (2)已知点，是抛物线上不同的两点，且满足.证明：直线恒过定点. 9．（23-24高二上·浙江舟山·期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点． (1)求抛物线方程； (2)求证：为定值． 10．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 11．（23-24高二上·四川泸州·期末）抛物线上的点到C的准线的距离为5． (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 12．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 13．（23-24高二上·上海·期末）设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 15．（23-24高二上·浙江宁波·期末）如图所示，设抛物线，过抛物线E内一点的两条直线分别与抛物线交于A，C和B，D，且满足，其中，当轴时，． (1)求抛物线E的方程； (2)当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 16．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 17．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 抛物线 抛物线的定义 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 2．（23-24高二上·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】A 【详解】设M点坐标为，由题，，所以， 代入抛物线方程得，所以， 的周长为. 故选：A. 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，作，Q为垂足，则平面， 过点Q作，交于，则平面PQR，所以PR即为P到直线的距离． 因为，且，所以． 所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线． 如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是， 点，设，所以 ，所以当，取得最小值. 故选：B 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】因为直线，即，过定点，记作点A， 因为，垂足为，所以，又， 故点P的轨迹为以为直径的圆，半径，圆心为，记作点B， 又因为Q在抛物线上，其准线为， 所以等于Q到准线的距离， 过点Q做准线的垂线，垂足为R，要使取到最小，即最小， 此时，三点共线，且三点连线后直线过圆心B，如图所示， 此时. 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 6．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由抛物线定义可得点到直线的距离等于， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以点到直线与到直线的距离之和等于， 由两点之间线段最短可得， 过作直线的垂线，垂足为， ， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立． 故答案为：.    7．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为 . 【答案】/0.125 【详解】将抛物线方程转化为标准形式， 由在抛物线上且点与焦点的距离为，得 解得. 故答案为：. 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意知，焦点， 设存在定点，使得点在圆上运动时，均有， 设，则， 由，知， 联立两式，消去可得， 令，则，满足上式， 所以， 所以， 当且仅当，三点共线时，等号成立， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 9．（23-24高二上·上海·期末）已知一个酒杯是由一个抛物线绕其对称轴旋转一周形成的，抛物线的方程为：，现在将一个半径为的小球放入酒杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 . 【答案】 【详解】取轴截面进行分析， 设小球对应的圆心为，抛物线上任意一点，且， 所以， 当的最小值在处取到时，此时小球能触及杯底， 由二次函数的性质可知，，所以， 故此时半径的取值范围是， 故答案为：. 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】解：由已知可得抛物线的准线方程为， 设点A，B的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段AB中点的纵坐标为， 故线段AB的中点到x轴的距离是3， 故选：D 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合， 可得双曲线的右焦点为，即，可得， 又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为， 因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得， 即交点为，代入渐近线方程，可得，可得， 将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为， 故选：D． 3．（23-24高二上·北京·期末）已知直线与抛物线的准线相交于点A，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线为， ∵直线与抛物线C的准线相交于点A， ∴， ∵， ∴＝2，解得， 故抛物线的方程为． 故选：D． 4．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】由点为抛物线上一点，且到轴的距离为，可得， 又由点到的焦点的距离为，根据抛物线的焦半径可得， 即，解得. 故选：C. 5．（23-24高二上·甘肃白银·期末）抛物线上一点到焦点的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题，抛物线，即， 假设是抛物线上任意一点，为抛物线焦点， 根据抛物线的定义， 则有，因为， 所以抛物线上一点到焦点的最小距离为. 故选：C 6．（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设抛物线方程为， 由焦点坐标为，得，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 7．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 【答案】 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知抛物线，焦点为在抛物线上，在轴上，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为在轴上，所以，所以， 所以， 故答案为：. 9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）以直线 为准线的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为抛物线的准线为，则，解得， 所以由抛物线的定义可知所求抛物线方程为， 故答案为： 10．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【详解】 抛物线，则焦点，准线. 过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为. 由抛物线定义可知，又， 在中，， 则有，得，解得， 故所求抛物线的方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 . 【答案】 【详解】 如图，因为，所以， 因可得：，即：， 代入点，得：，又. 故答案为：. 12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ． 【答案】 【详解】由在抛物线上，得，所以． 又焦点的坐标为，准线为， 所以． 故答案为：. 13．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）. (1)若，求直线的倾斜角； (2)若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得抛物线的焦点，准线分别为， 所以由抛物线定义可知，又， 所以解得（负值舍去）， 直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. （2）由题意直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在则原点到直线的距离为，矛盾）， 所以设直线的方程为， 联立抛物线方程，化简得，显然， ， 所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为， 因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 所以圆心、半径分别为， 或. 14．（23-24高二上·福建南平·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离少1，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)将曲线按向量平移得到曲线（即先将曲线上所有的点向右平移2个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点向上平移1个单位，得到曲线），求曲线的焦点坐标与准线方程； (3)证明二次函数的图象是拋物线. 【答案】(1) (2)焦点为，准线为 (3)证明见解析 【详解】（1）设动点，依题意，动点与定点的距离和动点到的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 即曲线的方程为. （2）曲线的焦点坐标为，准线方程为， 因为是由曲线上的所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，所得曲线的焦点为，准线为. （3）因为是抛物线的标准方程，其对应的曲线是焦点为，准线为的抛物线. 即函数的图象是抛物线，其焦点为，准线为. 将的图象按向量平移可得到的图象，即的图象， 又因为平移变换只改变曲线的位置，不改变曲线的形状， 所以的图象是抛物线. 直线与抛物线的位置关系 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合题意可得：令，则，故，令，则，故， 所以直线的斜率为， 因为平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切， 所以直线可设为， 联立可得：， 则，解得， 所以直线为，即， 又的圆心为半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，所以. 故选:A. 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点的坐标为，则（    ） A．准线的方程为 B．焦点到准线的距离为4 C．过点只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点 D．抛物线与圆交于两点，则 【答案】BD 【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，所以抛物线焦点在轴上， ，准线的方程为，A错误； 焦点到准线的距离为，B正确；    如上图，过点的直线中有两条直线与抛物线相切， 还有与抛物线相交于一点，所以过点有条直线与拋物线有且 只有一个公共点，C错误； ，得，解得（舍），， 两交点为，故，D正确. 故选：BD 3．（23-24高二上·广东河源·期末）已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（   ） A．存在，使得直线过点与 B．存在，使得直线与各有1个公共点 C．若过与的公共点，则与两准线的交点距离为 D．与的交点个数构成的集合为 【答案】ABD 【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线的焦点，准线， 当时，直线过点与，A正确； 由消去y得，由，得，此时直线与只有一个公共点， 由消去x得，由，得，直线与只有一个公共点， 因此当时，直线与各有1个公共点，B正确； 抛物线与的公共点为和，当直线经过点时，直线的方程为， 直线与交于点，与交于点，这两个交点间距离为，C错误； 当时，，与的交点个数为0，当时，与的交点个数为2， 当时，直线与的交点各有两个，而当或时，直线经过了的交点 此时与的交点个数为3，当且且时，与的交点个数为4， 因此与的交点个数构成的集合为，D正确. 故选：ABD 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）（多选）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）（多选）已知抛物线焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为中点，则（    ） A．抛物线方程为 B．点在直线上 C．轴 D． 