概率、随机变量及其分布练习卷-2025届高三数学一轮专题复习

2025届高三数学一轮复习概率、随机变量及其分布练习卷 一、单选题 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件乙表示“第二枚骰子向上的点数为偶数”，事件丙表示“两枚骰子向上的点数之和为8”，事件丁表示“两枚骰子向上的点数之和为9”，则（    ） A．事件甲与事件乙互为对立事件 B． C．事件甲与事件丁相互独立 D．事件丙与事件丁相互独立 4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，且的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于即为合格种植标准，研究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是（    ） 附：参考数据与公式：若，则，，. A．幼苗株高优质种植标准约为 B．此地杂交水稻合格率约为0.97725 C．采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 D．采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 5．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 7．在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 8．有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 二、多选题 9．泊头鸭梨以个大､皮薄､汁多､肉细､味甜､形美及其较高的营养和药用价值而名扬海内外.为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（    ）（附：若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 10．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 11．为加强学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（    ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．第三次投篮的人是乙的概率为 C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 D．设第n次投篮的人是甲的概率为，则 三、填空题 12．某校有高一、高二、高三、三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 ． 13．已知随机变量的分布列为，则 . 14．学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有 本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有 本． 四、解答题 15．在某象棋比赛中，若选手甲和选手乙进入了最终的象棋决赛，经赛前数据统计发现在每局象棋比赛中甲和乙获胜的概率分别为和，且决赛赛制为局胜制，求： (1)前局中乙恰有局获胜的概率； (2)比赛结束时两位选手共进行了局比赛的概率． 16．银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 17．掷一枚质地均匀的骰子，得分规则如下：若出现的点数为1，则得1分；若出现的点数为2或3，则得2分；若出现的点数为4或5或6，则得3分． (1)记为连续掷这枚骰子2次的总得分，求的数学期望； (2)现在将得分规则变更如下：若出现的点数为1或2，则得2分，其他情况都得1分．反复掷这枚骰子，设总得分为的概率为，证明：数列为等比数列． 18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.    (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 19．在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C ABD C C D C BC ABD 题号 11 答案 CD 12． 13． 14．5 4 15．（1）设事件甲第局比赛获胜为，， 则，， 事件前3局中乙恰有2局获胜可表示为， 又， 所以， 所以， 所以前3局中乙恰有2局获胜的概率为. （2）设事件比赛结束时两位选手共进行了局比赛为， 事件前局甲胜局且第局甲胜为， 事件前局乙胜局且第局乙胜为， 则，且事件互为互斥事件， 所以， 所以比赛结束时两位选手共进行了局比赛的概率为. 16．（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元， ， 所以，，服从正态分布， ， ， 估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上； ②由①知，，则， 的所有可能取值为， ，， ，； 所以随机变量的分布列为： 均值为. 17.（1）由题知掷一次骰子，得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为． 的所有可能取值为2，3，4，5，6， ，，， ，． 故． （2）改变规则后，掷一次骰子，得1分的概率为，得2分的概率为． 由题意知，， 总得分为有两种情况：一种情况是当得分为时，下一次再得1分； 另一种情况是当得分为时，下一次再得2分． 所以． 故， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． 18．（1）由， 得. （2）平均数为. 设中位数为， 质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7， 所以，， 且， 解得. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6， 所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个. 又抽样比为， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个. 记这3个一等品为，2个二等品为， 则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点， 其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种. 根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 19．（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或； （ⅰ）当时，，， 当时，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以； （2）由， 则， 令， 即， 故，即当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$