第01讲 实数及其运算（讲义）【3大考点16大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第01讲 实数及其运算（讲义）【3大考点16大题型】 考点一 实数的有关概念 1.实数的分类 分法一： 负有理数 0 无理数 实数 有理数 正有理数 负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数 无限不循环小数 分法二： 2.实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 （5）科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 （6）近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。 3.平方根、算术数平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 【题型1 实数的相关概念辨析】 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果， 所以取到有理数的概率为， 故答案为：． 【变式1-2】（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 【变式1-3】（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 【题型2 实数与数轴】 【例2】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 【变式2-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式2-2】（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得： 【变式2-3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 【题型3 用科学记数法表示数】 【例3】（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 【变式3-1】（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：百万分之一 ． 故选：B． 【变式3-2】（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 【变式3-3】（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可． 【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知， 43阿秒秒， 故答案为：． 【题型4 估算无理数】 【例4】（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 【变式4-1】（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 【变式4-3】（2024·江苏盐城·中考真题）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为．若对整数进行次操作后变为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，的定义，由的定义为不大于的最大整数，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解：A、第一次，第二次，故A不符合题意； B、第一次，第二次，255是最大整数，故B符合题意； C、第一次，第二次，81不是最大整数，故C不符合题意； D、第一次，第二次，故D不符合题意； 故选：. 【题型5 实数的大小比较】 【例5】（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 【变式5-1】（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 【变式5-2】（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 【变式5-3】（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， ． 【分析】（1）由对称轴为直线直接求解； （2）当时，；当时， ． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， 而 代入得：， ∴， ∴， ∵， 解得：， 当时， ∴； 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理． 【题型6 平方根、立方根及非负性的性质】 【例6】（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴正方形的边长，即， ∴正方形的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式6-1】（2024·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 【答案】-2 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式6-2】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式6-3】（2024·湖南娄底·一模）已知为整数，，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0． 根据被开方数大于等于0设（a为非负整数），设，运用平方差公式分解因式再计算即可得解． 【详解】解：为整数，， ， 即， ， 设（a为非负整数）， ， ， 设， ， ，即或， 或或， 或7或1， 则的最小值是1， 故答案为：1 考点二 实数的运算 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a·。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。▪▪▪▪ 3.常见的几种实数运算 （1）乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （2）零指数幂：a0=1(a≠0). （3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数). 【题型7 实数的简单运算】 【例7】（2024·浙江杭州·中考真题）计算下列各式，值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的运算法则，遵循先乘除后加减的运算顺序即可得到答案. 【详解】根据实数的运算法则可得：A.； B.；C.； D.；故选A. 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算顺序和法则是解题的关键. 【变式7-1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）计算： ． 【答案】-4 【分析】根据立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则即可求解． 【详解】解：原式= 故答案为：-4 【点睛】本题考查了立方根、零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算等知识点，熟知上述的各种运算法则是解题的基础． 【变式7-2】（2024·湖南湘西·中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是 ．（用科学计算器计算或笔算） 【答案】2 【详解】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果． 【详解】将x=2代入得： 3×22﹣10=12﹣10=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-3】．（2024·黑龙江绥化·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】 ． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 【题型8 数的简便运算】 【例8】（2024·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算： （　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 【变式8-1】（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式8-2】（2024·河北唐山·一模）数学课上老师出一道题，用简便方法计算的值，喜欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误. （1）你认为小亮的解题过程中，从第________步开始出错. （2）请你写出正确的解题过程. 【答案】（1）二  ；（2）87616 【分析】（1）直接利用完全平方公式判断得出答案； （2）利用完全平方公式计算得出答案． 【详解】解：（1）从第二步开始出错；完全平方公式的中间项的-4应该是4. 故答案为二； （2）正确的解题过程是： ． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确运用公式是解题关键． 【变式8-3】（2024·河北·中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（-15）； （2）999×+999×（）-999×. 【答案】(1)-14985；(2)99900. 【分析】（1）根据题目中所给的规律，运用凑整法求解即可； （2）根据题目中所给的规律，运用提同数法解决即可． 【详解】解：（1）999×（-15） =（1000-1）×（-15） =15-15000 =-14985; （2）999×+999×（）-999× =999×[+（）-] =999×100 =99900． 【题型9 实数的混合运算】 【例9】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 【变式9-1】（2024·四川广安·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，掌握相应的运算法则是解本题的关键. 【变式9-2】（2024·河北·中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：； （2）若请推算请推算□内的符号； （3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析. 【分析】（1）根据有理数的加减法法则解答即可； （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （3）先写出结果，然后说明理由即可． 【详解】（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12； （2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”； （3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． 【变式9-3】（2024·贵州·中考真题）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）见解析  （2），1 【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可； （2）先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化为最简分式，最后代入数值解题即可． 【详解】（1）解：选择①，②，③， ； 选择①，②，④， ； 选择①，③，④， ； 选择②，③，④， ； （2）解： ； 当时，原式． 【题型10 实数的实际应用】 【例10】（2024·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【变式10-1】（2024·四川达州·中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 10 11 … 例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（   ） A．28 B．62 C．238 D．334 【答案】D 【分析】在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得． 【详解】由题意得，十六进制中对应十进制的数为：1×16×16+4×16+14=334， 故选D． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握十进制与十六进制间的转换及有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式10-2】（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ． 【答案】 112 星期五或星期六或星期日 【分析】首先得出5月1日～5月28日，是四个完整的星期，即可得到这些天共用的宣纸张数；分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案． 【详解】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：（1+2+3+4+5+6+7）×4=112， 若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五或星期六或星期日． 故答案为：112；星期五或星期六或星期日. 【点睛】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键． 【变式10-3】（2024·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 【题型11 实数计算中的规律问题】 【例11】（2024·重庆江北·一模）阅读材料：求的值． 解：设 ①， 则 ②． 用②-①得 ∴．即． ∴． 以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： 阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了． (1)国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米；（用幂表示） (2)设国王输给阿基米德的米粒数为S．求S． (3)拓展应用：计算：；（仿照材料写出求解过程） 【答案】(1) (2) (3)，求解过程见解析 【分析】（1）根据题意即可求出在第64格放的米数； （2）根据阅读材料即可设国王输给阿基米德的米粒数为，可求； （3）拓展应用：根据阅读材料的计算方法即可计算：． 【详解】（1）第一格放一粒米为， 第二格放二粒：， 第三格放四粒：， 第四格放八粒：， 按这个方法 国际象棋共有64个格子， 则在第64格应放粒米； 故答案为：； （2）设国王输给阿基米德的米粒数为， ①， 则②． ②①； ； （3）设①， ②， ②①得， ， ， 故原式． 【点睛】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是准确进行有理数的规律计算． 【变式11-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算= ． 【答案】 【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键． 【变式11-2】（2024·四川内江·中考真题）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； 按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第六个等式：a6= = ； （2）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）； （4）计算：a1+a2+…+an． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4）． 【分析】（1）根据已知4个等式可得； （2）根据已知等式得出答案； （3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得； （4）根据已知等式规律，列项相消求解可得． 【详解】（1）由题意知，a6==， 故答案为，； （2）an==， 故答案为，； （3）原式===． 故答案为； （4）原式===． 【变式11-3】（2024·山东东营·一模）在求的值时，张强发现，若调整各加数的顺序再进行计算便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设①， 又有②， ①+②得：， ∴． 计算= ． 【答案】 【分析】仿照例子，可令，又有，两式相加可得出结果． 【详解】解：令， 又有， 两式相加得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查加减法的运算，解题时注意观察，对于有规律的式子可以通过加法交换律，结合律进行简便运算． 考点三 二次根式 1.二次根式 式子(a≥0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2.最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4.二次根式的性质 （1）()2=a(a≥0) （2）=|a|= （3）=(a≥0，b≥0) （4）=(a≥0，b≥0) 5.二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 【题型12 二次根式有意义的条件】 【例12】（2024·重庆·中考真题）下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：A、当时， 无意义，故此选项错误； B、当时，无意义，故此选项错误； C、当时，无意义，故此选项错误； D、无论取什么值，都有意义，故此选项正确； 故选D． 【变式12-1】（2024·广东汕头·一模）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 ． 【答案】3（小于4的实数都可） 【分析】本题主要考查了二次根式无意义的条件，根据二次根式无意义的条件是被开方数小于0就行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内没有意义， ∴，即， ∴符合题意的x值可以为3， 故答案为：3（小于4的实数都可） 【变式12-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 【变式12-3】（2024·河北邢台·三模）若时，二次根式（k为常数）有意义，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，可得，当时，二次根式有意义，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，． ∵时，二次根式有意义， ∴， 解得． 故选D． 【题型13 二次根式的值】 【例13】（2024·广东阳江·二模）若是整数，则整数的值是（    ） A．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，将整理得，根据是整数，也为整数，得出或，求解即可得出答案． 【详解】解：， 是整数，也为整数， 或， 解得：或， 故选：C． 【变式13-1】（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【变式13-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式求出的表达式，再将的取值依次代入，然后求和即可得． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 则所求的总和为： 故答案为：． 【变式13-3】（2024·河北邯郸·二模）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 【题型14 二次根式的混合运算】 【例14】（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 【变式14-1】（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 【变式14-2】（2024·湖北恩施·中考真题）从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴所有积中小于2的有两个； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键． 【变式14-3】（2024·河北石家庄·二模）已知两个实数：和． (1)计算：； (2)若m为正整数，与这两个数的平方和小于m，求m的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查实数的运算，求一元一次不等式的整数解： （1）利用分母有理化进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，求出不等式的整数解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意得： 解得 ∴m取最小正整数值6． 【题型15 复合二次根式的化简】 【例15】（2024·湖北·中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式 ， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键. 【变式15-1】（2024·安徽合肥·一模）已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ． 【答案】 ； ； 【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， 故答案是：，； 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式15-2】（2024·安徽芜湖·二模）当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 【变式15-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 【题型16 二次根式的实际应用】 【例16】（2024·江苏镇江·二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积 （海伦公式）． 请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 ； (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式； (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的最大值为，三角形是等腰三角形． 【分析】（1）直接利用海伦公式计算即可； （2）先把开方数利用平方差公式分解因式，再继续分解因式，结合，从而可得结论； （3）设另一边为，则第三边为，可得，结合，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵一个三角形的三边长依次为5，5，6， ∴． ∴ ； （2）解： ∵， ∴， ∴ ； （3）∵三角形的周长为，一边长为， 设另一边为，则第三边为， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为， 此时，三边分别为，，， ∴三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，三角形面积的计算，二次根式的应用，二次函数的性质，熟练的利用公式以及二次函数的性质解题是关键． 【变式16-1】（2024·河北邯郸·三模）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，矩形的性质，圆的面积公式，根据题意得出周长，进而求得圆的半径，根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】解：这根铁丝的周长为 ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为 ∴面积为 故选：B． 【变式16-2】（2024·山西·一模）如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)； (2)阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； （2）解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． （3）解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 【变式16-3】（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 特色专项练 【新考向：新考法】 1.（2024·山东临沂·模拟预测）我市2023年12月30日的天气预报显示如下图，请问该日温差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数在生活中的实际应用，根据最高温度和最低温度就得温差即可． 【详解】解：根据图中数据显示最高温度为，最低温度为，则该日温差为， 故选：C． 2.（2024·广东惠州·一模）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础上增设科研设备，建成后装备研究能力将大幅提升．当前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选C． 【新考向：新趋势】 3.（2024·湖南长沙·二模）筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（    ） A．     B．     C．     D．     【答案】A 【分析】参考算式一可得算式二表示的是，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，图中算式二表示的是， 所以算式二为              所以算式二被盖住的部分是选项A， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，理解筹算的运算法则是解题关键． 4.（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 5．（2024·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案． 【详解】将两个方程相减得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的一个整数值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点． 6.（2024·湖北随州·模拟预测）古巴比伦的记数法是六十进制的，用表示1，用表示10，这两种符号能表示1～59的数字，例如，32可以用表示．从60起，开始使用符号组，从右往左依次是个位、六十位、三千六百位…（每一位的数值都是上一位的60倍），例如，的个位表示23个1，六十位表示2个60，所以这个符号表示143.则下列表示3812的符号是（    ） A．   B．   C．   D．    【答案】A 【分析】根据题意，分别计算出个位、六十位、三千六百位上的数字即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴个位表示32个1，六十位表示3个60，三千六百位表示1个3600， 选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查新定义类型的理解能力，理解古巴比伦的记数法，并正确得到各位上的数是解答的关键． 7.（2024·广东珠海·中考真题）将按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ． 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：， （15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是：， ． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是准确找到变化规律，利用规律求解． 【新考向：新情境】 8.（2024·江西·中考真题）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】25 【分析】根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论． 【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5， 因此这个两位数是2×10+5×1=25， 故答案为：25． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键． 9．（2024·甘肃陇南·模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【答案】米 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果； 【详解】解：向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作米； 故答案为：米 10．（2024·河南周口·二模）问题：先化简，再求值：，其中． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：    （第一步）        （第二步）            （第三步） 当时， 原式  （第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将直接代入原式中： ． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 【答案】错在第二步，原式=8，过程见解析． 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案． 【详解】解：错在第二步， 完整正确的步骤如下：， ∵， ∴， ∴原式 ． 当时， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 【新考向：跨学科】 11．（2024·宁夏银川·一模）液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最低的物质是（    ） 物质 酒精 液态甲醛 液态一氧化碳 花生油 沸点 A．液态一氧化碳 B．液态甲醛 C．酒精 D．花生油 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据有理数比较大小的办法，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最低的液体是液态一氧化碳． 故选A． 12．（2024·广东清远·三模）在物理学中，表示电流大小的单位有千安、安培、毫安、微安等，其中，，．若某新能源电动汽车的充电电流为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用同底数幂的乘法法则进行单位换算，正确进行同底数幂的乘法运算即可得到结果 【详解】解：，． 故选：D 13．（2024·云南曲靖·二模）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．碳原子中的原子核带6个单位的电荷可以表示为，其核外电子带6个单位的电荷可以表示为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，如果原子核所带电荷用正数表示，那么核外电子所带电就用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：碳原子中的原子核带6个单位的电荷可以表示为，其核外电子带6个单位的电荷可以表示为， 故选：D． 14．（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律，即可得出己烷的化学式． 【详解】解：由题图可得， 第一个甲烷分子结构式中“C”的个数是1，“H”的个数是； 第二个乙烷分子结构式中“C”的个数是2，“H”的个数是； 第三个丙烷分子结构式中“C”的个数是3，“H”的个数是； …， 第n个分子结构式中“C”的个数是n，“H”的个数是； ∴第6个己烷分子结构式中“C”的个数是6，“H”的个数是， ∴己烷的化学式为． 故答案为：． 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的含义，直接利用数对应的点与原点的距离可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 3．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 【详解】解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 4．（2024·山东青岛·中考真题）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 7．（2024·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 8．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 9．（2024·辽宁抚顺·中考真题）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b= ． 【答案】9 【详解】解∵16<17<25， ∴ ∴a=4，b=5． ∴a+b=9， 故答案为：9． 10．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 11．（2024·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 12．（2024·上海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 13．（2024·河北·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，运用乘法运算律可以简化计算； 根据互为倒数的两个数相乘，乘积为1，进行简便计算，从而求解． 【详解】解： ． 14．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点． （1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）利用数轴比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点． （2）在数轴上比较，越靠右边的数越大． 【详解】解：（1）如图所示，点即为所求． （2）如图所示，点在点的右侧，所以 【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键． 15．（2024·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键． 16．（2024·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13． 【分析】根据题意进行探索即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴a＝m2＋3n2，b＝2mn． 故答案为m2＋3n2，2mn． （2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4． 故答案为13，4，1，2(答案不唯一)． （3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn． ∵4＝2mn，且m、n为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， ∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13． 【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键. 17．（2024·江苏镇江·中考真题）【算一算】 如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　； 【找一找】 如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点　 是这个数轴的原点； 【画一画】 如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【用一用】 学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？ 爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示． ①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义； ②写出a、m的数量关系：　 　．    【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a． 【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数； （2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点； （3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可； （4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数； ②解①中的方程组，即可得到m＝4a． 【详解】解：（1）【算一算】：记原点为O， ∵AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∴AB＝BC＝4， ∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8． 所以点C表示的数为5，AC长等于8． 故答案为：5，8； （2）【找一找】：记原点为O， ∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2， ∴AQ＝BQ＝1， ∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝， ∴N为原点． 故答案为：N． （3）【画一画】：记原点为O， 由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n， 作AB的中点M， 得AM＝BM＝n， 以点O为圆心， AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E， 则点E即为所求；    （4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a． ∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校， ∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）； ∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校， ∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）； ①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求． 作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a， 则点G即为所求．    +（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数； ②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a． 故答案为：m＝4a． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系． 18．（2024·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展] 【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可； 任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果； 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解； [迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解． 【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 故答案为：． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为， 所以， ． 故答案为：，． 任务二：参照方法2，借助函数和的图象，， 解得： ∴两个函数图象的交点的坐标为， ． 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为， ∴ [迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，…… 则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积， 即 【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 实数及其运算（讲义）【3大考点16大题型】 考点一 实数的有关概念 1.实数的分类 分法一： 负有理数 0 无理数 实数 有理数 正有理数 负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数 无限不循环小数 分法二： 2.实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 （5）科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 （6）近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。 3.平方根、算术数平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 【题型1 实数的相关概念辨析】 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【变式1-1】（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ． 【变式1-2】（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 实数与数轴】 【例2】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【变式2-2】（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【变式2-3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【题型3 用科学记数法表示数】 【例3】（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-3】（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒． 【题型4 估算无理数】 【例4】（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【变式4-1】（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【变式4-3】（2024·江苏盐城·中考真题）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为．若对整数进行次操作后变为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 实数的大小比较】 【例5】（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【变式5-1】（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【变式5-3】（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)比较与的大小． 【题型6 平方根、立方根及非负性的性质】 【例6】（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【变式6-1】（2024·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 【变式6-2】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【变式6-3】（2024·湖南娄底·一模）已知为整数，，则的最小值是 ． 考点二 实数的运算 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a·。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。▪▪▪▪ 3.常见的几种实数运算 （1）乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （2）零指数幂：a0=1(a≠0). （3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数). 【题型7 实数的简单运算】 【例7】（2024·浙江杭州·中考真题）计算下列各式，值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）计算： ． 【变式7-2】（2024·湖南湘西·中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是 ．（用科学计算器计算或笔算） 【变式7-3】．（2024·黑龙江绥化·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【题型8 数的简便运算】 【例8】（2024·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算： （　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【变式8-1】（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·河北唐山·一模）数学课上老师出一道题，用简便方法计算的值，喜欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误. （1）你认为小亮的解题过程中，从第________步开始出错. （2）请你写出正确的解题过程. 【变式8-3】（2024·河北·中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（-15）； （2）999×+999×（）-999×. 【题型9 实数的混合运算】 【例9】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【变式9-1】（2024·四川广安·中考真题）计算：． 【变式9-2】（2024·河北·中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：； （2）若请推算请推算□内的符号； （3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 【变式9-3】（2024·贵州·中考真题）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中． 【题型10 实数的实际应用】 【例10】（2024·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【变式10-1】（2024·四川达州·中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 10 11 … 例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（   ） A．28 B．62 C．238 D．334 【变式10-2】（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ． 【变式10-3】（2024·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【题型11 实数计算中的规律问题】 【例11】（2024·重庆江北·一模）阅读材料：求的值． 解：设 ①， 则 ②． 用②-①得 ∴．即． ∴． 以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： 阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了． (1)国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米；（用幂表示） (2)设国王输给阿基米德的米粒数为S．求S． (3)拓展应用：计算：；（仿照材料写出求解过程） 【变式11-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算= ． 【变式11-2】（2024·四川内江·中考真题）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； 按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第六个等式：a6= = ； （2）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）； （4）计算：a1+a2+…+an． 【变式11-3】（2024·山东东营·一模）在求的值时，张强发现，若调整各加数的顺序再进行计算便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设①， 又有②， ①+②得：， ∴． 计算= ． 考点三 二次根式 1.二次根式 式子(a≥0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2.最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4.二次根式的性质 （1）()2=a(a≥0) （2）=|a|= （3）=(a≥0，b≥0) （4）=(a≥0，b≥0) 5.二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 【题型12 二次根式有意义的条件】 【例12】（2024·重庆·中考真题）下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024·广东汕头·一模）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 ． 【变式12-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式12-3】（2024·河北邢台·三模）若时，二次根式（k为常数）有意义，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型13 二次根式的值】 【例13】（2024·广东阳江·二模）若是整数，则整数的值是（    ） A．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12 【变式13-1】（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【变式13-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 . 【变式13-3】（2024·河北邯郸·二模）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型14 二次根式的混合运算】 【例14】（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【变式14-1】（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2024·湖北恩施·中考真题）从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式14-3】（2024·河北石家庄·二模）已知两个实数：和． (1)计算：； (2)若m为正整数，与这两个数的平方和小于m，求m的最小值． 【题型15 复合二次根式的化简】 【例15】（2024·湖北·中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】（2024·安徽合肥·一模）已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ． 【变式15-2】（2024·安徽芜湖·二模）当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式15-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【题型16 二次根式的实际应用】 【例16】（2024·江苏镇江·二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积 （海伦公式）． 请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 ； (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式； (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【变式16-1】（2024·河北邯郸·三模）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是 （      ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2024·山西·一模）如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【变式16-3】（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 特色专项练 【新考向：新考法】 1.（2024·山东临沂·模拟预测）我市2023年12月30日的天气预报显示如下图，请问该日温差为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东惠州·一模）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础上增设科研设备，建成后装备研究能力将大幅提升．当前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【新考向：新趋势】 3.（2024·湖南长沙·二模）筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（    ） A．     B．     C．     D．     4.（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 6.（2024·湖北随州·模拟预测）古巴比伦的记数法是六十进制的，用表示1，用表示10，这两种符号能表示1～59的数字，例如，32可以用表示．从60起，开始使用符号组，从右往左依次是个位、六十位、三千六百位…（每一位的数值都是上一位的60倍），例如，的个位表示23个1，六十位表示2个60，所以这个符号表示143.则下列表示3812的符号是（    ） A．   B．   C．   D．    7.（2024·广东珠海·中考真题）将按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ． 【新考向：新情境】 8.（2024·江西·中考真题）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ． 9．（2024·甘肃陇南·模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 10．（2024·河南周口·二模）问题：先化简，再求值：，其中． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：    （第一步）        （第二步）            （第三步） 当时， 原式  （第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将直接代入原式中： ． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 【新考向：跨学科】 11．（2024·宁夏银川·一模）液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最低的物质是（    ） 物质 酒精 液态甲醛 液态一氧化碳 花生油 沸点 A．液态一氧化碳 B．液态甲醛 C．酒精 D．花生油 12．（2024·广东清远·三模）在物理学中，表示电流大小的单位有千安、安培、毫安、微安等，其中，，．若某新能源电动汽车的充电电流为，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（2024·云南曲靖·二模）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．碳原子中的原子核带6个单位的电荷可以表示为，其核外电子带6个单位的电荷可以表示为（    ） A．3 B． C． D． 14．（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ． 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 4．（2024·山东青岛·中考真题）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 7．（2024·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 8．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 9．（2024·辽宁抚顺·中考真题）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b= ． 10．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    11．（2024·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 12．（2024·上海·中考真题）计算： 13．（2024·河北·中考真题）计算：． 14．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点． （1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）利用数轴比较和的大小，并说明理由． 15．（2024·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 16．（2024·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 17．（2024·江苏镇江·中考真题）【算一算】 如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　； 【找一找】 如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点　 是这个数轴的原点； 【画一画】 如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【用一用】 学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？ 爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示． ①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义； ②写出a、m的数量关系：　 　．    18．（2024·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$