精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

23级高二上期期中考试 数学试题 一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】； ； ． 故． 故选A． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由利用基本不等式求其最小值. 【详解】∵ ， ∴ ， 当且仅当即，时等号成立， 故选：B. 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，由确定，求导后，确定有两个不相等的正实数根，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案. 【详解】由图象可知， 有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 综上：，，，. 故选：A 7. 若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的图象关于直线成轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析的奇偶性、对称性、单调性与周期性，逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于AB，因为是奇函数，且， 所以， 则，故关于点成中心对称， 又，则关于成轴对称，故AB错误； 对于C，因为在区间上，有， 所以在内单调递增又关于成轴对称，中心对称， 则在内单调递减，故正确； 对于D，因为，则， 所以，可知的周期为4， 则，故D错误. 故选：C. 8. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是 A. （1，10） B. (5，6) C. (10，12) D. (20，24) 【答案】C 【解析】 【详解】作出函数f（x）的图象如图， 不妨设a＜b＜c，则 则abc=c∈（10，12） 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 有3个零点 D. 直线与的图象仅有1个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性判断AB；求出函数的零点判断C；求出函数的极值，结合三次函数图象判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，A正确，B错误； 由，得或，函数有3个零点，C正确； 函数的极大值为，极小值为，直线与的图象仅有1个公共点，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上有个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确. 【详解】在中，令，得， 又函数是R上的奇函数，所以，故A正确； 因为，故是一个周期为的奇函数， 因为是的对称中心， 所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确； 作出函数的部分图象如图所示， 易知函数在上不具单调性，故C不正确； 函数在上有个零点，故D不正确. 故选：AB. 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可. 【详解】对于三次函数，则，， 若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点）， 令，则，所以， 依题意的极大值点和极小值点分别为，且有， 所以的对称中心为， 对于A，由，可得，， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 则的图象如下所示： 由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确； 对于C，又，若关于的方程在区间上有两解， 即与在区间上有两个交点，则，故C错误； 对于D，由， 若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若实数满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再研究函数在定义域上的增减性，再由函数奇偶性对不等式变形求解即可. 【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 所以，所以函数为奇函数， 又因为在上单调递增， 由，所以， 即，解得：，所以. 故答案为：. 13. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】 ， 故答案为：. 14. 已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，作出函数的图象，令，则所求等价于有两个不同实根，则.当时，不满足，舍去．则或，根据二次方程根的分布即可求解. 【详解】， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 故当时函数有最小值． 当时，，且时，； 当时，，且时，. 作出函数的图象如图所示： 令，则所求等价于有两个不同实根， 则. 不妨设， 当时，不满足，舍去． 则或． 当时，可得,与矛盾，故舍去； 当， 设， 因为，所以, 即，所以. 故答案为:. 四、解答题（本题共5道小题，共77分） 15. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，． 【解析】 【详解】（Ⅰ）因为 ， 故最小正周期为 （Ⅱ）因为，所以． 于是，当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． 点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键. 16. 已知函数（）. （1）讨论的单调区间； （2）如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间； （2）依题意恒成立，然后分离参数，利用二次函数的性质求最值，可得到实数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为，则 ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由题意，以为切点的切线的斜率满足， 所以对恒成立. 又当时，，所以的最小值为. 17. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求． 试题解析：（1） 所有的可能结果共有种， 而满足的有、、共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为 （2） 所有的可能结果共有种 满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个 故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为 所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为 考点：独立事件的概率． 【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误． 18. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：，其中，. ，相关系数.. 若，则认为经验回归方程有价值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2），该经验回归方程有价值. 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断； （2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断． 【小问1详解】 2×2列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【小问2详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以该经验回归方程有价值. 19. 已知函数，，其中. （1）讨论的单调性； （2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （3）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】 (1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2);(3). 【解析】 【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用导数和分类整合的思想求解；（2）借助题设条件运用导数和转化化归的思想求解. 试题解析： （1）的定义域为，且 ①当时，，在上单调递增； ②当时，由，得；由，得； 故在上单调递减，在上单调递增 （2）当时，， 由得或 当时，；当时，. 所以在上， 而“，，总有成立”等价于 “在上的最大值不小于在上的最大值” 而在上的最大值为 所以有 所以实数的取值范围是 考点：导数和分类整合及化归转化的数学思想等有关知识和方法的综合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23级高二上期期中考试 数学试题 一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则 A. B. C. D. 3. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 7. 若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的图象关于直线成轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 8. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是 A. （1，10） B. (5，6) C. (10，12) D. (20，24) 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 有3个零点 D. 直线与的图象仅有1个公共点 10. 已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上有个零点 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若实数满足，则的取值范围是________. 13. ________. 14. 已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m的取值范围为______． 四、解答题（本题共5道小题，共77分） 15. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知函数（）. （1）讨论的单调区间； （2）如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 17. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率. 18. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：，其中，. ，相关系数.. 若，则认为经验回归方程有价值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，，其中. （1）讨论的单调性； （2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （3）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $