特训08 三角函数 解答压轴题 （七大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训08 三角函数 解答压轴题 （七大题型） 目录： 题型1：恒成立问题 题型2：零点、实数根问题 题型3：多零点问题 题型4：复合函数 题型5：周期性、对称性 题型6：三角函数的实际应用 题型7：新定义题综合 题型1：恒成立问题 1．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 2．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若对任意实数，任意，不等式都成立，求实数的最大值. 题型2：零点、实数根问题 3．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 4．已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． (1)设函数，求函数的“特征向量”； (2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值； (3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 5．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 题型3：多零点问题 6．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 7．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 8．对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数． (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①；②． (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且． 题型4：复合函数 9．已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； (3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 10．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 题型5：周期性、对称性 11．已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 12．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 题型6：三角函数的实际应用 13．我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 题型7：新定义题综合 14．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 15．若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 16．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 17．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 19．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； (2)证明，上是上凸函数； (3)若A、B、C、，且，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 三角函数 解答压轴题 （七大题型） 目录： 题型1：恒成立问题 题型2：零点、实数根问题 题型3：多零点问题 题型4：复合函数 题型5：周期性、对称性 题型6：三角函数的实际应用 题型7：新定义题综合 题型1：恒成立问题 1．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或; (2); (3) 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【解析】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 2．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若对任意实数，任意，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“依赖函数”的定义，即可判断出答案； （2）由在上递增，结合“依赖函数”的定义可得，继而求出，利用二次函数性质，即可求得答案； （3）由题意可求出，即可将不等式恒成立问题逐步转化，结合分离参数以及基本不等式，即可求得答案. 【解析】（1）对于函数的定义域内存在，， 则无解， 故不是“依赖函数”. （2）因为在上递增，故，即，则， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. （3）因为，故在上单调递减， 从而，即，解得(舍)或， 对任意使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又，当且仅当时取到“=”， 所以，从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要准确理解新定义的含义，并由此解决问题，关键在于第三问，要将恒成立问题不断转化，结合其他知识综合求解. 题型2：零点、实数根问题 3．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质 (2)存在，， (3) 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【解析】（1），， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 4．已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． (1)设函数，求函数的“特征向量”； (2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值； (3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可； （2）由已知可得，利用即可求解； （3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或且，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围． 【解析】（1）因为 所以的“特征向量”为． （2）由题意知， 由得，， 因为，，所以， 所以． （3），当时，． 由得， 所以或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 因为方程在上存在4个不相等的实数根， 所以当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线， 因为方程在上有两个不等实根， 即当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点， 由图像可知：或， 解得或， 所以实数G的取值范围是． 【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题. 5．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 【答案】(1)具有性质 (2)存在，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可； （3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【解析】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故具有性质． （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质． （3）证明：由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证． 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 题型3：多零点问题 6．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【解析】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 题型3：多零点问题 7．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【解析】（1）由，得，则 则为偶函数， 于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以， 又，所以，故. （2）因为，所以， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，，设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问零点个数的处理可以考虑研究区间长度为的情况，发现规律后扩充到区间长度为整数倍的上进行求解. 8．对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数． (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①；②． (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且． 【答案】(1)①否；②是 (2)，． (3)，证明见解析 【分析】（1）验证是否成立即可； （2）根据，正弦函数的周期即可推出所满足的表达式； （3）根据阶梯函数的定义，先找出的性质，然后确定在一个周期上的零点情况，从而推广得到上零点的情形 【解析】（1），则；，则，故①否；②是. （2）因为为阶梯函数，所以对任意有： ． 所以，对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，． （3）． 函数，则有： ， ． 取，则有： ，， 由于在上单调递减，因此在上单调递减， 结合，则有： 在上有唯一零点，在上有唯一零点． 又由于，则对任意，有： ，， 因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，． 综上所述，存在，使得在上有4046个零点： ，，，，…，，， 其中，． 【点睛】本题考察的是函数新定义的理解，正确反复的使用新定义去研究抽象函数表达式所满足的关系是解决第三问的关键. 题型4：复合函数 9．已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； (3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可得函数解析式； （2）结合三角函数图像变换求出，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解； （3）结合已知先求出得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解. 【解析】（1），， ， 又， ， ， ，又， ， . （2）由题意知：， 的图象向左平移个单位得， 即， 函数与均为其定义域上的单调增函数，且，， 当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时， 才能取得函数的最小值， 由，得， 又，即， ，又， 的最小值为. （3）满足，解得， ， ，同理， ，， ，， 又函数在上单调递增， 若有， 则， 即只需，即成立即可，又， ，即存在，使成立. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求解，还考查了三角函数图象的变换及利用单调性解不等式. （1）求函数解析式的方法： ①利用最大（小）值确定； ②观察图象或由题意得周期，利用可求得； ③将特殊点代入解析式，结合得范围可求得. （2）利用单调性解不等式的方法： 如不等式，可利用函数的单调性来求解. ①把自变量的位置看成一个整体，要确保这个整体属于同一区间 ， 如，， 得， . ②判断函数在这个区间内的单调性，如函数在上单调递增. ③利用单调性得结论.如，即. ④解出不等式即可求解. 10．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”； (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断； （2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解； （3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明. 【解析】（1）由题知，函数，定义域为R， 所以， 所以函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数， 所以， 当时，则， 函数不是“2-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个，均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为，所以，得， 所以的最小值为2． （3）因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 由，得. 因为是函数的零点，则， 又是函数的零点，则，又， 所以，而，故， 设，， 由，， 得，由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 题型5：周期性、对称性 11．已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【解析】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 12．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2)； (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论； （2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解； （3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论. 【解析】（1）与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时， 则与具有关系； （2）， ， 因为，则当时，，则， 所以， 则； （3）不具有关系，理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1； 又为定义在上的奇函数， 故在上，当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有， 所以关于点对称， 又， 所以的周期为，故的值域为，，， 当时，，； 时，，， 若，则，， 此时有； 当时，，； 时，，， 若，则，时， 有； 由于， 所以， 故不存在，，使得， 所以与不具有关系. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质. 题型6：三角函数的实际应用 13．我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)个 【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可； （2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可； （3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解. 【解析】（1）注意到，又， 则. 则， 又，则，； （2）由图，， 又由（1），则， 即，； （3）由（2），. 则，则， 化简得：，解得或. 因，则，故， 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，，又. 则， 令, 即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个. 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将车位数量和停车位顶点到停车场边界距离联系起来，然后在利用之前所得到的部分结论解决问题. 题型7：新定义题综合 14．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 【答案】(1)不是“M函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“函数”的定义，即可判断； （2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解； （3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和. 【解析】（1）的周期为，满足， ，， ，所以函数不是“函数”； （2）若为“M函数”， 满足且， 所以函数的周期为，且函数关于对称， 根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象， 设，， 所以， 根据周期可知，的图象，如上图所示， 线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离， 即， 所以的最小值为. （3）设，则 所以， 设，则， ， 设，则， ， 所以； 所以 作出函数的图象，如图所示， 关于的方程（为常数）有解等价于函数与的图象有交点， 由图可知，当时，方程（为常数）有3个解， 则方程所有的解的和为, 当或时，方程（为常数）有4个解，其方程所有解的和, 当时，方程（为常数）有6个解，其方程所有解的和， 当时，方程（为常数）有8个解，其方程所有解的和 综上所述，当，关于的方程（为常数）所有解的和为， 则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“函数”的定义，确定函数的周期和对称性，利用周期性和对称性求函数的解析式，以及画出函数的图象. 15．若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出 （3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果. 【解析】（1）因为函数是“可消函数”, 所以,对,使得, 整理得, 当时,;当时,,解得. 经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为. （2）因为为函数的“可消数对”, 所以为函数的“可消数对”, 所以,对,都有,整理得, 所以,所以. （3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”, 所以, 化简可得, 因为 则, 所以, 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键. 16．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【解析】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 17．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【解析】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 18．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数与具有“m关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案. （2）根据满足的性质，推出其对称性以及周期，可得，再结合正弦函数的性质推出，即说明不存在，使得，即可得结论. 【解析】（1）由题意可知， 故， 则m的取值范围为； （2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 故在上当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有，可知图象关于点对称， 又，即， 故2a为函数的周期， 故， ， 当时，， 时，， 若，，，此时有为最大值； 当时，， 时，， 若，，此时有为最大值， 由于，故， 即不存在，使得， 所以与不具有“4关联”性． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解函数与具有“m关联”性质的定义，明确其含义，继而结合定义去解决问题，特别是第2问的证明，要结合定义说明不存在，使得成立. 19．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； (2)证明，上是上凸函数； (3)若A、B、C、，且，求的最大值． 【答案】(1)下凸函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作差，化简即可证明； （2）任意取，作差，再分析其符号即可； （3）根据（2）中结论得，代入计算即可得到答案. 【解析】（1）下凸函数，理由如下：任意取， 因为 即，当且仅当时等号成立， 故是下凸函数. （2）任意取，不妨设， ， 由于，根据在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以，即函数是上凸函数. （3）当，且， 由（2）知是上凸函数， 所以， 故 所以当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得，再分析其正负即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$