专题03 椭圆（4大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题03 椭圆 椭圆的定义 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建泉州·期末）椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江西·期末）已知P为椭圆上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，C的离心率为，的平分线交于点Q，则 ． 8．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则 ． 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 . 10．（23-24高二上·湖北·期末）设，为椭圆C：的左右焦点，M为椭圆C上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则线段的长为 ． 椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24高二上·四川眉山·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期末）椭圆的焦点在x轴上，离心率为，则实数k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 11．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到 轴的距离为 ． 12．（23-24高二上·上海·期末）若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为 . 13．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 14．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 15．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 16．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积． 椭圆的离心率 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长 2．（23-24高二上·河南新乡·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（　　  ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 11．（23-24高二上·广西北海·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．    12．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率为 ． 13．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为 ．    15．（23-24高二上·江西上饶·期末）如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）（多选）椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 6．（23-24高二上·浙江台州·期末）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动. (1)求点的轨迹； (2)当时，证明：直线与点形成的轨迹相切. 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆锥曲线C的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点与点． (1)求曲线C的方程； (2)已知T为直线上的动点（T不在x轴上），A，B为曲线C与x轴的交点，直线与曲线C相交的另一点为M，直线与曲线C相交的另一点为N，记和的面积分别为，若，求直线的方程． 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 9．（23-24高二上·广东广州·期末）已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）. (1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状； (2)若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值． 10．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 11．（23-24高二上·广东江门·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 12．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 椭圆中的周长、面积等问题 1．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 2．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（    ） A． B．4 C． D．8 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 6．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 7．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若的中点恰好在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山西太原·期末）（多选）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 11．（23-24高二上·广东汕头·期末）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 12．（23-24高二上·四川成都·期末）把椭圆 的长轴分为 2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 2023个点，F 是椭圆的一个焦点，则这 2023个点到F 的距离之和为 13．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为，且是面积为的正三角形，若过且垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 14．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为 ． 15．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，. (1)求的方程； (2)当的内切圆面积取得最大值时，求的方程. 16．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆的短半轴长，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值． 17．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，求的周长. 椭圆中的最值问题 1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知椭圆与轴交于两点，点为椭圆上不同于的点. (1)若直线的斜率分别为，求的最小值； (2)已知直线，直线分别交于P、Q两点，为PQ中点．试判断直线MN与的位置关系． 6．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，点在上.    (1)求的方程； (2)设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值. 7．（23-24高二上·山东临沂·期末）欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且. (1)求的方程; (2)设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值. 8．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 9．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 10．（23-24高二上·广东清远·期末）已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． (1)求椭圆的标准方程． (2)证明：为定值． (3)求的取值范围． 11．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且． (1)求的标准方程； (2)不过原点的直线与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值． 12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程，并求出最大面积. 13．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 2．（23-24高二上·福建宁德·期末）点在单位圆上运动，点的横坐标为点的横坐标的倍，纵坐标相同． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知、为曲线与轴的左、右交点，动直线交曲线于、两点（均不与、重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，试问动直线是否恒过定点?若过，求出该点坐标：若不过，请说明理由． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点. (1)用表示点的坐标； (2)求证：直线过定点； (3)求的面积的取值范围. 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点． 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点坐标为，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为．证明：直线过定点． 7．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．    (1)求曲线的方程； (2)点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值. 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆的离心率在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线（斜率存在）与椭圆相交于点两点，且的面积，若为线段的中点．点在轴上投影为，问：在轴上是否存在两个定点，使得为定值，若存在求出的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（23-24高二上·四川内江·期末）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； (3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 12．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆：，其短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，动点，在上，记直线，的斜率分别为，，试问：是否存在常数，使得当时，的面积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：． 15．（23-24高二上·福建福州·期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程， (2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 16．（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆 椭圆的定义 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由椭圆，可得：，，，点在椭圆上. 因为，. 所以轴， 所以. 因为， 所以， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二上·福建泉州·期末）椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义可知光线从一个焦点经反射经过另一个焦点，其路程为长轴长， 再由第二个焦点经反射返回第一个焦点的路程仍为长轴长，所以经过的路程总共为． 故选:B． 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知点在椭圆上，所以由椭圆的定义可得．故D正确. 故选：D. 6．（23-24高二上·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 7．（23-24高二上·江西·期末）已知P为椭圆上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，C的离心率为，的平分线交于点Q，则 ． 【答案】2 【详解】   如图，因为平分，则， 设，，则，， 所以，得， 所以． 故答案为：2 8．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则 ． 【答案】12 【详解】由题意知，所以，又由椭圆的定义，得． 故答案为：12 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 . 【答案】10 【详解】由， 即点到点与点的距离之和为， 由椭圆定义可知，在以与为焦点， 与为上下顶点的椭圆上， 故. 故答案为：. 10．（23-24高二上·湖北·期末）设，为椭圆C：的左右焦点，M为椭圆C上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则线段的长为 ． 【答案】2 【详解】依题意，， 由椭圆定义，知， 由为等腰三角形，知，所以. 故答案为：2 椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【详解】方程，即表示焦点在轴上的椭圆， ，解得． 故选：A． 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示椭圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知时，，但时有， 此时方程表示圆，所以不满足充分性， 若方程 表示的曲线为椭圆，则， 显然成立，满足必要性， 故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 4．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】椭圆，，， 、在圆上，，， 的周长为， ，. 故选：C. 5．（23-24高二上·四川眉山·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即， 所以长轴长为 故选：B. 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，该曲线的半焦距为， 若该曲线为椭圆， 则或， 可得(舍去)或， 若该曲线为双曲线， 则，可得(舍去)， 综上，. 故选：B 7．（23-24高二上·江苏泰州·期末）椭圆的焦点在x轴上，离心率为，则实数k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【详解】由已知得，则， 所以，解得. 故选：B. 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的左焦点为，所以. 又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为， 所以， 结合，可得， 故椭圆的方程为. 故选：A. 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为 【答案】3 【详解】由题意可知，椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 故当两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点，另一条经过短轴顶点时，如图： 此时，两切线垂直，交点M在“蒙日圆”上， 由椭圆可知， 故“蒙日圆”的半径为， 故答案为：3 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 【答案】 【详解】   设. 由直线过右焦点且斜率为1；直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，可得：. 由，可得：，整理可得：. 则. 将代入可得：， 又因为 所以. 故答案为： 11．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到 轴的距离为 ． 【答案】 【详解】由椭圆，可得，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为点在椭圆上，可得， 联立方程组，解得，即， 所以点到轴的距离为. 故答案为：． 12．（23-24高二上·上海·期末）若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为椭圆的长轴长为12，一个焦点是， 所以，设椭圆的标准方程， 又，即，则. 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由椭圆的右顶点，可得， 当直线与轴垂直时，且， 所以直线过点，可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，且 所以，， ∴的面积为 ， 令，则 又由对勾函数在上单调递增，则， 所以，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为. 14．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意， 解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为l：． 15．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由短轴长为，可得，即， 将代入可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，， 联立，整理得：，得，，且， 因为，所以，所以， 即，即， 所以，整理可得：，解得， 所以直线的方程为：，即 16．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，得， 设方程为，则，得， 椭圆方程为. （2）因为左焦点坐标为，所以可得直线，也即， 设， 联立，得，即， ，． 又因为到直线的距离为，. 椭圆的离心率 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长 【答案】C 【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距， 显然顶点坐标随的变化而变化，离心率随的变化而变化， 长轴长随的变化而变化，ABD不是； 焦距不随的变化而变化，C是. 故选：C 2．（23-24高二上·河南新乡·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可设，则， 由对称性知， 由题可知，则， 由椭圆的定义知，则， 在中，， 则，整理得，故的离心率为. 故选：D. 3．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，且是的中点 则，即， 所以， 即， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（　　  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，则， 又点在圆（）上，所以， 所以点的轨迹即为椭圆， 所以，，， 所以这个椭圆的离心率为. 故选：A. 5．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 从而，解得， 所以，则椭圆的长轴长为. 故选：C. 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得， 由是，的等比中项， 可得，可得， 所以． 故选：B 7．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意得，设，又， 所以，即，解得， 即，又由三点共线得. 所以，整理得，所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， ，， 因为，即， 整理得，即，即， 由题可知，则，即， 则，则，则， 故选：B. 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设，因为轴，所以， 又因为，所以， 故y轴垂直平分线段，即为等边三角形， 且，可得， 将其代入，可得，又， 整理可得，即， 解得，可得（负值舍去）， 由椭圆的离心率，可得. 故选：B． 10．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】由椭圆的定义知，的周长为 ， 因为为等边三角形，所以， 所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 整理得，，所以． 故答案为： 11．（23-24高二上·广西北海·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．    【答案】 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：， 在中，根据余弦定理可知， 解之得或（舍去）， 则， 即 ， 解之得. 故答案为： 12．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，由题意可知， 所以， 在中由余弦定理可知：， 化简可得，所以， 过作轴交于点，如下图， 易知，所以， 所以，所以， 将代入椭圆方程可得， 所以，所以， 故答案为：. 13．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为： 14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为 ．    【答案】 【详解】设，,则，设椭圆的焦距为，则， 所以，， 因为，所以，化简得， 所以即，所以或（舍）， ，又因为，所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 15．（23-24高二上·江西上饶·期末）如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 【答案】/ 【详解】由图可得，故有， 由两个椭圆离心率相同，则有，即， 故，即有，故. 故答案为：. 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）（多选）椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，消得到， 由题有，解得，又，， 得到，所以， 故选：AD. 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 【答案】 【详解】直线经过椭圆的左焦点，则， 的周长为，解得，故， 椭圆的短轴长为， 由，得， 故答案为：；.    6．（23-24高二上·浙江台州·期末）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动. (1)求点的轨迹； (2)当时，证明：直线与点形成的轨迹相切. 【答案】(1)点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆 (2)证明见解析 【详解】（1）， 因为，所以与两个定点的距离的和等于常数（大于）， 由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆； （2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义得：，即，即， 则椭圆的标准方程为， 当时，点的坐标为和. 当点的坐标为时，已知点的坐标为， 线段的中点坐标为，直线的斜率为， 直线的方程，联立方程，得， 整理得，可得， 所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切. 当点的坐标为时，已知点的坐标为， 线段的中点坐标为，直线的斜率为， 直线的方程，联立方程， 得， 整理得，可得， 所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切. 综上，直线与点形成的轨迹相切. 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆锥曲线C的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点与点． (1)求曲线C的方程； (2)已知T为直线上的动点（T不在x轴上），A，B为曲线C与x轴的交点，直线与曲线C相交的另一点为M，直线与曲线C相交的另一点为N，记和的面积分别为，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）（1）设曲线， 因为曲线C过点与点，所以， 解得， 所以曲线方程为； （2）    设点，依题意可得A，B为曲线C的左、右顶点， 不妨设， 所以， 故， 由，消去x可得， 所以，故， 由，消去x可得， 所以，故， 因为，且， 所以 ， 化简得， 解得或或或， 当或时，或， 此时直线的方程为， 当或时，或， 此时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或． 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为，,设动圆的半径为，经分析可得，, 因为动圆与圆内切且与圆外切， 所以,两式相加, 所以点的轨迹为以,为焦点的椭圆，可设其方程为， 则，解得，所以椭圆方程为， 所以轨迹的方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为，故可设直线方程为,且 由易知：， 联立，可得， 所以则 即， 联立，可得， 所以直线的斜率为：， 所以直线的斜率为：， 因为四点共圆，且直线与轴垂直； 所以, 所以,即，解得：. 故实数的值为.    9．（23-24高二上·广东广州·期末）已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）. (1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状； (2)若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【详解】（1）设动点，依题意有 ， 整理，得， ∴动点M的轨迹方程为：, 时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 时，轨迹是圆， 时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆， 且点不在曲线上． （2） 由题意可知，斜率一定存在且不为零， 设直线方程为，， 联立，得， ， ， 因为，，恰好构成等比数列， 所以，即 代入韦达定理化简可得， 因为，所以. 10．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 解得， 故椭圆的标准方程为． （2）由题意可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则， 故 ． 11．（23-24高二上·广东江门·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵，直线的斜率为1， ∴直线的方程为：， 代入椭圆方程得：化简得：， 设，则有， ， 所以为； （2）由题意知，直线不与轴重合， 故可设直线的方程为：，设， 由方程组，消去整理得， ， 直线：，令得：， ， 即， 又直线与直线有公共点， 所以，，三点共线． 12．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得， 又，故，解得， 故椭圆方程为； （2）由题意得，， 可得直线方程为， 联立与得， 设，故， 故. 椭圆中的周长、面积等问题 1．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】D 【详解】设直线与相交于，    由题意，此时为等边三角形， 所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线， 所以. 因此，的周长等于 .故的周长为. 故选：D 2．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点， 得，所以平行四边形的周长为. 故选：D 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【详解】如图，    由抛物线，可知，准线方程， 因为，所以， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限， 则，所以, 又，所以, 所以的周长为， 故选：D 4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 5．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 6．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 7．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 故选：B. 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若的中点恰好在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点为，恰好在轴上，又点为的中点， 则，又 所以，则 直线的斜率为. 故选：B. 10．（23-24高二上·山西太原·期末）（多选）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 11．（23-24高二上·广东汕头·期末）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【答案】BC 【详解】如图所示，设切点为，内切圆半径为， 对于A，由椭圆方程得， 则， 所以，， 所以，故A错误； 由题意得 ， 又因为，解得，B正确； 从而， 所以， 所以，而， 所以，，C正确； 由题知，若、、三点共线， 则为的中线， 又因此时为的角平分线， 所以只能是时，上述成立， 而在上且在第一象限， 所以、、三点不可能共线，D错误. 故选：BC 12．（23-24高二上·四川成都·期末）把椭圆 的长轴分为 2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 2023个点，F 是椭圆的一个焦点，则这 2023个点到F 的距离之和为 【答案】 【详解】因为把椭圆的长轴分成2024等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，，， 如图：设椭圆的右焦点为，且，解得， 由椭圆的定义及椭圆的对称性得，，， 故答案为：    13．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为，且是面积为的正三角形，若过且垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 【答案】16 【详解】如图， 设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则. 又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线， 则，又， 故的周长， 又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有. 故答案为： 14．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【详解】设，由椭圆可得、， 有， 由， 故， 由在椭圆上，故有，即， 故，解得， 故，故点到轴的距离为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，. (1)求的方程； (2)当的内切圆面积取得最大值时，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，椭圆过点，且，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知，可设直线为，且， 联立整理得，， 所以，， 的周长为， 设内切圆的半径为，则，所以， 又，所以， 要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大， 而，所以， 令，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即，， 当时等号成立.此时，所以， 所以直线的方程为. 16．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆的短半轴长，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为， ，又， ，，， 所以椭圆的方程为； （2）由消去得，， 设,，,，则有，则， ，① 因为以为直径的圆过点，所以， 由,，,，得． 将，代入上式， 得． 将①代入得，化简得， 解得或， 若，则直线经过右顶点，此时不符合题意， 所以. 17．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，求的周长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）解：由题意知的半焦距， 因为离心率，所以， ， 所以的方程为. （2）联立方程得解得 所以. 由对称性可知， 所以的周长为. 椭圆中的最值问题 1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 【答案】 【详解】 设三点坐标分别为. 由可得. 所以，， 所以. ， 假设存在一点，则有. 因为，所以，因此点在直线上， 令为点到直线的距离， 设点坐标为.显然有， 又. 因此， 即的最小值为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4． 因为D是圆上的一个动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E，    则，可得， 因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中， 所以点E的轨迹方程为． （2）圆的圆心为，半径为2， 由题意可知：圆心到直线m的距离，    结合点E的轨迹方程可知：直线m的斜率可以不存在，但不为0， 设直线m的方程为，， 可得，整理得，即， 联立方程，消去x得， 则， 可得， 则， 所以△OMN面积为， 且，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以△OMN面积的最大值为1. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以， 则椭圆的标准方程为 （2）设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为，    所以，同理， 所以， 设直线，， 将直线方程代入椭圆的方程得：， 所以，即，同理， 所以，当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦距，； 椭圆过点，，又， （舍）或，，椭圆的方程为：. （2） 由（1）知：，， 设，，， 由题意可设直线，其中，， 由得：，， ； 同理可得：； ， ， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最大值为. 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知椭圆与轴交于两点，点为椭圆上不同于的点. (1)若直线的斜率分别为，求的最小值； (2)已知直线，直线分别交于P、Q两点，为PQ中点．试判断直线MN与的位置关系． 【答案】(1)最小值为1 (2)直线与椭圆相切 【详解】（1）取代入可得，所以， 设，则. 法一： 所以， 则（当且仅当时取等号） 所以的最小值为1． 法二： 则， 由，则，当且仅当时取等号． 所以的最小值为1． （2）如下图，由题意可知， 法一： 直线，直线 取代入可得， 则即 又因为，所以， 则直线的斜率， 则直线， 整理得，即 将与联立得：， 则， 所以直线与椭圆相切. 法二：由 直线，令，则 则，同理 所以中点为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 将与联立得：， 即， 即， 即，得到唯一解， 所以直线与椭圆相切. 6．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，点在上.    (1)求的方程； (2)设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的离心率为，即， 又， 又点在上，，即，解得， 故的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，，此时， ②当直线的斜率存在时，设为， 则， 则， 又，即， 直线的方程为，令，得，即， 直线的方程为，令，得，即， ，当且仅当时，取等号. 的最小值是. 7．（23-24高二上·山东临沂·期末）欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且. (1)求的方程; (2)设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不妨设是的右焦点, 则轴, 又, , 不妨设点,则, 又, 的方程为. （2）设,直线的方程为, 由，整理得, 则 故, 点在以MN为直径的圆上, ， ， , , 即, 整理得:, , 或, 当时,直线,过定点, 易知点在椭圆内, 当时,直线,过定点, 此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去, 直线方程:, 且直线恒过定点 点到的距离最大值为. 8．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即， 所以， 即，，所以椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以． ②当直线的斜率存在且不为0时，设，则， 设，，，， 联立，解得，即， 所以，同理， 所以． 令，则，， 所以，， 当时，又， 所以四边形的面积的最小值为． 9．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由已知得，得，，， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得，，则， 设，，直线的方程为， 代入，整理为， 由，解得：， 且，， 四边形的面积 ， 当时，. 10．（23-24高二上·广东清远·期末）已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． (1)求椭圆的标准方程． (2)证明：为定值． (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意知：，又，解得：，所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 由题意，直线不垂直于坐标轴，可设为：，. 联立方程组：，消去并整理得：. 设，，则 ，. 由得：， 而，同理可得：. 因此， 所以为定值. （3）因为. 又, 因为，所以，则. 所以的取值范围是. 11．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且． (1)求的标准方程； (2)不过原点的直线与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可得， 又因为椭圆的离心率为，所以， 又，联立解得，， 所以椭圆的标准方程为 （2）解：设点、， 联立可得， 则，① 由韦达定理可得，， 所以 ， 因为点为中点，所以， 由，可得，即， 所以，点为中点， 所以点的坐标为， 将点的坐标代入椭圆的方程，可得， 化简得， 又，， 代入上式可得，，即． 把，，代入， 可得，且满足①式． 在直线的方程中，令，可得，即直线交轴于点， 则直线与坐标轴所围成三角形面积为 ， 当且仅当时，即当时取等号． 所以直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值为． 12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程，并求出最大面积. 【答案】(1)； (2)直线方程为，. 【详解】（1）由题意，解得，则，椭圆的方程为：. （2）由题意，直线斜率必存在，设，直线为，    联立，得，. 则，， 又， 令，则， 又在单调递增， 当，即，即时，面积最大， 此时直线为，且. 13．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）由，又两个顶点分别为， 则，， 故椭圆E的方程为； （2）为椭圆上的动点，则，故直线的斜率存在且不为0， 则直线：，即，则点， 则直线：，即，则点， 则直线的斜率为，故直线：， 令,得， 又在椭圆上，则，整理得， 所以，则， 所以 综上，存在，使得有最大值. 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为， 因为动圆与圆外切,所以. 因为动圆于圆外切,所以, 则, 由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为, 则，故, 所以曲线的方程为. （2）①当直线斜率存在时,设直线:， 联立，消去可得, 则，化简得. 设，则. 由题意知，因为, 所以, 所以, 所以, 即, ， 即， 即. 因为，所以，即， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. ②当直线斜率不存在时，设直线:，且, 则点. 所以 ,解得, 所以直线的方程为，也过定点. 综上所述, 直线过定点. 2．（23-24高二上·福建宁德·期末）点在单位圆上运动，点的横坐标为点的横坐标的倍，纵坐标相同． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知、为曲线与轴的左、右交点，动直线交曲线于、两点（均不与、重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，试问动直线是否恒过定点?若过，求出该点坐标：若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【详解】（1）解：设点坐标为， 点在单位圆上运动，则①， 设点坐标为，则，，即，， 代入①式，得， 所以求点的轨迹的方程为. （2）解：点的轨迹为椭圆，其方程为，所以、， 若直线与轴重合，则直线与轴的交点为、，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，整理得， ， 由韦达定理可得， ，， 由得，即， ②， 由韦达定理得，即， 代入②式得， 即，即， 即，解得， 所以，直线的方程为，故直线恒过定点. 解法二：点的轨迹为椭圆，其方程为，所以、， 若直线与轴重合，则直线与轴的交点为、，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，整理得， ， 由韦达定理可得，， 则，，，． 由得， 即， 即， 将，，代入上式整理得， 解得，， 因为直线不过点，则，所以， 所以，直线的方程为，故直线恒过定点. 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点. (1)用表示点的坐标； (2)求证：直线过定点； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 直线的斜率都存在且不为0，故可设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则和是方程的两个根据，可得， 解得，则，所以点， 同理可得点. （2）证明：当，即时，直线的方程为，经过点. 当，即时，直线的斜率为， 直线的方程为， 令，可得，直线也过点. 综上可知，直线恒过定点. （3）解：由题意，可得的面积， 令，当且仅当时，等号成立， 则，而在上单调递增， 的值域为，所以的面积的取值范围是. 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为. （2）   显然直线斜率存在，设方程为，， 联立方程得， ， 由直线方程为，直线方程为， 得， . 中点为定点． 