【答案】ABC 【详解】因为该抛物线的焦点为，所以，因此选项A正确； 由题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 所以设直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ， 由题意可知：， 设， 则有，， 设的方程为，代入抛物线方程中，得 ， 所以有， 因为，所以， 所以切线的方程为， 同理切线的方程为， 两个方程相减，得， 因此有 即， 而在上，所以有， 于是可得，即， 显然点在直线上，因此选项B正确； 因为，所以轴，因此选项C正确； 当时，，此时直线方程为， 此时， 于是， 显然不成立，因此选项D不正确， 故选：ABC 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则 ． 【答案】2 【详解】由题意得，直线斜率不为0，设其方程为，，，    由，得， 当时，， 因为，所以，代入上式解得， 因为，所以， 代入抛物线方程，得， 化简得，，又因为，所以. 故答案为：2 7．（23-24高二上·广东广州·期末）抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，为坐标原点，抛物线，一条平行于轴的光线射向抛物线上的点（不同于点），反射后经过抛物线上另一点，再从点处沿直线射出.若直线的倾斜角为，则入射光线所在直线的方程为 ；反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 由，解得或，所以， 则入射光线所在直线的方程为， 则，所以直线的方程为， 由，解得或，所以， 则反射光线所在直线的方程为. 故答案为：， 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 . 【答案】 【详解】由抛物线的对称性，如图，不妨设交点为， 且满足，则切线斜率， 故由题知：，故解得：， 代入圆方程可得：，故解得：. 故答案为：. 9．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 10．（23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为. （2）证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 11．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线， 即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等， 设，则，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2）证明：设直线的方程为，设点，， 联立，得，显然， 由韦达定理可得，， 又因为直线的方程为， 将代入，可得，即点， 所以， 因为，则， 所以直线的方程为， 联立，得，则， 故，， 故G，，三点纵坐标相同，即三点共线． 12．（23-24高二上·福建龙岩·期末）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得， 即点， 由可得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）解：由题意可知，直线的方程为，由可得，即点， 则，直线的方程为， 联立可得，即点， 设直线的倾斜角为，则， 由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，， 因为，可得，解得. 13．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知抛物线（）的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且． (1)求抛物线C的方程； (2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线，的斜率分别为，若，求直线m的方程． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）抛物线（）的焦点为，准线为， 由题意可得，代入抛物线方程可得， 解得，负值舍去， 所以抛物线的方程为； （2）当直线m的斜率不存在时，与题意不符， 所以直线m的斜率一定存在， 设直线m的方程为，代入抛物线的方程可得， 设， 则，恒成立， ， 故， 解得， 所以直线m的方程为． 抛物线的弦长 1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 2．（23-24高二上·山东聊城·期末）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点．已知抛物线，一束平行于x轴的光线，从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点， 因为，所以令中，则， 即，所以直线的方程为：， 即， 将直线的方程代入中， 得，所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】 设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【答案】10 【详解】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点坐标，准线为， 则直线过抛物线的焦点，且由题意可知直线的斜率不为0， 不妨设直线为，，， 联立，消去，得， 易知，则，故， 因为，所以，即，故， 所以直线的方程为，则直线的倾斜角为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）设，则． 由，可得， 整理得的方程为． （2）设， 因为线段的中点为，所以， 则，则． 所以， 则直线的方程为，显然直线经过点． 由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以． 7．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，准线方程为 (2)选择①、②， 【详解】（1）将代入抛物线,可得，所以，故抛物线的标准方程，准线方程为； （2）由（1）可得， 若选条件①：直线的斜率为，则直线的方程为，设，，，， 联立，整理可得：， 显然成立，且， 由抛物线的性质可得； 若选条件②：线段的中点为，设，，，， 则，，即， 因为直线过焦点的弦长， 所以弦长． 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． (1)若，求的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设直线的方程为，将其代入抛物线得：， 设，，，， 则，①，②， 由抛物线的定义可得：，解得， 直线的方程为． （2）若，则，，化简得，③ 由①②③解得，，， ． 9．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由抛物线，可得焦点为， 由抛物线的定义可得， 而，所以，解得或. 当时，;当时，. 所以点的坐标为或. （2）设，联立方程，得， 所以，即, 且 由题知，， 整理得， 即，解得或， 当时，； 当时，. 综上所述：弦长的值为或. 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得， 因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得， 所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为. （2）设的方程为：，则， 由消去得：，则，， 由，得，则，满足， 因此，，， 所以．    11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为两点，与轴的交点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意焦点到准线的距离为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，，直线的方程为， 联立，消去得， 则，即，， 又，则，可得， 解得，，代入抛物线方程得，， 所以，，代回直线的方程解得合题意， . 12．（23-24高二上·四川南充·期末）已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离． (1)求曲线的方程； (2)直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设曲线上任意一点， 由题有，化简得到， 所以曲线的方程为. （2）因为直线与抛物线相切于点， 设直线的方程为，， 由，消得到， 所以，即，得到， 所以直线的方程为， 由，消得，所以， 则， 所以， 所以. 13．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点， 圆的圆心设为，半径， 则， 又，可得. （2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为， ，， 由，可得， 所以，， 因为线段的中点为， 所以， 即，所以， 所以， 所以. 法二：设，， 由，可得， 即， 因为线段的中点为， 所以，， 所以， 由，由，可得：，所以，所以， 所以. 14．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比点M到直线的距离大． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为，求线段AB的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设动点根据题意有， 当时，，不符合题意， 当时，化简得．所以动点M的轨迹C的方程为． （2）设，AB中点， 由AB与垂直l可知，直线AB的斜率， 在抛物线上可知：，所以有 即，即， 即，所以． 所以直线AB的方程为，即． 联立，即，易知， ． 15．（23-24高二上·海南·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离， 所以根据抛物线的定义可得动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹为的方程为. （2）设点，， 由，消去整理得， ， ， 故弦长. 16．（23-24高二上·江西九江·期末）已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，所以的中点坐标为， 圆和轴相切，， 化简得， 所以的轨迹方程为. （2）由在轴上方且可知直线的斜率大于， 设直线的方程为， 由，得， 由抛物线的焦半径公式可知：，即， 联立，消去得， ， 即，解得， 的方程为. 17．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）设抛物线的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为2时. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）设，，则中点的横坐标，可得， 由抛物线定义有，解得， 可得抛物线方程为. （2）因为为的垂心，可得，又，，则， 所以，设直线方程为，， 由，整理得，整理得①， 故，可得，且，， 垂心性质知，有， 所以，即， 整理得， 由①可得，整理有， 所以，解得，，经检验符合题意， 则直线方程为或.    18．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得 . 抛物线的实际应用 1．（23-24高二上·陕西西安·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则， 将代入，故，解得，    所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m. 故选：B 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设抛物线方程为：， 由题意可得，将代入抛物线方程得， 所以抛物线方程为， 故选：D. 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设小球大圆圆周方程， 联立方程组，解得或， 要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点， 就是抛物线的顶点，所以或无效， 考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即， 所以，解得， 所以最大值为. 故选：C 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设抛物线方程为， 则有，解得，得抛物线方程为， 令，则，得， 所以，当水面上升后，水面宽为m. 故选：C ， 5．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 6．（23-24高二上·广西百色·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；    【答案】 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：    设抛物线方程为， 由题意可得：因为桥洞内水面宽时，拱顶距离水面， 所以在抛物线上， 所以解得， 所以抛物线方程为 当水面上升后，不妨设由图可知 则，解得， 所以， 所以当水面上升后，桥洞内水面宽为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 【答案】/ 【详解】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)8米 (2)13.9米. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 抛物线中的三角形或四边形面积问题 1．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为， 由，得，于是， 设，则，解得， 所以的面积. 故选：B 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ． 【答案】 【详解】抛物线的焦点， 因为和的横坐标相同且在抛物线上，易知关于x轴对称且夹角为， 所以直线的斜率为，则直线的斜率为，显然直线和的斜率都存在， 则设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，消元得，则， 即，同理， 所以四边形的面积为：， 故答案为：. 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，满足（为坐标原点），，垂足为，若，则 ． 【答案】 【详解】 由已知，则轴， 过作轴，垂足为，过作，垂足为， 则，四边形为平行四边形，所以， 且中以为底边的高即为， 在中，由抛物线的定义知，又， 则， 则. 故答案为：. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P． (1)若，求P的坐标； (2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，， 由消去x得，， 所以，，， 由，得， 解得，满足，所以直线方程为， 令得，即P的坐标. （2）由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点， 由消去x得，， 所以，，， 所以，解得， 点到直线的距离为， 所以, 故的面积为.    5．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）设，动圆的半径， 整理可得．故曲线的方程为. （2）法一： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 由已知直线斜率必不为0，故可设直线， 联立方程，可得， 故，解得，故， ． 法二： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去； 设直线， 联立方程可得， ，解得，， ，解得． 原点到直线的距离， 故的面积. 6．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【详解】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为， 即，可得， 抛物线的方程为：． （2）由（1）可得焦点， 由题意直线，的斜率均存在，且不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 可得，， 由抛物线的性质可得， 同理可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题知A为抛物线上一点，所以， 解得，故抛物线方程为； （2）由（1）知，抛物线方程为， 所以，，， 所以，，即， 因为直线交抛物线另一点为， 记点横坐标为，点横坐标为， 联立，可得：， 所以，所以， 而点到直线的距离， 所以. 8．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图： 设动点，显然动圆的半径要大于圆的半径，两圆内切，所以圆心距离，又因为动圆与直线相切， 所以，所以， 整理得，∴的方程为； （2）易知直线斜率不为0，故可设方程为，，， 联立得：， ，， ， 则 原点到直线的距离， 所以 解得，所以直线的方程为 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得， 因此，抛物线的方程为. （2）解：设点、，由（1）可知，点， 易知直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 由抛物线的焦点弦长公式可得， 又因为原点到直线的距离为， 故. 10．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知过点的直线与抛物线交于两点，且当的斜率为1时，恰为的中点. (1)求抛物线的方程； (2)当经过抛物线的焦点时，求（为原点）的面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当斜率为1时， 可得直线的方程为， 此时直线恰好经过坐标原点， 不妨设， 则为抛物线上的点， 所以，解得， 所以抛物线的方程为.    （2）由（1）可知抛物线的焦点， 当直线经过时，直线的方程为， 联立消去并整理得， 不妨设， 由韦达定理得， 则的面积.    11．（23-24高二上·福建福州·期末）在直角坐标系中，抛物线Γ：上的点M与Γ的焦点F的距离为2，点M到y轴的距离为. (1)求Γ的方程： (2)直线：与Γ交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，根据抛物线的定义知点到Γ的准线的距离为2， 因为点到轴的距离为，所以点的坐标为， 因为点在Γ：上，所以， 即，因为，所以， 所以Γ的方程为； （2）由（1）可知Γ的焦点，：经过Γ的焦点， 由，得， 设，，则，， 所以， 因此的面积.    12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知动点P与定点的距离等于点P到的距离，设动点P的轨迹为曲线C．直线l与曲线C交于A，B两点，（O为坐标原点）． (1)求曲线C的标准方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)48 【详解】（1）由抛物线定义可知：曲线为抛物线，且为抛物线的焦点， 则，即， 所以曲线的方程为． （2）设直线， 联立，可得， 则， 设，则， 因为，则， 即， 且，可得，可知直线恒过定点， 则， 当且仅当时，取最小值48． 13．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：（）与圆O的一个交点为． (1)求抛物线C及圆O的方程； (2)设直线l与圆O相切于点R，与抛物线C交于A，R两点，求的面积． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为抛物线C与圆O的一个交点为， 所以，所以，即抛物线C的方程为． 设圆O的方程为，所以， 所以，即圆O的方程为． （2）由题意得． 因为AR是圆O的切线，所以OR⊥AR，所以． 所以直线AR的方程为，即． 由与联立消去y得，则． 设点A和点R的横坐标分别为，． 则，． 所以． 所以的面积． 14．（23-24高二上·山东东营·期末）已知拋物线的焦点为为抛物线上一点，. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作互相垂直的两条直线交抛物线于四点，求四边形的面积最小值 【答案】(1) (2)32 【详解】（1）由，可得， 又在抛物线上，所以， 联立解得， 故抛物线方程为 （2）由（1）知： 设，， 由得：， ， 设所以， ， 同理：， 四边形的面积：， （当且仅当即：时等号成立） 四边形的面积的最小值为32． 15．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且， 所以焦点到准线的距离为2，即， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可得，， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即的方程为， 联立可得， 所以 所以， 又点到直线AB的距离， 所以的面积. 16．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：； (3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为椭圆，则， 其上焦点与抛物线的焦点重合， 则，即，所以抛物线的方程为. （2）证明：由题意可得过点的直线的斜率存在，设直线方程为， 设， 联立，消去可得， 则， 所以 ， 联立抛物线与直线方程，消去可得， 则， 所以， 所以 ， 所以. （3）设， 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由（2）的计算过程可知，， 由，以替换，可得， 所以 ， 因为，所以，， ； 当直线的斜率不存在时，，， 所以； 综上所述，，所以四边形的面积的最小值为. 17．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）抛物线的焦点， 则两点所在的直线方程为：， 代入抛物线，得，， 则，故， ∴抛物线的方程为 （2）由题意，设直线的方程为，， 联立，得， ∴，解得且， ， ∴点的横坐标为， ∴ 到直线距离， ∴的面积， 的面积， 由题意， ∴，整理得，解得或， ∴直线的方程为或. 抛物线中的参数范围及最值问题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C 2．（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设直线的斜率为k，则直线的方程为， 由题意得直线与抛物线C有交点，联立方程， 得， 当时，，即； 当时，，解得且， 综上所述，k的最大值为． 故选：D． 3．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所求点在抛物线上， 所以设所求点为：， 所以点到直线距离为： ， 当且仅当时，有最小值， 此时， 故选：B. 4．（23-24高二上·山西大同·期末）（多选）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】AB 【详解】由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，过作于点，则，显然当在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为1，所以A正确； 由于，故当三点共线时，即在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为4，所以B正确； 对于C选项， 设，则，当时，取得最小值，最小值为，所以C错误． 对于D选项， 根据抛物线的对称性，不妨设， 若，则，，，所以； 若，则，，，所以； 若且，此时且， ，，所以， 因为，所以，即． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以．此时有最大值为1．而，则． 综上，的最大值为．所以D错误． 故选:AB． 5．（23-24高二上·浙江舟山·期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，， ，则， 作轴于点，则， 所以梯形 ， 当，即时，时，， 由得，无解， 当即时，时，，满足题意， 综上，．    6．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，则直线的方程为， 代入曲线的方程，得， 化简可得：，① 由于与交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式，即 ， 解得，② 设的横坐标分别为，由①知，， 因此，结合的倾斜角为可知， ， 由②可知，， 故， 从而得， 故答案为：． 7．（23-24高二上·湖北·期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 . 【答案】 ； 【详解】当垂直于轴时，，此时，可得， 故的方程为：； 对抛物线上的任意两点， 若直线斜率存在，则， 故直线方程为：，即 也即，又， 故方程为：； 若直线斜率不存在，，， 显然此时，直线方程亦可表示为：； 综上所述，方程可表示为：； 又直线过点，则； 设两点坐标为， 同理可得直线方程为：， 直线方程为：， 又直线过点，则； 又直线过点，则； 综上可得：， 若直线斜率存在，设斜率为， 则， 显然， 当时，不满足题意； 当时，由，， 则， 当且仅当，也即时取得等号； 当时，易知，故此时， ； 当时，， 则. 综上所述：的最大值为. 故答案为：；. 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 9．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的准线为， 由抛物线的定义知，，又，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）由（1）知，， 设， 则，设直线， 由可得， ， 则， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 由斜率公式可得，， 又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，需使最大，则，设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：易知抛物线的焦点为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、，， 则，由得，， 由韦达定理可得，， 则 ，所以． （2）解：由（1）可知：的内切圆圆心在轴上， 所以设圆心，则，设直线的方程为，且， 由得，，且，则， 由韦达定理可得，， 所以， 所以直线的方程为，即． 因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以， 所以，，， 则，上述两个等式作差可得，可得， 所以， 因为在上单调减，所以． 所以. 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）（多选）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）（多选）已知直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ）． A． B．为定值 C．线段AB的中点在一条定直线上 D．为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 【答案】ACD 【详解】联立直线方程与抛物线方程，可得； 对A：由直线与抛物线交于A,B两点，可得，解得，故A正确； 对B：因为、，故可得，故B错误； 对C：设中点为，故可得； 故中点在定直线上，故C正确； 对D：为定值，故D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，则， 整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为． （2）证明：设，，则有，，， 直线的斜率为，所以， 于是 . 故直线，的倾斜角互补． 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点．    5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1)和 (2)证明见解析 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 6．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．    (1)求拋物线的方程； (2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点 【详解】（1）    设准线与轴的交点为， 直线的斜率为，又， ． 故抛物线的方程为：． （2）设，过点的直线方程为：． 则联立，整理得：， 由韦达定理可得：． 又设， 所以直线斜率为， 直线方程为，即的直线方程为：， 由三点共线可得：，即， 所以， 所以，因为，所以化简可得：， 同理，由三点共线可得：， 可得， ， 综上可得的直线方程为：， 变形可得：，所以直线过定点． 7．（23-24高二上·广东·期末）已知平面直角坐标系下，抛物线的准线方程： (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上两点满足，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由准线方程：可得，即， 所以抛物线的标准方程为； （2）是抛物线上两点，明显直线的斜率不为零， 设，， 联立，消去得， 则， 所以， 解得，此时 所以，其过定点. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线的焦点为，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且. (1)求的值； (2)已知点，是抛物线上不同的两点，且满足.证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）显然点， 由抛物线定义可知，，解得， 所以抛物线方程为：； （2）点在抛物线上，设直线， 点，联立，得， 在下，，所以 ， 整理，得，将代入直线，得， 即，所以直线恒过定点. 9．（23-24高二上·浙江舟山·期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点． (1)求抛物线方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可得或(舍去)， 所以； （2）设直线方程为：， 联立， 则， 所以， 直线，可得，同理， 所以 ， 所以．    10．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)48. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，抛物线， 设直线的方程为，，显然， 由消去x得， ，则且，， 因此， 所以为定值. （2）由，得，则，由（1）知，， ，解得， 直线的方程为，， 而点到直线的距离， 所以的面积. 11．（23-24高二上·四川泸州·期末）抛物线上的点到C的准线的距离为5． (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析；该定值为2； 【详解】（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得； 所以抛物线C的方程为； （2）如下图所示： 设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得， 设，则可得； 由于，所以可得，即， 可得，解得或（舍）； 又，所以可得直线的方程为， 联立，可得点D的坐标为； 又，所以可得 ； 即的长度为定值2. 12．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设点，点，则有， 则， 因为点在上，故， 解得：或（舍），即， 所以点的坐标为，方程为. （2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上. 设直线l的方程为，代入，得 设点，，则， 因为，所以， 直线的方程为， 令，得，所以点 同理，点， 设以线段为直径的圆与轴的交点为， 则， 因为，则， 即， 则， 解得：或， 故以线段为直径的圆所过定点为和. 13．（23-24高二上·上海·期末）设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 【答案】(1) (2)或 (3)，此时点的坐标为 【详解】（1）抛物线的焦点为， 所以设直线，，，联立 ，得， 所以，，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，， 设点是线段的中点，则由， ， 由题意可得点在直线上，所以， 即，解得：或， 设直线的倾斜角为，则，或， 又，所以直线的倾斜角为或； （3）点的坐标为， 过点的直线设为，，, 联立，得， ，得或， ，， 设 ， 当时，必须且只需，（常数）， 此时点的坐标为. 14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：． （2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，， 设，，则，． 所以，，故即． 15．（23-24高二上·浙江宁波·期末）如图所示，设抛物线，过抛物线E内一点的两条直线分别与抛物线交于A，C和B，D，且满足，其中，当轴时，． (1)求抛物线E的方程； (2)当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，2 【详解】（1）解：当轴时，，可得，则， 可得，所以，所以抛物线E的方程为. （2）解：设 由，可得， 因为A，C在抛物线，可得， 将代入得， 整理得，可得， 同理可得，对于B，D，则有 所以是方程的两个根，所以， 所以，即为定值． 16．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 17．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$