精品解析：江苏省盐城市亭湖区盐城中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

2023~2024学年江苏盐城亭湖区 盐城中学高一上学期期末数学试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集的定义即可求解. 【详解】由，可得， 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是:. 故选：B 3. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合正切函数的性质，作出判断． 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 4. 若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 5. 已知，则的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性运算得解. 【详解】由于， 故. 故选：C 6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示， 由图可知，的解集是， 故选：B． 7. 若，且，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 8. 已知函数，则方程的根的个数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，可求出所有的根. 【详解】设，由方程. 若，则. 再由，若，则或；若，则或. 若，则或. 再由，若，则，无解；若，则或； 由，若，则，无解；若，则或. 综上可知，方程有8个根. 故选：B 【点睛】方法点睛：分段函数的问题一般要分段解决. 二、多选题 9. 设实数，，且满足，则下列不等关系中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性对四个选项逐一判断，即可得出答案. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为函数在上单调递增，且，所以，故C不正确； 当时，结合，可得，当时，，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）． A. 函数为增函数 B. 当时， C. 函数为偶函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 函数的单调增区间为 B. 若，则的最小值为 C. 函数在区间内有个零点 D. 函数在 上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可. 【详解】由图象可得，，，又，故， 所以. 对于A：令，故A正确； 对于B项，若，即分别对应最大值和最小值，则的最小值为 ，故B正确； 对于C项， 令，可得：即， 由，得，由，得，由，得，由，得， 可知函数在区间内有个零点，故C错误； 对于D项，，则， 当，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD 12. 已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（ ）． A. B. 的一个周期是 C. 在上的值域为 D. 的图象关于直线轴对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质、结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由为上的奇函数，得，，A正确； 对于B，由，得，则的一个周期是，B正确； 对于C，显然函数的定义域为，，即是奇函数， 当时，的值域为，则当时，的值域为， 即函数在上的值域为，当时，，， 因此，C正确； 对于D，由，得，没有条件求得成立，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 三、填空题 13. 函数且过定点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，求出所对应的函数值，即可得解. 【详解】对于函数且，令，解得， 所以， 所以恒过点，即， 所以. 故答案为： 14. 已知 ，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式、平方关系可得的值即可求解. 【详解】. 故答案为：. 15. 若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】因为，， 所以， 又 上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 16. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，得出若要满足题意，当且仅当且在上有定义，由此即可转换为恒成立问题求解. 【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递增， 即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增， 从而在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递减， 若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义， 若，恒成立，即，恒成立， 当时，的取值范围是， 所以当且仅当且时，满足题意. 故答案为：. 四、解答题 17. 已知集合 （1）当时，求 （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. （2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由，得，由（1）知，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知，且 （1）求 的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及二倍角的正弦公式计算即得. （2）利用同角公式及差角的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，得，又，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，则， 所以. 19. 已知函数 （1）若，当时，求函数的值域； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【小问1详解】 当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： 【小问2详解】 设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 20. 设函数 （1）求函数的最小正周期，并解不等式； （2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，即可利用正弦函数的性质，结合整体法即可求解， （3）利用函数图象的平移和伸缩变换可得，即可根据三角函数的单调性求解最值求解. 【小问1详解】 由可得， 令，则， 故，解得， 故不等式的解为； 【小问2详解】 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；可得， 再向左平移 个单位，可得；最后向下平移 个单位得到函数， 当，由于在单调递增，故， 所以， 由于，故，即. 21. 近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. （1）请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； （2）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】（1），； （2）当时，取得最小值元. 【解析】 【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得. （2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值. 【小问1详解】 由表格数据知，，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 22. 已知函数 是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围． （3）设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）由题意得， 即， 故，即， 所以，解得，负值舍去； 函数在R上单调递增，理由如下： 显然在上单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性值，在上单调递增， 又是R上的奇函数，且为连续函数，故在R上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数得到，从而得到方程，求出，并利用复合函数单调性和函数奇偶性得到函数单调递增； （2）不等式变形为，根据的单调性得到，故得到，换元得到，分和时，求出； （3）求出有唯一零点0，得到在区间上有解，显然，令，只需求出的最小值，，根据单调性得到当时，取得最小值，求出的最小值为，从而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对，都有， 即， 由（1）可知在单调递增， 故， 所以只需， 即， 令，则， 因为，所以，则， ， 当时，恒成立， 当时，，其中， 故； 【小问3详解】 在R上单调递增，且， 故有唯一零点0，故，函数在区间上有解， 显然，当时，等号成立， 要求的最小值，且在区间上始终有解， 令，只需求出的最小值， ， 随着的增大，增大， ，先减小，后增大， 且当时，， ， 故， 故当时，取得最小值， 解得， 故的最小值为， 故， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年江苏盐城亭湖区 盐城中学高一上学期期末数学试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则 （ ）． A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 若，且，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程的根的个数是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 设实数，，且满足，则下列不等关系中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）． A. 函数为增函数 B. 当时， C. 函数为偶函数 D. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 函数的单调增区间为 B. 若，则的最小值为 C. 函数在区间内有个零点 D. 函数在 上的值域为 12. 已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（ ）． A. B. 的一个周期是 C. 在上的值域为 D. 的图象关于直线轴对称 三、填空题 13. 函数且过定点，则__________. 14. 已知 ，则______ 15. 若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是__________． 16. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 __________ ． 四、解答题 17. 已知集合 （1）当时，求 （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知，且 （1）求 的值； （2）求的值． 19. 已知函数 （1）若，当时，求函数的值域； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 20. 设函数 （1）求函数的最小正周期，并解不等式； （2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 21. 近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. （1）请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； （2）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 22. 已知函数 是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围． （3）设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $