专题05 三角函数与函数应用（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

专题05 三角函数与函数应用 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 6 考点一：弧度制下的弧长、面积公式 6 考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 7 考点三：三角函数的图象与性质 8 考点四：三角函数图象变换 10 考点五：函数零点与函数模型应用 11 实战训练 12 明晰学考要求 本专题包括三个重点内容：三角函数的定义与诱导公式、三角函数的图象与性质、函数零点与函数模型.对于三角函数的定义与诱导公式，需要能利用定义求出各三角函数值及其符号，掌握几类诱导公式，能利用同角三角函数的基本关系求值；对于三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x，需要能简单画出图象、会判断单调性和奇偶性；零点问题只需要掌握零点存在定理判断出零点所在的区间，函数模型问题常与实际问题相结合，考查解决实际问题的能力. 基础知识梳理 1、任意角 (1)任意角的概念：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，叫作零角. (2) 角的终边所在象限：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就称这个角为轴线角. (3) 终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}. 2、弧度制与扇形弧长、面积公式 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. (3) 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 (4)设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 3、三角函数的定义 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，对于任意角α，它的终边异于原点的一点P(x，y)，该点与原点的距离为 定义 正弦 叫做α的正弦，记作sin__α，即sin α＝ 余弦 叫做α的余弦，记作cos__α，即cos α＝ 正切 叫做α的正切，记作tan__α，即tan α＝ (2)三角函数在各象限的符号 4、同角三角函数基本关系与诱导公式 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. ③常用变形：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α，sin α＝cos__αtan__α，cos α＝. (2)诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α； 公式二：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α. 公式三：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α. 公式四：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α. 公式五：sin＝cos__α，cos＝sin__α. 公式六：sin＝cos__α，cos＝-sin__α. 5、三角函数的图象 （1）正弦函数的图象叫做正弦曲线． 函数 y＝sin x，x∈R 图象 （2）余弦函数的图象叫做余弦曲线． 函数 y＝cos x，x∈R 图象 （3）正切函数的图象． （4）五点(画图)法 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，， (π，0)，，(2π，0) (0,1)，， (π，－1)，， (2π，1) ①正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． ②正切函数的对称中心为(k∈Z)，正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴， 6、三角函数的性质 （1）周期性与奇偶性：①正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π，正切函数y＝tan x(x∈R)的周期为kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为π; ②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝. ③正弦函数y＝sin x(x∈R)与正切函数y＝tan x(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称. （2）单调性与最值： ①正弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. ②余弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. ③正切函数的单调性与最值：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. 7、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 8、三角函数图象变换 由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种： (1)y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）； （2）y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）. 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意． 9、函数的零点与二分法 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： (3)函数零点存在定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)·f(b)<0. 则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点. (4) 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 考点精讲讲练 考点一：弧度制下的弧长、面积公式 【典型例题】 例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（    ） A．30 B． C． D． 例题2．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，（    ） A．9 B．8 C．16 D．15 例题3．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（    ） A． B． C． D．60 解决扇形弧长和面积问题，注意应用公式|α|＝.S＝l·R＝α·R2. 【即时演练】 1．已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 2. 一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 3．已知扇形的半径为2，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为 考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 【典型例题】 例题1．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题4．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 角的终边与单位圆O相交于点，则，，. 【即时演练】 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3.已知 （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 考点三：三角函数的图象与性质 【典型例题】 例题1．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题4．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝. 【即时演练】 1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此可知，这段时间水深(单位：)的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 考点四：三角函数图象变换 【典型例题】 例题1．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 例题2．要得到函数的图像，只需将的图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数. (1)求的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数． 由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象， 方法如下： y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）. 【即时演练】 1．要得到函数的图象,只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点五：函数零点与函数模型应用 【典例讲解】 例题1．（2024年江苏省扬州市2023年学业水平考试模拟）函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 例题4．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1.已知方程的根所在的区间为，，则n的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. 已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 实战能练 1. 已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 3. 已知角的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 4.在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 5. 有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 6．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（    ） A．所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B．所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C．所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D．所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 7. 一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 8. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 9. 已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 10. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 11. 已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数与函数应用 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 6 考点一：弧度制下的弧长、面积公式 6 考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 9 考点三：三角函数的图象与性质 12 考点四：三角函数图象变换 16 考点五：函数零点与函数模型应用 19 实战训练 22 明晰学考要求 本专题包括三个重点内容：三角函数的定义与诱导公式、三角函数的图象与性质、函数零点与函数模型.对于三角函数的定义与诱导公式，需要能利用定义求出各三角函数值及其符号，掌握几类诱导公式，能利用同角三角函数的基本关系求值；对于三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x，需要能简单画出图象、会判断单调性和奇偶性；零点问题只需要掌握零点存在定理判断出零点所在的区间，函数模型问题常与实际问题相结合，考查解决实际问题的能力. 基础知识梳理 1、任意角 (1)任意角的概念：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，叫作零角. (2) 角的终边所在象限：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就称这个角为轴线角. (3) 终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}. 2、弧度制与扇形弧长、面积公式 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. (3) 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 (4)设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 3、三角函数的定义 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，对于任意角α，它的终边异于原点的一点P(x，y)，该点与原点的距离为 定义 正弦 叫做α的正弦，记作sin__α，即sin α＝ 余弦 叫做α的余弦，记作cos__α，即cos α＝ 正切 叫做α的正切，记作tan__α，即tan α＝ (2)三角函数在各象限的符号 4、同角三角函数基本关系与诱导公式 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. ③常用变形：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α，sin α＝cos__αtan__α，cos α＝. (2)诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α； 公式二：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α. 公式三：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α. 公式四：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α. 公式五：sin＝cos__α，cos＝sin__α. 公式六：sin＝cos__α，cos＝-sin__α. 5、三角函数的图象 （1）正弦函数的图象叫做正弦曲线． 函数 y＝sin x，x∈R 图象 （2）余弦函数的图象叫做余弦曲线． 函数 y＝cos x，x∈R 图象 （3）正切函数的图象． （4）五点(画图)法 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，， (π，0)，，(2π，0) (0,1)，， (π，－1)，， (2π，1) ①正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． ②正切函数的对称中心为(k∈Z)，正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴， 6、三角函数的性质 （1）周期性与奇偶性：①正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π，正切函数y＝tan x(x∈R)的周期为kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为π; ②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝. ③正弦函数y＝sin x(x∈R)与正切函数y＝tan x(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称. （2）单调性与最值： ①正弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. ②余弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. ③正切函数的单调性与最值：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. 7、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 8、三角函数图象变换 由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种： (1)y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）； （2）y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）. 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意． 9、函数的零点与二分法 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： (3)函数零点存在定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)·f(b)<0. 则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点. (4) 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 考点精讲讲练 考点一：弧度制下的弧长、面积公式 【典型例题】 例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合扇形的弧长进行求解即可. 【详解】因为30°， 所以扇形的弧长为， 故选：C 例题2．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，（    ） A．9 B．8 C．16 D．15 【答案】D 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选:D 例题3．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（    ） A． B． C． D．60 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长公式计算即可. 【详解】易知，由扇形弧长公式可得. 故选：B. 解决扇形弧长和面积问题，注意应用公式|α|＝.S＝l·R＝α·R2. 【即时演练】 1．已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】由题意，扇形的弧长为. 故选：C. 2. 一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 【答案】/ 【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解. 【详解】因为，， 所以该扇形的弧长为（cm）， 故该扇形的面积（cm2）． 故答案为：. 3．已知扇形的半径为2，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为 【答案】/ 【分析】根据扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为， 则扇形的面积，解得. 故答案为：. 考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 【典型例题】 例题1．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果. 【详解】根据三角函数定义可知， 又，则. 故选：A 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案. 【详解】由题意，可知， 则， 故选：B. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】通过判断的符号来确定点所在象限. 【详解】由于的终边位于第二象限， 所以， 所以位于第二象限. 故选：B 例题4．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 【详解】解：角α的终边经过点， 则sinα， 故选B． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 角的终边与单位圆O相交于点，则，，. 【即时演练】 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即得. 【详解】∵角的终边经过点， ∴，故A，C错误，D正确； 对于B，，故B错误. 故选：D. 2. 已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 3.已知 （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）当为第一象限角时，，当为第四象限角时，；（3）. 【分析】（1）由诱导公式结合题意可得； （2）由（1）可得，分为第一象限角，第四象限角，可得，进而可得的值； （3）可得，而由诱导公式可得所求为，代入可得答案. 【详解】解：（1） （2）， 当为第一象限角时，， 当为第四象限角时，， （3）因为， 所以 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及诱导公式的应用，属基础题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 考点三：三角函数的图象与性质 【典型例题】 例题1．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数， 对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数， 对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数， 对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数， 故选：B 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据周期性求得. 【详解】由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以. 故选：C 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 若，的值域为，不合题意； 若，则时，，，由于 ， 由题意可知需使； 若，则时，，，， 故需使， 即实数的可能值共有2个， 故选：B. 例题4．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），最小正周期. （2），即， 设，，， 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故. 综上所述：，即. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝. 【即时演练】 1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此可知，这段时间水深(单位：)的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值. 【详解】由题意可得当取得最小值-1时，函数取最小值， 因此当取得最大值1时，函数取最小值. 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算能力，属于中档题. 2．函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 3．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的对称轴计算求出对称轴. 【详解】的对称轴方程为, 即， 当时，为对称轴. 故选：C. 4.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 考点四：三角函数图象变换 【典型例题】 例题1．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果. 【详解】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减. 例题2．要得到函数的图像，只需将的图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】将变形为，进而结合左右平移变换的特征即可得出结果. 【详解】因为， 所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度即可， 故选：C. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数. (1)求的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）设即可求出的对称轴方程； （2）根据图象变换求出，换元画出图象即可求解. 【详解】（1），设， 的对称轴方程为； （2）由题意得：，， 令，，求出在的零点个数即可， 令，解得，， 求在与和的交点个数， 由图像易知有11个交点， 即在上的零点个数有11个. 由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象， 方法如下： y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）. 【即时演练】 1．要得到函数的图象,只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】将写为,根据三角函数的平移变换即可得出选项. 【详解】解:由题知, 所以由变到只需向左平移个单位, 故由变到只需向右平移个单位. 故选:B. 2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果. 【详解】由题意，得. 故选：A. 3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 考点五：函数零点与函数模型应用 【典例讲解】 例题1．（2024年江苏省扬州市2023年学业水平考试模拟）函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可. 【详解】在上为单调递增函数， 又，故， 所以的零点一定在内. 故选：B. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】代入数据计算，，计算得到答案. 【详解】，；，， . 故选：C 例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，结合对数和指数运算性质进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，，或， 当时，不满足； 当时，显然方程无实根， 所以当时，有一个实数解， 因为是定义在上的偶函数， 所以函数的图象关于纵轴， 因此当时，也有一个实数解， 所以的根的个数为2， 故选：B. 例题4．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项. 【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 故选：B 【即时演练】 1.已知方程的根所在的区间为，，则n的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令函数，结合零点存在定理及对数运算性质即可得出，求解即可. 【详解】令函数，由，，故. 故选：B 2. 已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数确定单调性，然后由零点存在定理求解． 【详解】由题意，， 所以时，，是单调递减函数， 它在上零点，则，解得， 故选：B． 实战能力训练实战能力训练实战能力训练实战能力训练 1. 已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 2. 已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数基本公式计算即得. 【详解】由是第一象限角，得，而， 所以. 故选：A 3. 已知角的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义式，代入点的坐标计算即得. 【详解】由题意，. 故选：A. 4.在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 5. 有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型. 【详解】，，，， 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快， AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确. 故选：B. 6．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（    ） A．所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B．所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C．所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D．所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据函数图像伸缩变换规则即可解决. 【详解】根据函数图像伸缩变换规则,图像所有点纵坐标不变,横坐标缩小为原来的即可得到. 故选:B. 7. 一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解． 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得 故选：C． 8. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 9. 已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 10. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据频率的公式即可求解. 【详解】频率为， 故选：C 11. 已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为-2 【分析】（1）结合公式计算直接得出结果； （2）由题意求得，根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由， 知函数的最小正周期为； （2）由，得， 令，则， 函数在上单调递减，所以， 所以， 即函数在上的最大值为2，最小值为-2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$