精品解析：上海市奉贤中学2024-2025学年高二上学期第五学程考试数学试卷

奉贤中学2024学年第一学期高二年级数学期中 2024.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为________． 2. 已知，记事件的对立事件为，则为________． 3. 若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____． 4. 数据7.0，8.2，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________． 5. 总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为________ 7816 6527 0802 6314 0704 4369 9728 1198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 6. 在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于________． 7. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 8. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形． 9. 中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有_________种. 10. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 11. 已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 12. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是________． 二、单选题（本题共4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 14. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 15. 重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 (　　) A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23 16. 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A. 90 B. 85 C. 80 D. 75 三、解答题（本题共5题，满分78分） 17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取． （1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率． 18. 已知直线， （1）求该直线的斜率； （2）若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 19. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． （1）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 20. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 21. “数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意正整数、，且，有如下定义：定义：“数”：；定义：“阶乘”：；定义：“组合数”：． （1）求的值； （2）证明：①；②； （3）已知为正整数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学2024学年第一学期高二年级数学期中 2024.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线方程计算斜率，由斜率得倾斜角. 【详解】由直线方程得直线斜率，故直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 已知，记事件的对立事件为，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】由对立事件的概率和为1计算即可； 【详解】由对立事件的概率和为1可得， 故答案为：. 3. 若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有： ，即，解得， 故答案为： 4. 数据7.0，8.2，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________． 【答案】8.4 【解析】 【分析】利用第p百分位数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以第30百分位数是8.4， 故答案为：8.4 5. 总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为________ 7816 6527 0802 6314 0704 4369 9728 1198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 【答案】11 【解析】 【分析】按照随机数表根据规则要求依次选取即可求解. 【详解】按照规则要求，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11， 所以第6个个体编号为：11. 故答案为：11. 6. 在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质即可确定的值. 【详解】解：因为的展开式的通项为， 所以第4项的系数即是第4项的二项式系数， 因为只有第4项的二项式系数最大，所以. 故答案为：6 7. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果． 【详解】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”， 则，，， 他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为： ． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 8. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意由组合数计算即可； 【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形， 所以共有个， 故答案为：1260. 9. 中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有_________种. 【答案】72 【解析】 【分析】对于本题共4种不同形状的风铃，要求是使用同一种风铃，其余各棱的两个顶点挂不同形状的风铃，可以理解相邻顶点挂不同形状的风铃，通过分析使用3种或4种风铃满足条件. 【详解】①使用3种形状风铃，只能同，同，同.此时共有：种挂法， ②使用4种形状风铃，此时有两种情况； 1）同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上， 全排列有：种， 2）不同，同：此时与1）相同，共有种， 综上，共有24+24+24=72种， 故答案为：72 【点睛】涂色问题解决问题的关键是在判定使用颜色数量，合理分类，合理分步，熟练分类加法及分步乘法原则. 10. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 【答案】329 【解析】 【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可. 【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； （1）若个位为0，这样的偶数有个； （2）若个位不为0，这样的偶数有个； 所以集合元素个数最大值为个． 故答案为：329 11. 已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，由对称性可得，，结合“将军饮马”可得出周长的最小值. 【详解】作点关于轴的对称点， 作点关于直线的对称点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 12. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边， 的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 二、单选题（本题共4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义以及性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由于是独立事件，故，A正确， 对于B，由于是独立事件，则也是相互独立事件，故，B正确， 对于C，,故由于不一定为0，故C错误， 对于D, 由于是独立事件，则也是相互独立事件，,D正确， 故选：C 14. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助两直线平行的判断条件即可解答. 【详解】因为直线的斜率存在， 所以要使直线与平行， 则， 由 解得或， 当时，此时直线与重合， 当时，此时直线与平行， 所以“”是“直线与平行”的充要条件. 故选：A. 15. 重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 (　　) A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题已知茎叶图，读取数据共有12个，中位数为；20,20；则可得： 考点：中位数的概念. 16. 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A. 90 B. 85 C. 80 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，再由组合数计算即可； 【详解】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个， 故选：A. 三、解答题（本题共5题，满分78分） 17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取． （1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设表示事件“张卡片上数字之和大于”，列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）设表示事件“两次抽取的卡片上数字之和大于”，则事件只包含两次抽取的卡片均为这种可能结果，由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 设表示事件“张卡片上数字之和大于”， 一次抽取张卡片，共有种可能结果， 而事件包含抽取、、和、、，这种可能结果， 所以； 【小问2详解】 设表示事件“两次抽取的卡片上数字之和大于”， 两次抽取卡片共有种可能结果， 而事件只包含两次抽取的卡片均为这种可能结果， 所以． 18. 已知直线， （1）求该直线的斜率； （2）若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 【答案】（1） 当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为. （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合直线的方程可得结果； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【小问1详解】 当时，即当时，直线的方程为，此时，直线的斜率不存在； 当时，即当时，此时，直线的斜率为. 综上所述，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为. 【小问2详解】 过点且垂直于直线的直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程可得，解得， 因此，所求直线的方程为. 19. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． （1）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据古典型概念公式可得； (2)根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【小问1详解】 由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为： ， ，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以； 【小问2详解】 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 20. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． 【小问2详解】 由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 21. “数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意正整数、，且，有如下定义：定义：“数”：；定义：“阶乘”：；定义：“组合数”：． （1）求的值； （2）证明：①；②； （3）已知为正整数，证明：． 【答案】（1）35 （2） ①， ， 故； ②， 而， 则 ， 而， 则， 故. （3） 由（2）知， 得， 所以， ， 将上述个等式两边分别相加得， . 故命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算直接得出结果； （2）①根据新定义可得、，即可证明； ②由新定义可得，结合即可证明； （3）由（2）可得，结合累加法计算即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $