专题04 双曲线（7大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题04 双曲线 双曲线的定义 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：在双曲线中，且焦点在轴上， 椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为， 故椭圆中，故， ，， ，， ， 由余弦定理可得 ． 故选：C    2．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 5．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    6．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 7．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 9．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 【答案】B 【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为， 中，点分别是的中点，所以， 则，又因为. 故选：B 10．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知中，，，，以B、C为焦点的双曲线经过点A，且与边交于点D，则的值为 ． 【答案】 【详解】如图，双曲线的焦点为，，    由双曲线的定义可得， 设，双曲线的定义可得， 又因为， 所以在中， 即，解得， 所以，则. 故答案为：. 12．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 . 【答案】2 【详解】由双曲线定义可得， 又为右支上一点，故， 即. 故答案为：2. 13．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知曲线，点为平面内一动点，且与曲线的焦点不重合.已知关于曲线的左焦点的对称点为，关于右焦点的对称点为，线段的中点在双曲线右支上，则的值为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的实半轴长为，则， 设双曲线的左、右焦点分别为、， 设的中点为，连接、. 因为是的中点，是的中点，所以，是的中位线， 则，同理， 所以，， 因为P在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义知，所以，. 故答案为：. 14．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为：， 故答案为：. 15．（23-24高二上·河北保定·期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支， 故， 所以曲线的轨迹方程为， 因为， 所以， 当且仅当共线时，等号成立， 所以从处到、两村的路程之和的最小值为. 故答案为：. 双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由题意可知，，， 所以，则. 故选：D 3．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的一个顶点为得双曲线的焦点在轴，可设双曲线方程为， 则， 因为渐近线方程为，即，所以，所以， 所以所求双曲线的方程为. 故选：B 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】实轴长， 若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为， 若双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为. 故选：C． 5．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设双曲线方程为， 由于双曲线与椭圆有相同的焦点，，故，即， 不妨设P在第一象限，为左焦点，为右焦点，则，， 以上两式平方后相加减，得，， 由于，故， 则，则， 故双曲线方程为， 故选：D 6．（23-24高二上·吉林·期末）已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线C：的焦距为， 所以，即，所以，① 又因为双曲线的渐近线方程为：，且在C的渐近线上， 所以，② 由①②可得，， 所以双曲线C的方程为. 故选：B 7．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的方程为， 在椭圆中， 则，因为是以为底边的等腰三角形， 所以，由椭圆的定义可知，， 所以，再由双曲线的定义可得， 所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点， 所以， 故双曲线的标准方程为. 故选：C. 8．（23-24高二上·江苏连云港·期末）（多选）已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ABD 【详解】因为，所以： 当，如方程可化为，表示双曲线； 当时，方程化为：，表示直线； 当即时，方程可化为：，表示圆； 当时，方程化为：，表示直线； 当，如，方程可化为：，表示双曲线. 故选：ABD 9．（23-24高二上·广西·期末）关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【详解】由题意得：对于方程， ①当时，方程即，表示圆； ②当时，方程即，即，表示y轴； ③当且时，方程即， 若，方程表示双曲线；若且，方程表示椭圆. 综合可得：方程不可能是抛物线. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由双曲线的标准方程可得：，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    【答案】 【详解】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系:    使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.此时上、下口的直径都平行于轴,且, 设双曲线的方程为，则， 因为直径是实轴，又两点都在双曲线上，所以 ，解得， 因为，所以， 解得， 所以双曲线方程为， 所以， 因为双曲线关于轴对称， 所以. 故答案为:. 13．（23-24高二上·湖北武汉·期末）以椭圆长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【详解】由可得其长轴的端点坐标分别为、， 又，故其焦点坐标分别为、， 故该双曲线的焦点坐标为、，且、为其顶点坐标， 又，故双曲线方程为. 故答案为：. 双曲线的焦点、焦距与渐近线 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】已知双曲线的渐近线方程为，对照，可得， 所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，． 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）双曲线的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线转化为标准方程为， 故， 故焦点为和， 故选：A 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，消去得， 所以，此时方程的解为， 所以， 解得，符合， 所以双曲线的焦距为. 故选：B. 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【详解】由题设，则焦距为. 故选：D 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是双曲线的一条渐近线， 则，解得 故,则， 故选：A 6．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为， 所以， 所以渐近线方程为, 故选：B 7．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则，故渐近线方程为 故选：D 8．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令得， 整理得， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 9．（23-24高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为，且与平行， 因为点P到直线的距离大于m恒成立， 所以m的最大值为直线与直线的距离， 即为. 故选：C. 10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆焦点坐标为，顶点坐标为， 故双曲线中，由， 所以双曲线的方程为，渐近线的方程为， 设倾斜角为，得，由同角三角函数的基本关系，可得. 故选:D. 11．（23-24高二上·江苏镇江·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入，求得， 则所求双曲线方程为， 化简可得. 故选：C 12．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选）椭圆与双曲线（   ） A．有相同的焦点 B．有相等的焦距 C．有相同的对称中心 D．可能存在相同的顶点 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知其焦点坐标为，焦距为，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为； 由双曲线方程可知其焦点坐标为， 因此两曲线焦点不同，即A错误； 焦距为，可得B正确； 双曲线也关于原点成中心对称，即C正确； 当时，双曲线的左、右顶点坐标为，即D正确； 故选：BCD 13．（23-24高二上·全国·期末）（多选）曲线的焦距为4，则实数m的值可以是（    ） A．15 B．5 C．3 D． 【答案】BD 【详解】由题意. 当曲线为椭圆时：则，则； 当曲线为双曲线时：，则 故选：BD. 14．（23-24高二上·福建福州·期末）如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么 . 【答案】1 【详解】由双曲线可知，其焦点位于x轴上， 由椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆焦点也位于轴上， 得，解得（负值舍）， 故答案为：1 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    16．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】解：设与渐近线的交点为A， 因为关于C的一条渐近线的对称点为M， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以C的渐近线方程为. 故答案为：. 17．（23-24高二上·海南海口·期末）直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为右顶点，为坐标原点．若，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】设交轴于点，所以点坐标为， 由直线与双曲线的左支、右支分别交于，两点， 所以可求得点坐标为， 又因为，结合双曲线对称性，得，， 所以，得， 所以，所以渐近线方程为． 故答案为：． 18．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 19．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心. (1)求的值； (2)设圆与双曲线的渐近线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意双曲线的两个焦点的坐标分别是， 所以， 而圆即圆的圆心坐标为， 所以， 又注意到， 所以解得或（舍去），， 所以. （2） 由（1）得双曲线方程为，其渐近线方程为或， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以. 双曲线的离心率 1．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ， 为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设双曲线的半焦距为c，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为C， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得. 故选：C. 4．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，则下列说法正确的是（    ） A．正中，分别是的中点，则以为焦点，且过的椭圆是“黄金椭圆” B．已知为正六边形，则以为焦点，且过的双曲线是“黄金双曲线” C．“黄金椭圆”上存在一点，该点与两焦点的连线互相垂直 D．“黄金双曲线”的实半轴长，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距能构成等比数列 【答案】D 【详解】对于A，以BC的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设的边长为2， 以为焦点，且过的椭圆方程设为，所以，椭圆的离心率为,故A错误； 对于B，以AD的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设正六边形的边长为2，以为焦点，且过的双曲线方程设为，离心率为,故B错误； 对于C，设“黄金椭圆”的方程为，椭圆上的点，焦点，由可得 又因为“黄金椭圆”的离心率， 所以， 所以“黄金椭圆”上不存在一点，与两焦点的连线互相垂直.故C错误. 对于D，“黄金双曲线”的方程设为，实半轴长为，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距，因为离心率 所以，成等比数列.故D正确. 故选：D. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足，若在双曲线的右支上存在一点A，使得，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设A在第一象限． 因为， 所以A是以O为圆心，为半径的圆O与的交点． 设的左焦点为X， 则，， 即， 在圆O上上取一点C，使，则 由双曲线的定义知（a是实半轴长）， 即（c是半焦距）， 由，得，得 ，又离心率，所以， 又， 所以， 故选：B 6．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图所示，设的外接圆与及轴分别切于点， 则 因为的内切圆圆心的横坐标为1，即， 由双曲线的定义，可得，可得， 所以，又由， 所以，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 7．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 8．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设在第二象限，如图，垂直于轴， 代入，可得，可知， 直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点， 则，所以， 又在双曲线的渐近线上， 可得， 解得，即双曲线的离心率为． 故选：C 9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）中心在原点的双曲线C的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A．3或 B．或 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】解：如果焦点坐标在x轴，双曲线C的一条渐近线方程为， 则，所以，所以，此时； 如果双曲线的焦点坐标在y轴，双曲线C的一条渐近线方程为， 则，所以，可得，所以． 故选：D． 10．（23-24高二上·江苏·期末）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，则C的离心率为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】由题设，易知，则，故. 故选：D 11．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线l经过双曲线C：的右焦点F，且与其中的一条渐近线垂直，设与两条渐近线的交点分别为A与B，且，则C的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由于渐近线方程为， 不妨设l的方程为，渐近线倾斜角为， l与渐近线的交点为B，与的交点为A，如图1， 可知，，所以， 所以，， 又， 由，可得，所以 若如图2，则为的中点，故,所以，故， 所以， 故选：C 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设点分别为双曲线的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】 ∵，∴共线，设，则， ，∴，∴， 结合双曲线定义得， ∴，整理得，则或， 若，则，，不满足，舍去， 若，则，，满足，，， ∴在中， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， ∴． 故答案为：． 13．（23-24高二上·四川乐山·期末）如图，圆O的半径为2，A是圆内一个定点，且，B是圆外一个定点，且，P是圆O上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点Q，线段的垂直平分线和半径OP相交于点R，当点在圆上运动时，点Q和点R的运动轨迹分别是椭圆和双曲线，设它们的离心率分别为和，则 ．    【答案】/ 【详解】连接，因为线段的垂直平分线和半径相交于点Q， 所以,即， 所以点Q的轨迹是以为焦点，2为长轴长，焦距为1的椭圆， 所以该椭圆的离心率为. 因为线段BP的垂直平分线和半径OP相交于点R， 所以,即， 所以点R的轨迹是以为焦点，2为实轴长，焦距为4的双曲线， 所以该双曲线的离心率为. 所以. 故答案为：.    14．（23-24高二上·河南·期末）已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 因为，所以， 在中，，所以为等边三角形，所以， 根据双曲线定义可得， 在中，由勾股定理可得，整理得， 所以，解得， 所以的离心率为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·云南昆明·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【详解】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 16．（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线的离心率是方程的两根， ． 【答案】35或 【详解】方程的两根为和， 所以双曲线的离心率是，可得＝，解得， 又椭圆的离心率为，可得或， 解得或． 则有或． 故答案为：35或． 17．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期末）求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 【答案】 实半轴为，虚半轴为，焦点坐标为离心率为，渐近线方程为 【详解】将化为标准方程可得， 由方程可得，解得，   故实半轴为，虚半轴为， 所以渐近线方程为， 又，解得， 所以焦点坐标为，离心率. 18．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知、分别是双曲线C：（，）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行． (1)求双曲线C的离心率； (2)若，M为双曲线上一点，且，求的值﹒ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线为， 因为双曲线的一条渐近线与直线平行， 所以即． ∵， ∴． ∴． （2）由得，即． 由（1）知，，得． 由双曲线的定义可得：， 解得或． ∵， ∴．    直线与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为， 则点在渐近线上， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以． 故选：A． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而直线与平行，平行线间的距离， 由题意可知点到直线的距离大于. 故选：B. 4．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 【答案】ABC 【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 5．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知曲线为上一点，则（    ） A．与曲线有四个交点 B．曲线的图像不经过第二象限 C．的取值范围为 D．过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率 【答案】BCD 【详解】当时，曲线方程为，即，是双曲线的一部分， 当时，曲线方程为，实数平面内不存在这样的曲线，故B正确， 当时。曲线方程为，即，是双曲线的一部分， 当时，曲线方程为，即，是椭圆的一部分， 故作曲线图像，如下图， 对于A，由双曲线方程知渐近线为，而显然与渐近线平行， 由图像知与曲线不可能有四个交点，故A错误， 对于C，是的一部分， 后者表示曲线上动点到直线的距离， 转化为两平行线与的距离， 而与曲线有交点，联立方程组，， 可得， 由，解得(另一个根舍去)， 结合图像得，，化简得， 故C正确， 对于D，易知在曲线的切线上， 且设过点且与相切的直线方程为， 联立方程组，， 可得， 而， 解得(另一个根舍去)， 由图像可知，当时，直线与曲线有三个交点，故D正确. 故选：BCD 6．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】AB 【详解】由点，且点满足， 根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且， 所以双曲线的方程为， 又由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 由双曲线的渐近线方程为， 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确； 当时，直线的方程为，联立方程组，其中， 可得，此时，且易知方程有两个正根， 所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确. 故选：AB. 7．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为实数满足， 当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分； 当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分； 当时，方程为的图象不存在； 当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分； 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 则表示点到直线的距离的倍， 根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为， 令，即，与双曲线渐近线平行，观察图象可得， 当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大， 即当直线与椭圆相切时，最大， 联立方程组，得，， 解得，又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以， 又直线为双曲线的一条渐近线，故曲线上的点到直线的距离大于0， 所以，综上所述，，所以，即， 故答案为：. 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1） 由知左顶点， 当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意； 当直线斜率存在时，设即， 由与圆相切得，解得或， 所以直线的方程为或. （2）由知，所以渐近线斜率为， 若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去； 若直线的方程为，与双曲线有两个交点， 联立消去并整理得，解得或， 因为，所以， 又因为，所以. 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线 (1)求曲线E的方程； (2)过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，，且动点P满足，由双曲线的定义知： 曲线E是以为焦点的双曲线的右支，且，，则，故曲线E的方程为 （2）   当直线l的斜率为0时，直线l与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l方程为：， 设，，联立，得， 由韦达定理得，，. 由题意：解得： ，令，因故， 而，在为减函数， 故，即的取值范围为. 11．（23-24高二上·全国·期末）已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线 (1)求曲线E的方程； (2)过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，曲线E是以为焦点的双曲线的右支，且，， 则，故曲线E的方程为 （2）设直线l为：，，， 联立，得， 由题意：，由韦达定理得， 由， 则，解得， 由 ， 则，即，解得 综上可得：. ， 令，故，又在单减， 故的取值范围为. 12．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点. (1)若的重心在直线上，求k的值； (2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）设，联立方程，即， ， 又的重心为，由题设， 即 ，. 所以，则. （2）由题设，直线，联立方程即， ，则， ，代入化简得， 所以或（过M点舍），直线为，代入双曲线得， ，而M点到的距离为d，则， . 13．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值． 【答案】(1) (2)或2． 【详解】（1）双曲线的焦点为，一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， 而离心率，且，，方程为. （2）联立，得, 即， 当时，显然有一个解，此时，负根舍去； 当时，，，负根舍去， 综上，或2． 14．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点M在双曲线上，且． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线交双曲线C于A，B两点，若的面积为，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由条件知，，故． 即双曲线标准方程为. （2）设，O到直线l的距离为h， 联立得， 由，解得， 而又由， 故弦长， 解得，故． 双曲线的弦长、焦点弦 1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 2．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：D. 3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）（多选）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（    ） A．C的焦点到其渐近线的距离为 B．直线与的斜率之积为2 C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D．点P到两条渐近线的距离之积为 【答案】AD 【详解】对A，由已知得渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离，A正确； 对B，由双曲线和直线的对称性可设，，， 则， 所以，故B错误； 对C，过C的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2； 当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大； 综上，过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为， 又由双曲线的对称性可知，过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C错误； 对D，点到两条渐近线的距离之积： ，D正确. 故选：AD.    5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 6．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 双曲线的渐近线方程为，即， 过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则， 由勾股定理可得， 易知为的中点，则， 即，可得，即， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为 . 【答案】 【详解】如图所示：因为双曲线的离心率，所以，， 设点在双曲线的右支上，由， 可得，， 所以，， 由双曲线定义可得，由勾股定理可得， 所以，可得， 因此的面积为.    故答案为：. 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点 (2) 【详解】（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设， 联立，消得， ， 则， 所以.    9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 10．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4． (1)求的方程； (2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以， 故的方程为． （2）由（1）知，显然直线的斜率不为0，设的方程为，    联立方程组，消去得， 则． 设，则． 所以． 由，化简得， 解得（负值舍去），即， 所以直线的方程为或． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 12．（23-24高二上·四川达州·期末）已知，为双曲线C：的左、右焦点，，过斜率存在的直线交C的右支于A，B两点，且． (1)求C的方程； (2)点A关于x轴对称点为D，直线BD交x轴于点E，记，的面积分别为，．求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，即，所以， ，即，所以， 因为，所以C的方程为； （2）由已知，， 由题意可知过A，B两点的直线斜率不为0，设直线方程为， 设，，则， 由可得， 则，即，且， 所以， 直线的方程为，当时，， 又，， 所以， 所以， . 13．（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， , 因为，所以， 故双曲线的方程为 （2）当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线 ， 故由， 从而，化简得 又因为双曲线的渐近线方程为，故由， 从而点.同理可得，， 故MN中点横坐标为， 所以为的中点， 故四边形MONQ为矩形 设四边形MONQ面积为，则 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线M的离心率的倍． (1)求椭圆C伴随双曲线M的方程； (2)如图，点分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过F的直线l与M上支交于两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1); (2)或. 【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为，， 依题意可得，，即，即， 解得， 所以椭圆C：，则椭圆C伴随双曲线M的方程为． （2）由（1）可知，，设直线l的斜率为k，，， 则直线l的方程，与双曲线联立并消去y得， 则，所以，， 又， 又， 所以， 解得或， 因为直线与双曲线上支交于两点，所以，即， ，即，解得， 所以, 所以直线AB的方程为：或. 15．（23-24高二上·四川自贡·期末）双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为． (1)求双曲线C的方程； (2)过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）， 则直线的方程为，即， 则原点到直线的距离， 设， 联立，消得， ， 则， 所以， 所以的面积.    双曲线的中点弦 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 两式相减并化简得，即， 当时，设直线的倾斜角为， 是以为底边的等腰三角形，所以， 所以， 则. 根据对称性可知，当时，， 综上所述，直线的斜率为. 故选：D 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 【答案】AB 【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确； 对B，因为，，则， 又，故，即， 故，故B正确； 对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对D，设存在两点，为中点，则， 即，又，故， ，故，即. 由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.    故选：AB 5．（23-24高二上·广东佛山·期末）（多选）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意； 斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入， 可得: ，两式相减可得：， 设直线的斜率存在，整理可得. 对于A，，直线， 化简可得，代入可得， 整理可得，显然方程无解，故A错误； 对于B，，直线， 化简可得，代入可得， ，， .由， ，故B正确； 对于C，，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故C正确； 对于，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·重庆·期末）（多选）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 【答案】AD 【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故， 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错； 记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有， 对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错； 对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确． 故选：AD. 7．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6.    (1)求动点的轨迹方程； (2)如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）   如图，设动点，因分别与直线垂直， 则四边形是矩形，依题 ，代入得： 两点分别在一､四象限， 点的轨迹方程为： （2）   如图，设直线的方程为：，中点 直线的方程与的方程联立消元得： 则解得：且， 由可得：将其代入得，即. 要证成等比数列，只要证明三点的横坐标成等比数列即可. 因直线的斜率,则直线的方程为 由可得点横坐标满足，因点的横坐标显然是， 则 故成等比数列. 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为 联立方程解得 ，又， ，则 而 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设直线的方程为即 联立方程 得① 解得 将代入①，得 故直线的方程为. 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设 得， , 直线的方程为，即， 联立方程 得， 故直线的方程为. 10．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 由，得， 所以的方程为． （2）证明：设两点的坐标分别为， 则 两式相减并整理得，， 设，依题意可得 所以， 即，所以， 即，所以点在直线上． 11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 双曲线中的参数范围及最值问题 1．（23-24高二上·山东日照·期末）已知实数、满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，则，此时，曲线表示的图形不存在； 当，时，曲线方程可化为. 作出曲线的图象如下图所示：    双曲线、的渐近线方程均为， 令，其中点在曲线上，由图可知，， 当直线与椭圆相切，且切点位于第一象限时，取最大值， 由可得， 由，因为，解得， 所以，，则，即， 故的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．四边形的面积为 D．四边形的周长最小值为 【答案】BC 【详解】A选项，由题意得，故，故，A错误； B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角， 由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等， 所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确； C选项，设，则 ， 因为渐近线方程为 ， 所以， 所以， 则四边形的面积为，故C正确； D选项，由C选项及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 四边形的周长为，故D错误． 故选：BC 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高二上·浙江湖州·期末）设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点． (1)当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率； (2)若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当直线l与x轴垂直时,令得，解得， 所以两点的距离为为， 根据题意可得， 所以， 整理得； （2）双曲线C的焦距为4，则，即， 由于直线的斜率不为零，设其方程为， 联立，消去得， 设， 则，， 由于两点均在双曲线的右支上， 所以， 所以，即 所以 ， 由恒成立，得时，均有，并且不可能同向， 即，由于， 因为不等式左边是关于的增函数， 所以只需时，成立即可， 解得，又， 所以， 所以双曲线C的实轴长的取值范围为. 7．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知直线：，直线：，过动点M作，，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形（O为原点）的面积为2． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由直线：，直线：，可知， 故四边形为矩形，四边形（O为原点）的面积为2，即得， 因为，故， 得， 由于点A在第一象限，点B在第四象限， 故动点M的轨迹方程为； （2）由题意知，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点， 即l与双曲线的的右支交于两点，双曲线的渐近线为， 故或； 设直线l的方程为，联立， 整理得， 设，则， 故CD中点的坐标为， 则CD的垂直平分线的方程为， 令，得，令，得， 故， 因为或，故或， 故或， 所以的取值范围为. 8．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意可知：， 且焦点在x轴上，则双曲线E的左焦点为， 当时，直线l：，即， 所以双曲线E的左焦点到直线l的距离为. （2）存在，理由如下： 设，，， 联立直线l与双曲线E的方程，得， 消去y，得． 由且，得且， 由韦达定理得，则， 由题意可知：双曲线E的渐近线方程为， 设，， 联立方程，解得， 同理可得， 因为， 所以线段AB的中点M也是线段CD的中点． 若A，B为线段CD的两个三等分点，则． 即，． 而，． 则，解得， 所以存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点． 9．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 10．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，即 由，得，由过点的直线PA的斜率不存在时，，得， 解得，所以双曲线的方程为：. （2）设，，则，而，即， 则 ， 由双曲线定义得，显然圆的圆心为，半径， 因此，， 于是 ，， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 11．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）因为， 由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 所以，， 所以动点的轨迹方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：， 此时， 所以； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：， 代入双曲线方程可得：， 可知其有两个不等的正实数根， 解得：， 所以 . 由得， ， 综上所述，的最小值为1. 双曲线的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·广东汕尾·期末）（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 【答案】BD 【详解】由双曲线知，，， 对于A，双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确； 故选：BD. 2．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）解：设双曲线方程为， 因为该双曲线的上顶点坐标为，则， 则由可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：由（1）可得、，设、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称， 从而可知，直线、关于轴对称，则点在轴上，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，， ， 设，则，，所以，， 又， 得，所以，， 即，化简得， 解得，所以直线过定点. 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交双曲线于两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，； 【详解】（1）由题意可得，所以， 又由可得， 因为，．所以， 由双曲线的定义，可得， 而，所以，解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可得，因为直线的斜率不为0，设，，， 联立，整理可得， 则由题意得，，，， 因为 ， 要使为定值，则，解得，， 所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为0， 因为双曲线渐近线方程为， 此时， 又，，则，令，则， 所以，又在上单调递减， 所以当，即，方程为时，面积取到最小值，且． 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为4， 所以，解得. 又双曲线经过点， 所以，. 解得， 所以双曲线的方程为. （2） 设直线的方程为，设点，则， 将代入方程， 得， 易知， 则， 由三点共线可得, 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 直线的方程为， 所以直线过定点. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足． (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在实数，使得直线过定点 【详解】（1） 焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得 所以双曲线方程为； （2） 假设存在实数，使得直线过定点, 设直线，则． 联立，消得 则． 直线，令得: 又 当即时，为定值 所以存在实数，使得直线过定点. 6．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知动圆过点并且与圆：相外切，动圆圆心的轨迹为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于两点，设直线：，设点,直线交于，求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由圆：，可得圆心，半径为. 由已知可得：，即， 所以点的轨迹为为双曲线的右支， 结合双曲线的定义：解得：， 故曲线标准方程. （2）由对称性可知，直线必过轴的定点， 当直线的斜率不存在时,,,， 所以，所以直线为，即， 可知直线经过点. 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，，， 联立，可得， 所以，， 所以直线：， 当时，，， 下面证明直线经过点，即证，即， 即，由，, 整理得:， 即， 即证经过点，直线过定点. 7．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【答案】(1) (2)恒过点，理由见解析 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以， 故，故， 所以双曲线； （2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：， 设,， 由，得 恒成立，， ， 即以直径的圆恒过点. 当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点， 综上，以直径的圆恒过点. 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点，该常数为56 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距， ，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且，则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．    9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为抛物线的焦点是双曲线M的一个顶点，即，， 所以双曲线M的方程是． （2）设，联立方程得消去y得， ∵，解得或（*）， 由韦达定理， ∵，∴即， 所以，解得， 不满足（*）式，所以不存在m符合题意． 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离， 又，则，则， 所以双曲线方程为； （2）由（1）知，设直线，, 联立，得，， ，， 直线的方程为，当时，， 直线的方程为，当时，， 即，， 如图可知，， ， ， ， 当，时，，， 所以， 即， 当时，， 所以. 11．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为：，双曲线左，右两个顶点分别为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，若，求的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的焦距，； 双曲线的渐近线方程为，即，， 又，，， 双曲线的标准方程为：． （2） 由（1）得：，，设，， 如图可知：直线的斜率一定存在，则可设， 由得：， 由解得：且， ，， ； ，，即， ， 解得：或，又且，故， 则直线的方程为：，即． 12．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点. (1)已知点，求当取得最小值时直线的方程； (2)若直线与直线交于点，证明：为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）设，其中， 所以当时，取得最小值为，此时， 此时，所以直线：， 化简得或 （2）设，，则直线的方程为：，所以 所以， 所以为定值. 13．（23-24高二上·吉林·期末）已知双曲线，其中离心率为，且过点，求 (1)双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，可得，故双曲线的标准方程为； （2）由题设及双曲线渐近线，令直线且，则直线， 则，可得，即，故， 所以， 同理可得，故，所以， 所以为定值. 14．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的实轴长为2，且其渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)有，-9. 【详解】（1）若实轴长为2，则，易知渐近线方程为，，解得，可得双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为 其与的交点为 联立得 所以 因为所以 即 所以 所以 15．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 16．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3)存在 【详解】（1）证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以，                           所以点E恒在定直线上． （2）法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . （3）设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 双曲线中的向量问题 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）（多选）双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（    ） A．若以为直径的圆经过，则 B．若，则或9 C．过点作的垂线，垂足为，若（），则 D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2 【答案】AD 【详解】由双曲线的方程可知，，，由题意可设，， 对于A，以为直径的圆经过，连接，，可得四边形为矩形， 设，，可得，即，得， 所以，故A正确； 对于B，，所以在双曲线的左支上，则，故B不正确； 对于C，由题意可得，设其中一条渐近线的方程为，则直线的方程为，即， 代入双曲线方程可得，化简得，解得， 如图在之间，所以，，即， 所以，故，故C不正确； 对于D，联立，可得：，由于，， 所以，由，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 4．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，所以， 故，离心率为 （2），， 所以， 由于，所以， 解得， 5．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，其中， 由题得，所以，即， 又焦点到渐近线的距离为3，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立直线与的方程，得消去得， 因为直线与的两支分别交于点，所以， 得，设，则， ， 综上，的取值范围是. 6．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）因为双曲线的渐近线为， 可设双曲线的方程为： 又点在双曲线上，所以： 双曲线的方程为：. （2）①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意． 当k存在时，直线l的方程可设为：，设， 联立双曲线方程：, 由题意：，∴， 所以直线l的斜率的取值范围为． ②由，可得： 当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件； 直线l的方程设为：， 联立方程可得：， ， 由，可得：代入上式可得：， ，解得：，故：． 此时直线l的方程为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双曲线 双曲线的定义 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D．   2．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 10．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知中，，，，以B、C为焦点的双曲线经过点A，且与边交于点D，则的值为 ． 12．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 . 13．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知曲线，点为平面内一动点，且与曲线的焦点不重合.已知关于曲线的左焦点的对称点为，关于右焦点的对称点为，线段的中点在双曲线右支上，则的值为 ． 14．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 15．（23-24高二上·河北保定·期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为 . 双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 3．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·吉林·期末）已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏连云港·期末）（多选）已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 9．（23-24高二上·广西·期末）关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为 . 11．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 12．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    13．（23-24高二上·湖北武汉·期末）以椭圆长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 ． 双曲线的焦点、焦距与渐近线 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）双曲线的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D．2 10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏镇江·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选）椭圆与双曲线（   ） A．有相同的焦点 B．有相等的焦距 C．有相同的对称中心 D．可能存在相同的顶点 13．（23-24高二上·全国·期末）（多选）曲线的焦距为4，则实数m的值可以是（    ） A．15 B．5 C．3 D． 14．（23-24高二上·福建福州·期末）如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么 . 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 16．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 17．（23-24高二上·海南海口·期末）直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为右顶点，为坐标原点．若，则该双曲线的渐近线方程为 . 18．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 19．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心. (1)求的值； (2)设圆与双曲线的渐近线交于两点，求. 双曲线的离心率 1．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，则下列说法正确的是（    ） A．正中，分别是的中点，则以为焦点，且过的椭圆是“黄金椭圆” B．已知为正六边形，则以为焦点，且过的双曲线是“黄金双曲线” C．“黄金椭圆”上存在一点，该点与两焦点的连线互相垂直 D．“黄金双曲线”的实半轴长，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距能构成等比数列 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足，若在双曲线的右支上存在一点A，使得，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 7．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）中心在原点的双曲线C的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A．3或 B．或 C．2或 D．或 10．（23-24高二上·江苏·期末）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，则C的离心率为（　　） A． B．3 C． D．2 11．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线l经过双曲线C：的右焦点F，且与其中的一条渐近线垂直，设与两条渐近线的交点分别为A与B，且，则C的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设点分别为双曲线的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为 ． 13．（23-24高二上·四川乐山·期末）如图，圆O的半径为2，A是圆内一个定点，且，B是圆外一个定点，且，P是圆O上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点Q，线段的垂直平分线和半径OP相交于点R，当点在圆上运动时，点Q和点R的运动轨迹分别是椭圆和双曲线，设它们的离心率分别为和，则 ．    14．（23-24高二上·河南·期末）已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 15．（23-24高二上·云南昆明·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 16．（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线的离心率是方程的两根， ． 17．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期末）求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 18．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知、分别是双曲线C：（，）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行． (1)求双曲线C的离心率； (2)若，M为双曲线上一点，且，求的值﹒ 直线与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 5．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多选）已知曲线为上一点，则（    ） A．与曲线有四个交点 B．曲线的图像不经过第二象限 C．的取值范围为 D．过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率 6．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 7．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线 (1)求曲线E的方程； (2)过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围． 11．（23-24高二上·全国·期末）已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线 (1)求曲线E的方程； (2)过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围． 12．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点. (1)若的重心在直线上，求k的值； (2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积. 13．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值． 14．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点M在双曲线上，且． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线交双曲线C于A，B两点，若的面积为，求实数m的值． 双曲线的弦长、焦点弦 1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）（多选）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（    ） A．C的焦点到其渐近线的距离为 B．直线与的斜率之积为2 C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D．点P到两条渐近线的距离之积为   5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 6．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为 . 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为 . 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 10．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4． (1)求的方程； (2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 12．（23-24高二上·四川达州·期末）已知，为双曲线C：的左、右焦点，，过斜率存在的直线交C的右支于A，B两点，且． (1)求C的方程； (2)点A关于x轴对称点为D，直线BD交x轴于点E，记，的面积分别为，．求的值． 13．（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线M的离心率的倍． (1)求椭圆C伴随双曲线M的方程； (2)如图，点分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过F的直线l与M上支交于两点，的面积为，求直线的方程． 15．（23-24高二上·四川自贡·期末）双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为． (1)求双曲线C的方程； (2)过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）． 双曲线的中点弦 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 5．（23-24高二上·广东佛山·期末）（多选）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期末）（多选）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 7．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6.    (1)求动点的轨迹方程； (2)如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列. 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 10．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 双曲线中的参数范围及最值问题 1．（23-24高二上·山东日照·期末）已知实数、满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．四边形的面积为 D．四边形的周长最小值为 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 6．（23-24高二上·浙江湖州·期末）设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点． (1)当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率； (2)若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围． 7．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知直线：，直线：，过动点M作，，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形（O为原点）的面积为2． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于，两点，求的取值范围． 8．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 9．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 10．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 11．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 双曲线的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·广东汕尾·期末）（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 2．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交双曲线于两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足． (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由. 6．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知动圆过点并且与圆：相外切，动圆圆心的轨迹为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于两点，设直线：，设点,直线交于，求证：直线经过定点． 7．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值. 11．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为：，双曲线左，右两个顶点分别为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，若，求的方程． 12．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点. (1)已知点，求当取得最小值时直线的方程； (2)若直线与直线交于点，证明：为定值. 13．（23-24高二上·吉林·期末）已知双曲线，其中离心率为，且过点，求 (1)双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且，证明：为定值. 14．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的实轴长为2，且其渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 15．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 16．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 双曲线中的向量问题 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）（多选）双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（    ） A．若以为直径的圆经过，则 B．若，则或9 C．过点作的垂线，垂足为，若（），则 D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 4．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 5．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 6．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$