专题09 空间位置关系（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

专题09 空间位置关系 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 5 考点一：空间位置关系判断 5 考点二：空间位置关系的证明 7 考点三：异面直线所成角的计算 9 考点四：线面角、二面角的计算 11 实战能力训练 12 明晰学考要求 本部分包括两个重点内容：线面的位置关系判断与证明、角度计算.判断位置关系需要结合基本事实1～4和推论，并熟练应用各种判定定理和性质定理，考查空间想象能力；角度计算主要是异面直线所成角、线面角和二面角计算，需要明确各类性角的范围和计算方法，考查运算求解能力. 基础知识梳理 1、平面的基本事实 (1)点、线、面之间的关系 点P在直线l上，记作P∈l； 点P在平面α内，记作P∈α； 点P在平面α外，记作P∉α； 直线l在平面α内，记作l⊂α； 直线l不在平面α内，记作l⊄α. (2)平面的基本事实及推论 基本 事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 2、空间两条直线的位置关系 （1）异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线. ②异面直线的判定方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行，也不相交的两条直线 （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 3、直线与平面、平面与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α （2）平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 4、线面平行的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 5、面面平行的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 6、线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α a⊥α，且b⊥α⇒a∥b 图形语言 7、异面直线所成角、线面角、二面角 （1）异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°. （2）线面角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 （3）二面角的平面角 ①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 8、面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 b⊥平面α，b⊂平面β⇒β⊥α α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 考点精讲讲练 考点一：空间位置关系判断 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知直线平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 例题2．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟）关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知a，b，c，m，l表示直线，α表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若ab，c⊥a，则c⊥b； B．若a⊥c，b⊥c，则ab； C．若ab，b⊂α，则aα； D．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α. 例题4．（2023高三·江苏·学业考试）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面 判断位置关系，可以将所有判断的直线和平面放在正方体或者长方体中，通过举例判断. 【即时演练】 1．已知平面，是与无公共点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 考点二：空间位置关系的证明 【典型例题】 例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）在三棱柱中，AB⊥AC，平面ABC，E､F分别是棱中点. (1)求证：EF平面； (2)求证：平面. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 证明线线平行，常用到线面平行的性质；证明线面平行先证明线线平行，可以利用中位线或平行四边形的性质. 证明线线垂直，先证明线面垂直或利用面面垂直的性质；证明线面垂直，先整线线垂直. 【即时演练】 1.如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 2．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 考点三：异面直线所成角的计算 【典型例题】 例题1．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 例题2．如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例题3．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 求异面直线所成的角，常利用平行四边形的对边平行或中位线的性质，注意异面直线所成角的范围为0°<α≤90°. 【即时演练】 1. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在正方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3. 如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 考点四：线面角、二面角的计算 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 例题2．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，则二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例题3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，． (1)求证：； (2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值． 【即时演练】 1.如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，,则直线与平面所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 实战能力训练 1.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 2. 在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（    ） A．P一定在直线上 B．P一定在直线上 C．P在直线或上 D．P既不在直线上，也不在直线上 3.已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线 6.如图，在四面体中，平面，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 7.在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 8.在长方体中，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 9.如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 10.如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 空间位置关系 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 5 考点一：空间位置关系判断 5 考点二：空间位置关系的证明 12 考点三：异面直线所成角的计算 17 考点四：线面角、二面角的计算 23 实战能力训练 27 明晰学考要求 本部分包括两个重点内容：线面的位置关系判断与证明、角度计算.判断位置关系需要结合基本事实1～4和推论，并熟练应用各种判定定理和性质定理，考查空间想象能力；角度计算主要是异面直线所成角、线面角和二面角计算，需要明确各类性角的范围和计算方法，考查运算求解能力. 基础知识梳理 1、平面的基本事实 (1)点、线、面之间的关系 点P在直线l上，记作P∈l； 点P在平面α内，记作P∈α； 点P在平面α外，记作P∉α； 直线l在平面α内，记作l⊂α； 直线l不在平面α内，记作l⊄α. (2)平面的基本事实及推论 基本 事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 2、空间两条直线的位置关系 （1）异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线. ②异面直线的判定方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行，也不相交的两条直线 （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 3、直线与平面、平面与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α （2）平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 4、线面平行的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 5、面面平行的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 6、线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α a⊥α，且b⊥α⇒a∥b 图形语言 7、异面直线所成角、线面角、二面角 （1）异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°. （2）线面角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 （3）二面角的平面角 ①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 8、面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 性质定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 b⊥平面α，b⊂平面β⇒β⊥α α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 考点精讲讲练 考点一：空间位置关系判断 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知直线平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案. 【详解】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直， 若与相交，，则，，直线平面，故， 即与有交点，这与题设矛盾. 故选：B 例题2．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟）关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 【答案】B 【分析】ACD可举出反例，B选项，可利用线面平行的性质和线面垂直的性质推出. 【详解】A选项，若，，则a，b平行，相交或异面，比如图1和图2，A错误； B选项，因为，如图3，不妨设，且，则， 因为，，所以，由，则，B正确； C选项，如图4，满足，，但，C错误； D选项，，，且，，若，则不能得到，D错误. 故选：B. 例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知a，b，c，m，l表示直线，α表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若ab，c⊥a，则c⊥b； B．若a⊥c，b⊥c，则ab； C．若ab，b⊂α，则aα； D．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α. 【答案】A 【分析】由异面直线垂直定义判定选项A；由空间两直线位置关系定义判定选项B；由线面平行判定定理判断选项C；由线面垂直判定定理判断选项D. 【详解】选项A：若ab，c⊥a，则c⊥b.判断正确； 选项B：若a⊥c，b⊥c，则a与b平行或相交或异面.判断错误； 选项C：若ab，b⊂α，则aα或.判断错误； 选项D：若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则或或l与α相交. 判断错误. 故选：A 例题4．（2023高三·江苏·学业考试）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面 【答案】B 【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，证明即可. 【详解】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线， 如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点， 则，且平面， 所以直线，直线，直线， 当点与点重合时，，即直线的点到的三个顶点距离相等， 当点与点不重合时， 由勾股定理可得，即直线的点到的三个定点距离相等， 综上直线的点到的三个顶点距离相等，反之到的三个顶点距离相等的点都在直线l上， 所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线. 故选：B. 判断位置关系，可以将所有判断的直线和平面放在正方体或者长方体中，通过举例判断. 【即时演练】 1．已知平面，是与无公共点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两个平面平行的性质，结合充要条件的定义即可求解. 【详解】若，则与无交点， 若与无交点，则， 故是与无公共点的充要条件， 故选：C 2．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知. 【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确； 选项B，若，，则或都有可能， 如图，长方体中（以下同）， 设直线为，直线为，底面为， 满足，，但，与不平行，故B错误；    选项C，若，，则与不一定垂直， 如图，设上底面为，下底面为，平面为， 满足，，但，与不垂直， 故C错误；    选项D，若，，则或或与相交都有可能， 如图，设直线为，直线为，设上底面为， 满足，，但，与不平行，故D错误．    故选：A. 3. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A正确； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B错误； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C错误； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D错误. 故选A. 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面，面面位置的判定方法逐一判断即可得. 【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，则，又，故，故B错误； 对C：若，，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误； 对D：若，，则，又，则，故D正确. 故选：D. 考点二：空间位置关系的证明 【典型例题】 例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）在三棱柱中，AB⊥AC，平面ABC，E､F分别是棱中点. (1)求证：EF平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由线线平行证线面平行即可； （2）先由线线垂直证平面，再由即可证. 【详解】（1）证明：由E､F分别是棱中点得，又平面，平面，故EF平面 （2）证明：由平面ABC，平面ABC，∴， 又AB⊥AC，平面，故平面， 由得平面. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证； （2）先证明平面，即可求出三棱锥的体积 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为是等边三角形，是的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形， 所以 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用中位线得到线线平行，从而求出线面平行； （2）求出，进而求出. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为底面是正方形， 所以为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，底面是正方形，平面， 所以， 因为为的中点，所以. 证明线线平行，常用到线面平行的性质；证明线面平行先证明线线平行，可以利用中位线或平行四边形的性质. 证明线线垂直，先证明线面垂直或利用面面垂直的性质；证明线面垂直，先整线线垂直. 【即时演练】 1.如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【详解】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 2．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明. 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面. 考点三：异面直线所成角的计算 【典型例题】 例题1．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可 【详解】如图，连接，，，因为， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，，所以， 故选：. 例题2．如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值. 【详解】 设为的中点，连接， 由正方体的性质可得则四边形为平行四边形， 故，而为所在棱的中点，故， 故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为， 故选：C. 例题3．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连接、，利用几何法求解作答. 【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因此或其补角为直线与直线所成的角， 因为为等边三角形，为的中点，则，且， 同理，在等腰中，， 所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为. 故选：B 求异面直线所成的角，常利用平行四边形的对边平行或中位线的性质，注意异面直线所成角的范围为0°<α≤90°. 【即时演练】 1. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可 【详解】如图，连接，，，因为， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，，所以， 故选：. 2.如图，在正方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，可得异面直线与所成的角为，然后解三角形即可. 【详解】取的中点，连接，． 为正方体，． 又，分别是，的中点，， 异面直线与所成的角为． 设正方体的棱长为，平面，，,， 在中，． 故选：B. 3. 如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为. 【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 考点四：线面角、二面角的计算 【典型例题】 例题1．（2023高三·江苏·学业考试）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，平面，故是与平面所成角，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则， . 故选：C 例题2．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，则二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】由直四棱柱中的性质作出二面角的平面角，运用三角函数即可求得角度. 【详解】如图所示，AC，BD交于O，连接， 直四棱柱中，面，则为所求二面角，，则二面角的大小为45°. 故选：B 例题3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，． (1)求证：； (2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意分析证明平面PAC，进而可得结果； （2）由体积可得，可证平面PAB，结合线面夹角的定义分析求解. 【详解】（1）在梯形ABCD中， 由，，，得， 所以，所以， 又因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 因为平面，平面PAC，且， 所以平面PAC． 又平面PAC， 所以． （2）由（1）知， 所以，解得， 又因为平面，平面ABCD，则， 因为，所以， 因为平面，平面PAB，且， 所以平面PAB， 故PB是PC在平面PAB上的投影， 所以即为直线PC与平面PAB所成的角的平面角， 在中，解得， 所以， 所以直线PC与平面PAB所成角正切值为. 【即时演练】 1.如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案. 【详解】因为母线底面， 则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则， 因为，所以. 故选：B. 2．如图，在长方体中，,则直线与平面所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角的定义，可知即为直线与平面所成角，解三角形即可求得结果. 【详解】如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角， 在中，，，， ， 故选：C.    3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出为所求的角，再通过可求. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O， 则，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 设A1A＝a，则AO＝a， 所以. 故选：C 【点睛】求二面角，可利用定义直接作出其平面角来求，或者利用法向量公式解决. 实战能力训练 1.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 【答案】A 【分析】由异面直线的定义判断即可. 【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行， 故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面. 故选：A. 2. 在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（    ） A．P一定在直线上 B．P一定在直线上 C．P在直线或上 D．P既不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【分析】由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置. 【详解】由题意知：面，又交于一点P， ∴面，同理，面，又面面， 由公理3知：点P一定在直线上. 故选：B. 3.已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中线面之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A ，若，则，故A正确； 对于B，若，则，平行或相交，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：B. 4．已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由空间直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若，则不一定平行，还可以相交，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则不一定平行，还可以相交，故C错误； 若，则必存在直线，且， 而，所以，所以，故D正确. 故选：D 5．在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，利用空间线线，线面性质逐项判断从而可求解. 【详解】由题意作出下图，在正方体中，设所在直线为，平面所在平面为， 对A：由图及正方体性质可知，且平面，此时与共面，故A错误； 对B：由图及正方体性质可知与异面，且平面，故B错误； 对C：由图及正方体性质可知，且平面，故C错误； 对D：由平面，且平面，故D正确. 故选：D. 6.如图，在四面体中，平面，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题中条件，得到，再由勾股定理，根据题中数据，即可求出结果. 【详解】因为，，所以， 又平面，平面，所以； 因此. 故选：C. 7.在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论. 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 8.在长方体中，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为O，连接，证明，，进而可得为二面角的平面角，从而在中求解三角形即可得答案. 【详解】解：因为， 所以四边形是正方形，取的中点为O，连接， 则，又平面，平面， 所以，又， 所以平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 所以二面角的大小为. 故选：A. 9.如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2)直线与平面所成的角为. 【分析】（1）先证明，，再证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）连接交与点，证明为直线与平面所成的角，解三角形求其大小. 【详解】（1）连接， 由正方体性质可得，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接交与点， 因为四边形为正方形，所以， 由已知平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在中，，，， 所以，又， 所以. 所以直线与平面所成的角为. 10.如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由为矩形，得，又平面得，可知平面，从而，得证平面. （2）先证平面,得再证平面，得从而平面证明. 【详解】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$