精品解析：浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024学年第一学期台金七校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题：三门中学 审卷：新河中学 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3.所以答案必修写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“至少有一个实数，使得”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在命题的否定得解. 【详解】根据存在命题的否定可知， 至少有一个实数，使得的否定是，， 故选：D 2. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的含义求解即可. 【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛， 故没有同学参加三项比赛，即. 故选：D 3. 设，且，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂运算以及对数的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：例如，则，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 4. 如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数与关于对称，可知①④正确， 函数为单调递增函数，故③正确. 所以②不是已知函数图象. 故选：B 5. 对于集合，和全集，“”是“”的什么条件（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：韦恩图所示： 由推出， 反之由推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：A 6. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（ ） A. （2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B. （2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C. （2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D. （2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 【答案】A 【解析】 【分析】当乘客量为0时，看成本变化，直线的倾斜程度看票价变化. 【详解】解：（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变； （3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了. 故选：A 7. 已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，（为自然对数的底数，），则在区间上的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性构建方程组求的解析式，结合单调性求最值即可. 【详解】由题意可得：，可得， 因为在上单调递减，可得在上单调递减， 所以在区间上的最小值为. 故选：B. 8. 若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】首先不等式变形为恒成立，再根据的取值范围，代入，即可求解的最大值. 【详解】要使不等式恒成立，则恒成立， 当取得最大值，时，取得最大值， 即恒成立，因为函数和都是增函数，所以函数是增函数， 当时，，所以的最大值为4. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形不等式为，再根据函数的单调性，分析条件中的数据，代入. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断；对于D：利用作差法分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，， 即，故A错误； 对于选项B：因为，，则， 可得，所以，故B正确； 对于选项C：例如，则，， 即，故C错误； 对于选项D：因为， 且，则， 可得，即，故D正确； 故选：BD. 10. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. ，， C. 的值域为 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义，代入自变量的值计算函数值求解，注意根据题目所给条件对自变量的值进行分类讨论. 【详解】通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值，且当为无理数时，： 对于A选项，代入验证易知其正确； 对于B选项，不妨设，根据的性质可得的最小值为， 当时，，当时，， 当时，若和中有无理数，则， 若和均为有理数，不妨设，其中，，，均为正整数，则，， 若与互质，则， 若与有大于的公约数，则， 综上可得，B选项正确； 对于C选项，计算可知的函数值只能是有理数，C选项错误； 对于D选项，的定义域为，，， 对于任意的，当为无理数时，和均为无理数，， 当为有理数时，可令,其中和是互质的正整数且， 则，， 综上可知对于任意的都有，是偶函数，D正确. 故选：ABD 11. 若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是（ ） A. 的值与无关 B. 的值与无关 C. 函数，至少有一个零点 D. 函数，至多有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：，作差求即可分析；对于CD：构建，分和两种情况，结合函数图象分析与的交点个数即可. 【详解】对于选项AB：假设，， 则， 显然，可知的值与无关，与有关，故A正确，B错误； 对于选项CD：令，可得， 构建，则， 可知为奇函数， 若，在单调递增，其图象如图所示： 可知与恒有1个交点，即恒有1个零点； 若，在单调递减，在上单调递增，其图象如图所示： 可知与可能有1、2或3个交点，即可能有1、2或3个零点； 综上所述：函数，至少有一个零点，至多有三个零点，故CD正确； 故选：ACD. 非选择题部分 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 13. 已知，若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得，，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为， 若，，可知， 则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、对勾函数的单调性求解. 【详解】可看作由函数与函数复合而成， 当时，因为为增函数，所以在上单调递增即可，由对勾函数的单调性，只需，解得， 当时，因为为减函数，所以在上单调递减即可，由对勾函数的单调性，只需，解得， 综上，的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合A与，从而可进行集合间的运算； （2）分情况讨论，解得集合，结合充分不必要条件可得A，列不等式，解不等式组即可. 【小问1详解】 由已知，， 则，且， 则； 【小问2详解】 由已知“”是“”的充分不必要条件，则A， 又方程的两个解为，， 当时，，， 此时若满足A，则，解得； 当时，，，此时满足A，即成立； 当时，，， 此时若满足A，则，解得； 综上所述，即. 16. 设奇函数，（为自然对数的底数，）. （1）求的定义域和； （2），求函数的值域. 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意整理可得，进而可求定义域，根据奇函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可知，换元令，结合函数单调性求值域即可. 【小问1详解】 因为， 令，可得，可知的定义域为； 因为是奇函数，则，解得， 可得，则， 即，可知是奇函数. 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 因为在上单调递减， 当时，；当时，；可知，即 且在定义域内为增函数，则，所以的值域为. 17. 设函数. （1）若，求证：在内存在零点； （2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明：由， 即，， ， ， 当时，，由零点存在性定理知在上存在零点； 当时，则，是零点，此时存在零点； 综上在内存在零点. （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解； （2）根据题意得到，且，是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为在上恒成立求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意得，且，是方程的两根， 由韦达定理得，，， 所以， 依题意，得在上恒成立， 因为，，所以只需， 令，， 令，则，在上单调递增， 所以时，， . 18. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），证明如下： 因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数. （2）由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 19. 已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. （1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； （2）若函数，求的值； （3）若函数，求，的取值范围.（用表示） 【答案】（1）为“级函数”，且；不为“级函数”，理由：①函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在上递减， 所以为“级函数”，且； ②在上递减，且此时； 在上递减，且此时；所以不为“级函数”. （2）当时，；当时，. （3）当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数和反比例函数的性质，结合“级函数”的定义求解； （2）由，分和求解； （3）由，分，则，，则求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，的图象关于直线轴对称， 当时，，； 当时，，. 【小问3详解】 ，易得， ①当，时，，即， 所以，令， 当时，在递增，在递增， 所以； 当时，在递增，在递增，在递减， 所以； 当时，在递减，在递增，在递增， 在递减， 所以； ②当，时，，即， 所以，令， 对称轴是， 在上递减，所以， 因为：； 故：当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第三问，由，根据断点和二次函数的对称轴，分当时，由，得到，利用对勾函数的性质求解；当，时，由，得到，从而，利用二次函数的性质而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期台金七校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题：三门中学 审卷：新河中学 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3.所以答案必修写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“至少有一个实数，使得”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 对于集合，和全集，“”是“”的什么条件（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（ ） A. （2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B. （2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C. （2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D. （2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 7. 已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，（为自然对数的底数，），则在区间上的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. ，， C. 的值域为 D. 为偶函数 11. 若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是（ ） A. 的值与无关 B. 的值与无关 C. 函数，至少有一个零点 D. 函数，至多有三个零点 非选择题部分 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 13. 已知，若，，则的最小值为__________. 14. 若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 设奇函数，（为自然对数的底数，）. （1）求的定义域和； （2），求函数的值域. 17. 设函数. （1）若，求证：在内存在零点； （2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 18. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. （1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； （2）若函数，求的值； （3）若函数，求，的取值范围.（用表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $