普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷02（提升卷）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷02 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共计36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（   ） A．750 B．300 C．450 D．150 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 9．若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则α与β相交 D．若m⊥α，，则α⊥β 10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 11．函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（    ） A． B． C． D． 12．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 13．有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（    ） A．与不互斥 B． C． D．与相互独立 14．如图，在中，，点分别在边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为.则（    ） A．的面积为 B． C． D．的最大值为 15．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 16．已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 17．已知幂函数，且在上单调递增.则实数的值为 ；若函数，的，则的值域为 . 18．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 19．已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 20．在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为 . 四、解答题（本大题共3小题，每小题11分，共33分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值和中位数； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由. 22．如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．    (1)证明：是直角三角形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 23．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷02 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共计36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举法表示出集合，利用交集概念求出答案. 【详解】集合，， 则. 故选：B． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（   ） A．750 B．300 C．450 D．150 【答案】A 【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出，进而得到高三年级抽取的人数． 【详解】由题意可得：解得：， 所以高三年级抽取的人数为. 故选:A 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】要使得函数有意义，必须且，所以定义域为. 故选：D. 5．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断. 【详解】由，，若，则，解得， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 6．大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为，列出随机试验的样本空间，列出随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论. 【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率. 故选：C. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对齐次式分子分母同除得到关于的等式，解得的值，用正切的和差角公式即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 8．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，则，A错误； 选项B，当，时，，但，不成立，B错误； 选项C，当时，， C正确； 选项D，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D错误. 故选:C． 9．若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则α与β相交 D．若m⊥α，，则α⊥β 【答案】D 【分析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定与性质逐项分析即可. 【详解】若，不一定成立，也可能相交，故AC错误； 若，则或，故B错误； 若，则必有一直线且，所以，又，所以，故D正确. 故选：D 10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 【答案】B 【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解． 【详解】由题意，， 所以， 所以. 故选：B． 11．函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式即可. 【详解】函数为奇函数，且当时，， 则当时，，. 故选：A 12．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 13．有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（    ） A．与不互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】ACD 【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可； 【详解】对于A，和可以同时发生，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：ACD. 14．如图，在中，，点分别在边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为.则（    ） A．的面积为 B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，结合图形利用三角形面积公式易得；对于B,C,D,利用三角形相似求出矩形的边，即得的表示式，代值计算，及配方分析即可判断. 【详解】 如图，取的中点，连接，因，则， 且，所以的面积为，故A正确； 过作，垂足为，设与交于点， 因，则. 由矩形可得,从而,则有， 得，则， 所以 ， 则，因，则 的最大值为，故B错误，C，D均正确. 故选：ACD. 15．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 【答案】AB 【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断. 【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 故选：AB 16．已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意，作出函数的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可. 【详解】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 三、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 17．已知幂函数，且在上单调递增.则实数的值为 ；若函数，的，则的值域为 . 【答案】 【分析】直接利用幂函数的定义和在上单调递增即可求；先分离常数确定函数的单调性，再根据单调性即可求值域. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在上单调递增，； 因为， 由函数的单调性可知在上是单调递增的， 所以， 即值域为 故答案为：，. 18．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 【答案】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 19．已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等价于有解，解出即可得. 【详解】由均为正实数，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则不等式有解等价于有解， 即有，解得或. 故答案为：. 20．在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论. 【详解】因为，为的平分线， 所以，又， 所以， 由余弦定理可得，又， 所以 所以， 所以的面积. 故答案为：. 四、解答题（本大题共3小题，每小题11分，共33分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值和中位数； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由. 【答案】(1)，中位数为 (2)应选取评分在的学生人数为10人 (3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得，在频率分布直方图中频率对应的数为中位数； （2）由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算； （3）由频率分布直方图求出平均值后比较可得． 【详解】（1）由图可知：， 中位数：. （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. （3）由图可知，认可程度平均分为： ， “美食"工作需要进一步整改. 22．如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．    (1)证明：是直角三角形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，则，然后由面面垂直的判定可得平面，从而可得，进而可证得结论； （2）过作于，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可. 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，是圆周上不同于的一动点，∴， ∵平面，平面，∴． 又，平面， ∴平面， 又平面，∴，∴是直角三角形． （2）解：过作于，    ∵平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， ∴是直线与平面所成的角， 在中，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 23．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$