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意知， 由 ， ， 椭圆方程为； （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设； 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有 由 ， （舍）或， 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点. 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点坐标为，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知：， 所以动点R的轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆，． 故的标准方程为． （2）设，，：． 联立直线与椭圆的方程可得：， 易知，则，所以， 因为，则的方程为： 令，解得， 所以， 故直线的方程为：， 根据对称性，直线所过的定点在轴上，不妨令， 则 将，代入得 所以， 代入，得， ， 故直线过定点． 7．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．    (1)求曲线的方程； (2)点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）设点、，则， 因为，所以， 则，则，所以， 因为点在圆，则，所以，整理可得， 由于点与点不重合，所以， 因此曲线的方程为. （2）存在定点满足题意，理由如下： 记，则直线的方程为， 联立，得， 解得，则，    故点，所以点，则， 因为，则， 在直线中，令，可得，即点， 所以直线的方程为， 所以存在定点，使得. 8．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）解：当垂直于长轴时，设直线的方程为， 联立直线与椭圆可得， 故由题意得解得 椭圆的标准方程为：． （2）假设椭圆上是存在点，设为，使得四边形为平行四边形． ,显然当直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为：， 联立与消去得， 判别式， 设，，则， 则 则中点坐标为，中点坐标为， 则,解得， 代入椭圆方程化简得，解得． 此时， 所以椭圆上是存在点，使得四边形为平行四边形．    9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，， 解得， 所以的方程为； （2）由题意知，直线存在斜率， 设直线的方程为，，， 则， 由，可得， 所以， 则， ， 所以， 又， 所以， 所以，可得，   所以，即， 所以直线恒过点， 令为的中点，则， 由题意知，是的斜边，所以， 所以存在点，使得为定值.    10．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆的离心率在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线（斜率存在）与椭圆相交于点两点，且的面积，若为线段的中点．点在轴上投影为，问：在轴上是否存在两个定点，使得为定值，若存在求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）由题可知，， 解之得：， 故椭圆的标准方程为： （2）如图， 设直线的方程为 ，代入椭圆方程， 消去得：，若设， 则 此时 又点到直线的距离：， ∴，∴， 假设存在符合题意的两个定点， ∵ ，∴， 又， ， 故当，即时，为定值． 故存在两点满足题意． 11．（23-24高二上·四川内江·期末）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； (3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解； 【详解】（1）由题意知，，则， 又离心率，所以， 则， 所以椭圆的方程为. （2）由题知，, 则过且斜率为1的直线方程为，即， 联立，消去得， 设， 则， 则 ， 又点到直线的距离 ， 所以的面积. （3）由（1）得， 设，则，即； 直线，直线， 点纵坐标点纵坐标， 即， 以为直径的圆的方程为:， 由对称性可知:以为直径的圆所过定点位于轴上， 设 ，， ，解得或， 以为直径的圆过点. 12．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆：，其短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，动点，在上，记直线，的斜率分别为，，试问：是否存在常数，使得当时，的面积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由已知，，又得， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）法一：设，， 当直线的斜率存在时，设的方程：，与联立方程，得 ，，． ，， ， 所以 又 ， 要为定值，则为定值， 则，， 此时． 当直线的斜率不存在，且， 则，或，， 此时，也满足． 综上，存在满足题意． 法二：设，， 则， 则 ， 当，， 即，则，即为定值． 13．（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的标准方程为 (2)直线与的斜率之积是定值9 【详解】（1）依题意：，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）直线与的斜率之积是定值，理由如下： 依题意：，，∴， 又∵，∴， 设直线的方程为，、两点的坐标分别为， 联立，得， 则，， ， ∴直线与的斜率之积是定值，定值为9． 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，， 所以，解得，则椭圆的方程为； （2）由（1）知，若直线的斜率为， 此时直线的方程为，显然成立； 若直线的斜率不为， 不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时，由韦达定理得，， 易知，， 所以 ． 故．    15．（23-24高二上·福建福州·期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程， (2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)点在定直线上 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标为， 所以直线的斜率， 同理直线的斜率， 由已知，有， 化简，得Γ的方程为； （2）点M位于定直线上，理由如下：    设，， 由，得， 所以， ，， 因为A，B两点的坐标分别为，， 直线方程为，直线方程为， 由，得， 又，代入得， 由，得， 即， 所以， 所以点在定直线上. 16．（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【详解】（1）如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. （2）由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 设，则，， 由， 得, 化简得， 当时，因，化简得，与直线l的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得 即，化简得， 又，所以，化简得， 所以点在直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！89 学科网（北京）股份有限公司 $$