专题10 概率与统计（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

专题10 概率与统计 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：统计图表 4 考点二：平均数、中位数、众数、百分位数计算 8 考点三：方差与标准差 10 考点四：古典概型 12 考点五：互斥事件与对立事件 14 考点六：相互独立事件 17 实战能力训练 19 明晰学考要求 统计常考内容包括：利用分层随机抽样计算、数字特征计算（以平均数和百分位数为重点）、各类统计图，考查数据处理能力；对于概率问题，需要掌握古典概型的概率计算、互斥事件和相互独立事件的概率等，重点考查计算能力和应用能力. 基础知识梳理 1、总体与个体 在获取数据时，把所有考察对象的全体叫作总体，把组成总体的每一个考察对象叫作个体.从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中个体的数目称为样本容量. 为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体. 2、简单随机抽样 （1）一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个不放回的抽取n(1≤n＜N)个个体，如果每个个体被抽到的机会均等，这样的抽样就是简单随机抽样. （2）简单随机抽样主要包括抽签法与随机数表法. 3、分层抽样 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，讲总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样. 4、频率分布直方图 频率分布直方图中，横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.各小长方形的面积和等于1. 5、平均数、中位数、众数、百分位数 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数. (3)平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. (4)百分位数：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据. 第2步：计算i＝n×p%. 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 其中，第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 6、方差、标准差 （1）如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差. （2）标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 7、样本空间 定义 字母表示 样本点 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 基本事件 一个事件仅包含一个样本点 8、频率与概率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 9、古典概型 （1）定义：将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.特征①有限性，样本空间的样本点只有有限个. 特征②：等可能性，每个样本点发生的可能性相等. （2）概率公式：. 10、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件定义：若,即事件A,B不可能同时发生，称为事件A,B为互斥事件. （2）互斥事件的性质：若事件A,B为互斥，则. （3）对立事件定义：若,且，即互斥事件A,B必有一个发生，则它们为对立事件. （4）对立事件的性质：若事件A,B为对立，则. 11、相互独立事件 （1）定义：如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，称A,B为相互独立事件. （2）性质：若事件A，B独立，则. 考点精讲讲练 考点一：统计图表 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（    ） A．16 B．30 C．32 D．62 【答案】C 【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案. 【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为， 参加理化类的人数为， 故参加数学类的人数比参加理化类的人数多， 故选：C 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 【答案】A 【分析】由频率分布直方图的面积为1即可求解. 【详解】依题意知的频率为， 故， 故选：A. 例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）某地区调查了2000名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，估计这2000名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数是（    ） A．600 B．1400 C．560 D．1200 【答案】A 【分析】首先根据频率分布直方图求出自习时间不低于25小时的频率，即可求出人数； 【详解】由频率分布直方图可知自习时间不低于25小时的频率为，故这2000名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数为（人）； 故选：A 【即时演练】 1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【答案】C 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 2. 下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（    ） A．该同学数学学科成绩一定下降 B．该同学政治学科成绩一定下降 C．该同学化学学科成绩可能下降 D．该同学语文学科成绩一定提升 【答案】D 【分析】根据扇形统计图一一分析即可. 【详解】对于A：第一次月考数学成绩占，第二次月考数学成绩占， 且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考数学成绩比第一次数学成绩要高，故A错误； 对于B：第一次月考政治成绩占，第二次月考政治成绩占， 由于只知道第一次月考总分低于第二次月考总分，故无法判断这两次月考政治学科成绩的变化，故B错误； 对于C：第一次月考化学成绩占，第二次月考化学成绩占， 且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考化学成绩比第一次化学成绩要高，故C错误； 对于D：第一次月考语文成绩占，第二次月考语文成绩占， 且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考语文成绩比第一次语文成绩要高，故D正确. 故选：D 3. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（ ） A．68 B．27 C．66 D．86 【答案】A 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：A 由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： (1)×组距＝频率. (2)＝频率，此关系式的变形为：样本量×频率＝频数. 考点二：平均数、中位数、众数、百分位数计算 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知五个数的平均数为4，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式列式计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得. 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 【答案】B 【分析】根据百分位数的知识求得正确答案. 【详解】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360， ，所以分位数为. 故选：B 例题3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【分析】计算位置指数，代入数据可得位置，根据已知可求得. 【详解】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， 解之得， 所以该名考生面试的平均得分为. 故选：B. 计算百分位数，需要先将各数据由小到大排列，再按照百分位数的定义解答. 【即时演练】 1.已知数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数的性质直接运算即可. 【详解】由平均数的性质知：的平均数为. 故选：D. 2.（2022高三上·江苏徐州·学业考试）数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平均数的定义进行求解即可. 【详解】数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是， 故选：B. 3. 惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平均数，中位数，众数计算出来即可得. 【详解】平均数， 中位数， 众数， 故. 故选：D. 考点三：方差与标准差 【典型例题】 例题1．（2024高二·江苏·学业考试）运动员甲次射击成绩（单位：环）如下：，则下列关于这组数据说法不正确的是（    ）. A．众数为7和9 B．平均数为7 C．中位数为7 D．方差为 【答案】C 【分析】结合众数、平均数、中位数、方差分别进行计算即可. 【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次， 故众数为7和9，故A正确； 计算平均数为，故B正确； 将10次射击成绩从小到大排列为:， 则中位数为 ，故C错误； 方差为， 故D正确， 故选：C. 例题2．数据20，21，22，23，24的方差是 . 【答案】2 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式求解. 【详解】由题这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为. 故答案为：2. 【即时演练】 1. 数据2，4，6，8的方差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求平均数，再求方差. 【详解】由2，4，6，8的平均数为：， 所以数据2，4，6，8的方差为： ， 故选：B. 2. 若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是（    ） A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5 【答案】B 【分析】根据平均数以及方差的性质及可求解. 【详解】若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是6，3， 故选：B 3．甲、乙两名篮球运动员在相同站位点各进行6组篮球投篮练习，每组投篮10次，每投进篮筐一次记1分，否则记0分，他们每组投篮的得分如下： 甲  7  8  9  5  4  9 乙  7  8  7  8  7  7 则下列说法正确的是（    ） A．甲比乙的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定 B．甲比乙的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定 C．乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定 D．乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定 【答案】D 【分析】分别计算出甲乙两人的平均数和方差，比较大小，可得答案. 【详解】由题意可得甲乙两人的平均数分别为：， 甲乙两人的方差分别为：， ， 故，， 由此可知乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定， 故选：D 考点四：古典概型 【典型例题】 例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件； 其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件； 甲排在末位的概率. 故选：B. 例题2. （2023高三上·江苏徐州·学业考试）从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】记正品为，次品为，从中任取件，基本事件有： ，共种， 其中全是正品的是，共种， 所以取出的产品全是正品的概率是. 故选：C 例题3.（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可 【详解】从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，甲被选中共有3种情况，故对应的概率为 故选：D 公式P(A)＝计算古典概型的概率，其关键是求出n和k，即求出试验样本点的点数和事件A包含的样本点数，常用方法有列举法、列表法和树状图法. 【即时演练】 1.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A. 2. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可. 【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球， 有共12种． 两次都摸到红球的情况为共2种．则概率. 故选：B. 考点五：互斥事件与对立事件 【典型例题】 例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果. 【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件， ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件， 故选：B． 例题2. 从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【答案】A 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】根据题意 ， 则，所以与是互斥事件，A正确； ，所以与是互斥且对立事件，B错误； ，所以与是互斥且对立事件，C错误； 所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 例题3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 【即时演练】 1. 明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ） A．三次均未中靶 B．只有两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶 【答案】A 【分析】根据互斥事件的概念分析判断. 【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥， 事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误； 故选：A. 2.王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 【答案】C 【分析】根据事件的定义，以及对立和互斥的定义即可根据选项逐一求解. 【详解】从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），（乙丙）}， 对于A，是不一定发生，故不是必然事件， 对于B，是可能发生，所以不是不可能事件， 对于C，与不能同时发生，故与是互斥事件， 对于D, 与不能同时发生，但不是全部事件，所以不是对立事件， 故选：C. 3. 已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用互斥事件的加法公式即可； 【详解】解：记事件：李伟成绩高于80分，：李伟成绩不低于60分且不高于80分， 所以，与互斥，且，. 因为“李伟成绩不低于60分”可表示为， 所以，由与互斥可知. 故选：D 考点六：相互独立事件 【典型例题】 例题1.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 【答案】D 【分析】根据题意，先求出两地均不下雨的概率，在结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，且两地是否降雨相互独立， 所以甲乙两地均不下雨的概率为， 所以，这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为. 故选：D. 例题2.（2023高三·江苏·学业考试）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6 【答案】C 【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案. 【详解】甲乙都不能译出密码得概率为， 故密码被破译的概率为. 故选：C 【即时演练】 1.甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.6，则恰有一人投中的概率为（    ） A．0.44 B．0.48 C．0.88 D．0.98 【答案】A 【分析】恰有一人投中这个事件是由甲投中乙不中和甲不中乙投中组成，由此可求概率． 【详解】记甲投中为事件，乙投中为事件，恰有一人投中为事件， 由题意， ． 故选：A． 【点睛】本题考查互斥事件和相互独立事件的概率，解题关键是确定恰有一人投中这个事件是由哪些事件组成的． 2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（    ） A．0.85 B．0.80 C．0.70 D．0.29 【答案】D 【分析】由对立事件概率、互斥加法以及独立乘法即可求解. 【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为. 故选：D. 3．现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1个球，记事件为“从甲盒子中取出红球”，记事件为“从乙盒子中取出红球”，记事件为“从两个盒子中取出的球颜色相同”．下列说法正确的是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【答案】A 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概念判断即可； 【详解】解：因为事件为“从甲盒子中取出红球”，事件为“从乙盒子中取出红球”， 所以事件与相互独立，且，， 事件与事件可以同时发生，故事件与事件不互斥， 又， 所以，即， 所以事件与事件相互独立， 故选：A 实战能力训练 1．一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，该组数据共有8个，则 所以第25百分位数为. 故选：B 2．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为分）中，随机抽取了名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的众数的估计值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数的知识确定正确答案. 【详解】由图可知，众数是. 故选：B 3．下列四组数据中，方差最小的是（    ） A．5，5，5，5，5，5，5，5 B．4，4，4，5，5，5，6，6 C．3，3，4，4，5，6，6，7 D．2，2，2，2，2，5，8，8 【答案】A 【分析】根据方差的定义和意义进行判断. 【详解】设个数据，的平均数为， 则方差为， 方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立. 对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为； 对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于； 对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于； 对于D，这组数据波动较大，故方差较大； 故选：A. 4．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】由，故这组数据的中位数为. 故选：C. 5．有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由平均数求出，再利用方差的定义求出方差. 【详解】依题意，，解得， 所以组数据的方差为. 故选：A 6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【分析】运用频率定义计算即可. 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 7．从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e， 则样本空间，共包含10个样本点． 记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7， 所以． 故选：D 8．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是； 对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是； 对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是； 对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是. 故选：C 9．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲不输即是和棋或者获胜两种情况，故可得结果. 【详解】解：由题意可得，甲不输的情况有：和棋或获胜两种， 故其不输的概率为：. 故选：A. 10．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分为三种情况：第一次通过，第二次通过，第三次通过，结合相互独立事件概率乘法公式求解. 【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为. 故选：C. 11．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是（　　） A．“至少有1件次品”与“全是次品” B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品” C．“至少有1件次品”与“全是正品” D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品” 【答案】B 【分析】由互斥事件和对立事件的定义判断． 【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况，其中AD不互斥，C是对立事件，只有B互斥但不对立． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 概率与统计 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：统计图表 4 考点二：平均数、中位数、众数、百分位数计算 6 考点三：方差与标准差 7 考点四：古典概型 8 考点五：互斥事件与对立事件 9 考点六：相互独立事件 10 实战能力训练 11 明晰学考要求 统计常考内容包括：利用分层随机抽样计算、数字特征计算（以平均数和百分位数为重点）、各类统计图，考查数据处理能力；对于概率问题，需要掌握古典概型的概率计算、互斥事件和相互独立事件的概率等，重点考查计算能力和应用能力. 基础知识梳理 1、总体与个体 在获取数据时，把所有考察对象的全体叫作总体，把组成总体的每一个考察对象叫作个体.从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中个体的数目称为样本容量. 为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体. 2、简单随机抽样 （1）一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个不放回的抽取n(1≤n＜N)个个体，如果每个个体被抽到的机会均等，这样的抽样就是简单随机抽样. （2）简单随机抽样主要包括抽签法与随机数表法. 3、分层抽样 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，讲总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样. 4、频率分布直方图 频率分布直方图中，横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.各小长方形的面积和等于1. 5、平均数、中位数、众数、百分位数 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数. (3)平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. (4)百分位数：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据. 第2步：计算i＝n×p%. 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 其中，第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 6、方差、标准差 （1）如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差. （2）标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 7、样本空间 定义 字母表示 样本点 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 基本事件 一个事件仅包含一个样本点 8、频率与概率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 9、古典概型 （1）定义：将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.特征①有限性，样本空间的样本点只有有限个. 特征②：等可能性，每个样本点发生的可能性相等. （2）概率公式：. 10、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件定义：若,即事件A,B不可能同时发生，称为事件A,B为互斥事件. （2）互斥事件的性质：若事件A,B为互斥，则. （3）对立事件定义：若,且，即互斥事件A,B必有一个发生，则它们为对立事件. （4）对立事件的性质：若事件A,B为对立，则. 11、相互独立事件 （1）定义：如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，称A,B为相互独立事件. （2）性质：若事件A，B独立，则. 考点精讲讲练 考点一：统计图表 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（    ） A．16 B．30 C．32 D．62 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）某地区调查了2000名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，估计这2000名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数是（    ） A．600 B．1400 C．560 D．1200 【即时演练】 1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 2. 下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（    ） A．该同学数学学科成绩一定下降 B．该同学政治学科成绩一定下降 C．该同学化学学科成绩可能下降 D．该同学语文学科成绩一定提升 3. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（ ） A．68 B．27 C．66 D．86 由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： (1)×组距＝频率. (2)＝频率，此关系式的变形为：样本量×频率＝频数. 考点二：平均数、中位数、众数、百分位数计算 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知五个数的平均数为4，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 例题3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 计算百分位数，需要先将各数据由小到大排列，再按照百分位数的定义解答. 【即时演练】 1.已知数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 2.（2022高三上·江苏徐州·学业考试）数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3. 惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 考点三：方差与标准差 【典型例题】 例题1．（2024高二·江苏·学业考试）运动员甲次射击成绩（单位：环）如下：，则下列关于这组数据说法不正确的是（    ）. A．众数为7和9 B．平均数为7 C．中位数为7 D．方差为 例题2．数据20，21，22，23，24的方差是 . 【即时演练】 1. 数据2，4，6，8的方差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2. 若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是（    ） A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5 3．甲、乙两名篮球运动员在相同站位点各进行6组篮球投篮练习，每组投篮10次，每投进篮筐一次记1分，否则记0分，他们每组投篮的得分如下： 甲  7  8  9  5  4  9 乙  7  8  7  8  7  7 则下列说法正确的是（    ） A．甲比乙的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定 B．甲比乙的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定 C．乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定 D．乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定 考点四：古典概型 【典型例题】 例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ） A． B． C． D． 例题2. （2023高三上·江苏徐州·学业考试）从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（    ） A． B． C． D． 例题3.（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 公式P(A)＝计算古典概型的概率，其关键是求出n和k，即求出试验样本点的点数和事件A包含的样本点数，常用方法有列举法、列表法和树状图法. 【即时演练】 1.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 2. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（   ） A． B． C． D． 考点五：互斥事件与对立事件 【典型例题】 例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 例题2. 从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 例题3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 【即时演练】 1. 明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ） A．三次均未中靶 B．只有两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶 2.王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 3. 已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（    ） A． B． C． D． 考点六：相互独立事件 【典型例题】 例题1.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 例题2.（2023高三·江苏·学业考试）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6 【即时演练】 1.甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.6，则恰有一人投中的概率为（    ） A．0.44 B．0.48 C．0.88 D．0.98 2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（    ） A．0.85 B．0.80 C．0.70 D．0.29 3．现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1个球，记事件为“从甲盒子中取出红球”，记事件为“从乙盒子中取出红球”，记事件为“从两个盒子中取出的球颜色相同”．下列说法正确的是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 实战能力训练 1．一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为分）中，随机抽取了名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的众数的估计值是（    ）    A． B． C． D． 3．下列四组数据中，方差最小的是（    ） A．5，5，5，5，5，5，5，5 B．4，4，4，5，5，5，6，6 C．3，3，4，4，5，6，6，7 D．2，2，2，2，2，5，8，8 4．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 7．从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（   ） A． B． C． D． 8．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球 9．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 10．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 11．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是（　　） A．“至少有1件次品”与“全是次品” B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品” C．“至少有1件次品”与“全是正品” D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$