精品解析：湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度 崇阳县第二高级中学高二年级期中考试 数学试卷 命审题人：陈洁 考试时间：11月26日 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次歌唱比赛中，有5位评委给某选手打分（分数不全相同）．与原始分数相比，去掉一个最高分和一个最低分之后，一定发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 紫砂壶是中国特有手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ） A 68πcm3 B. 152πcm3 C. D. 204πcm3 7. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 8. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [3，5] 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知事件满足，则下列结论正确是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 点到原点的距离的最大值为5 C. 面积的最大值为4 D. 的最大值为18 11. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点轨迹是双曲线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 13. 已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________． 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是 （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求的面积. 16. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）现采用按比例分层抽样的方式从和的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率. 17. 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆. （1）求的方程； （2）若与外切，求实数的值. 18. 如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线方程； （3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度 崇阳县第二高级中学高二年级期中考试 数学试卷 命审题人：陈洁 考试时间：11月26日 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量定理，即可判断三个向量是否共面. 【详解】A.，所以，，是共面向量，故A错误； B.，所以，，是共面向量，故B错误； C.不存在实数，使，所以，，不是共面向量，故C正确； D.，所以，，是共面向量，故D错误. 故选：C 2. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 3. 若直线与互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则，即， 解得或. 故选：D. 4. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于求解. 【详解】原方程可化为， 方程表示圆，则有，即. 故选：D 5. 在一次歌唱比赛中，有5位评委给某选手打分（分数不全相同）．与原始分数相比，去掉一个最高分和一个最低分之后，一定发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案． 【详解】对于A，若分数为时，则平均数为， 去掉，则平均数为，故A错误； 对于B，若分数为时，则众数为， 去掉，则众数为，故B错误； 对于C，若分数为时，则中位数为， 去掉，则中位数为，故C错误； 对于D，方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同， 当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故D正确. 故选：D. 6. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ） A. 68πcm3 B. 152πcm3 C. D. 204πcm3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得 圆台上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，再利用台体体积公式计算得答案. 【详解】依题意，上圆台底面半径为4，面积， 下底面半径为6，面积，圆台高h为6， 所以圆台的体积. 故选：B 7. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 8. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [3，5] 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示：    设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，所以，故A错误， 对于选项B，因为与互斥，则，所以B正确， 对于选项C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确， 对于选项D，因为与相互独立，则与相互独立，又， 所以，故D错误， 故选：BC. 10. 已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 点到原点的距离的最大值为5 C. 面积的最大值为4 D. 的最大值为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项. 【详解】设动点，则由得：， 即， 化简得：，即，所以A选项正确； 所以点轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确； 又，和点轨迹的圆心都在轴上，且， 所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误； 又， 因为（）， 所以（）， 则，所以D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、圆、双曲线的定义判断即可. 【详解】对A，如图1，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对； 对B，如图2， 当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对； 对D，如图3，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对； 对C，当点与点重合时，如图4， 则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点， 此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 13. 已知某组数据为x，y，8，10，11．它平均数为8，方差为6，则的值为__________． 【答案】65 【解析】 【分析】由平均数和方差的定义求解即可. 【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以， 由，得， 则， 可得：. 故答案为：65. 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是 （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由两点间距离公式可得，再由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 中点， 由点斜式可得，化简可得， 所以中线方程为. 【小问2详解】 因为，且， 由点斜式可得直线的方程为，化简可得， 又点到直线距离为， 所以， 即的面积为8. 16. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）现采用按比例分层抽样的方式从和的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率. 【答案】（1）分 （2） 【解析】 【分析】（1）利用各个小矩形面积之和为1可求，利用中位数的概念求解即可得到结果. （2）求出每个区间抽取的人数，利用古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 ，解得， 前三组的频率为， 中位数为分. 【小问2详解】 在中抽取人，记为， 在中抽取6人，记为. 所有的取法为：共15种. 满足条件的有，共8种，故所求概率为. 17. 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆. （1）求的方程； （2）若与外切，求实数值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，则的半径为，根据圆的几何关系可得出关于实数的方程，求出的值，即可得出圆的方程； （2）求出圆的圆心坐标和半径，对实数的取值进行分类讨论，根据两圆外切可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：根据题意，设圆心，则圆半径为， 圆心到直线的距离为， 由题意可得，解得，则圆的半径为， 因此，圆的方程为或. 【小问2详解】 解：圆的标准方程为，则，可得， 则圆心，半径为， 当时，，根据题意，，解得； 当时，则， 根据题意，，此时，不存在. 综上所述，. 18. 如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. 【小问2详解】 解：如图，连接、、， 因为点在平面内的投影恰好是的中心， 且是边长为的正三角形，所以，三棱锥为正三棱锥， 因为为等腰直角三角形，则， 取的中点，连接，则， 因为，，，所以，， 所以，四边形是矩形，则， 又因为，则， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 又，设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，由求解； （2）设直线的方程为，，，由，利用韦达定理，结合弦长公式求解； （3）利用（2）中韦达定理，由证明. 【小问1详解】 解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 结合椭圆的几何性质，得， 解得，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 则，. ， 解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点； 当时，直线的方程为，满足题目条件. 所以直线的方程为. 【小问3详解】 证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且， 由（2）可知，， ， 为定值. 【点睛】思路点睛：本题第三问的基本思路是先建立模型，再根据点在直线上进行消元，然后利用韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $