北京市第八十中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年北京八十中高一（上）期中数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题求的一项。 1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 2．（4分）下列说法正确的是（　　） A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 3．（4分）已知函数f（x）＝，则f（）＝（　　） A．0 B． C．a D．3a 4．（4分）下列运算结果中正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（﹣a2）3＝a6 C． D． 5．（4分）下列函数是在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数的是（　　） A． B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x 6．（4分）若a＞b，则下列正确的是（　　） A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．b﹣c＜a﹣c D． 7．（4分）已知x∈R，条件p：0＜x＜1，条件q：（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．0＜a≤1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞0 8．（4分）若，，c＝（﹣2）3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 9．（4分）著名的狄利克雷函数，则D（D（x））＝（　　） A．0 B．1 C． D． 10．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义 ①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1； ②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）； ③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）． 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）函数的定义域为 　 　． 12．（5分）函数y＝xa﹣2（a为常数）的图象过定点 　 　． 13．（5分）若命题“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是 　 　． 14．（5分）函数y＝x+（x≥2）取得最小值时的x值为 　 　． 15．（5分）已知函数f（x）＝，当x∈（a，2）时，f（x）有最大值　 　． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（13分）设全集为R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}． （Ⅰ）若a＝﹣1，求（∁RA）∩B； （Ⅱ）当a＝0时，是否满足A∪B＝R？说明理由； （Ⅲ）在①A∪B＝A，②A∩B＝B，③（∁RA）∩B＝∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） 17．（14分）已知函数，且f（﹣2）＝1． （1）用单调性定义证明f（x）在区间（0，+∞）上单调递减； （2）若f（x）≤t2+t﹣5对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围． 18．（14分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）． （1）若函数f（x）的图象经过点，求f（x），1]上的值域； （2）求使得不等式f（x2﹣x）＞1成立的实数x的取值范围． 19．（15分）设y＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2． （1）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＜0（a∈R）． 20．（15分）2022中国国际智能产业博览会于8月22～24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，该企业研发部原有80人，年人均投入a（a＞0），现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x∈N*且45≤x≤75），调整后，研发人员的年人均投入增加4x%（其中m∈R且m＞0）万元． （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ （2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件： ①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入． 请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值，则说明理由． 21．（14分）已知集合A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P． （1）当n＝5时，试判断集合B＝{x∈A|x＞4}和C＝{x∈A|x＝3k+1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由． （2）当n＝1010时，若集合S具有性质P． ①集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由； ②求集合S中元素个数的最大值． 2023-2024学年北京八十中高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题求的一项。 1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 【考点】求集合的交集．版权所有 【答案】B 【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 【解答】解：∵A＝{﹣1，0，2，2，3}5﹣2x﹣3＜7}＝{x|﹣1＜x＜3}， ∴A∩B＝{2，1，2}， 故选：B． 2．（4分）下列说法正确的是（　　） A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 【考点】命题的真假判断与应用．版权所有 【答案】C 【分析】利用函数的定义知：要求定义域中的元素在值域中有唯一的元素与之对应，定义域、值域是非空的，函数的定义域和值域相同的两个函数，不一定是同一函数，从而判定结论的真假． 【解答】解：由函数的定义：设A，B是非空数集，称f：A→B的函数． 函数的值域中的每一个数可以有定义域中多个的自变量与其对应所以B，A错． 函数的定义域和值域相同的两个函数，不一定是同一函数，故D错．  故选：C 3．（4分）已知函数f（x）＝，则f（）＝（　　） A．0 B． C．a D．3a 【考点】函数的值；基本初等函数的导数．版权所有 【答案】D 【分析】由已知函数解析式，直接代入即可求解． 【解答】解：由题意可得：f（）＝3a． 故选：D． 4．（4分）下列运算结果中正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（﹣a2）3＝a6 C． D． 【考点】有理数指数幂及根式．版权所有 【答案】D 【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案． 【解答】解：对于A选项，a3•a4＝a8+4＝a7，故A错误； 对于B选项，（﹣a8）3＝﹣a6，故B错误； 对于C选项，当a≥8时，，，故C错误； 对于D选项，，故D正确． 故选：D． 5．（4分）下列函数是在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数的是（　　） A． B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x 【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．版权所有 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝，是奇函数不是偶函数； 对于B，y＝x2，是二次函数，在（﹣∞，且是偶函数； 对于C，y＝x5，是幂函数，是奇函数不是偶函数； 对于D，y＝x，是奇函数不是偶函数． 故选：B． 6．（4分）若a＞b，则下列正确的是（　　） A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．b﹣c＜a﹣c D． 【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．版权所有 【答案】C 【分析】举出反例检验选项A，B，结合比较法及不等式性质检验选项C，D即可判断． 【解答】解：当c＝0时，A显然错误； 当a＝1，b＝﹣8时； 因为a＞b． 所以a﹣c＞b﹣c，C正确； 因为a＞b， 所以a﹣b＞0，但a+1与a的正负无法确定， 故＝＝无法确定正负． 故选：C． 7．（4分）已知x∈R，条件p：0＜x＜1，条件q：（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．0＜a≤1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞0 【考点】充分条件与必要条件．版权所有 【答案】A 【分析】先求出条件q的x的范围，再根据四个条件的定义建立不等式即可求解． 【解答】解：条件q：由不等式解得：0， 若p是q的充分不必要条件，则（0， 所以，解得3＜a≤1， 故选：A． 8．（4分）若，，c＝（﹣2）3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【考点】指数函数的单调性与最值；对数值大小的比较；指数函数的图象．版权所有 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小． 【解答】解：因为幂函数在[3，值域为[0， 由，则，又（﹣8）3＝﹣8＜4， 所以c＜b＜a． 故选：D． 9．（4分）著名的狄利克雷函数，则D（D（x））＝（　　） A．0 B．1 C． D． 【考点】函数的值．版权所有 【答案】B 【分析】根据狄利克雷函数的定义求解． 【解答】解：∵狄利克雷函数， D（x）∈{5，1}， ∴D（x）∈Q，∴D（D（x））＝1． 故选：B． 10．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义 ①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1； ②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）； ③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）． 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【考点】命题的真假判断与应用．版权所有 【答案】A 【分析】对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi（A）＝0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【解答】解：∵对于i∈N*，定义， ∴①例如A＝{正奇数}，B＝{正偶数}，A∪B＝N*i（A∩B）＝6；φi（A∪B）＝1，故①正确； ②若φi（A∩B）＝0，则i∉（A∩B），或i∈B且i∉A；∴φi（A）•φi（B）＝8； 若φi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B）；∴φi（A）•φi（B）＝1； ∴任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；正确； ③例如：A＝{5，2，3}，4，4}，2，2，4}， 当i＝2时，φi（A∪B）＝2；φi（A）＝1，φi（B）＝1；∴φi（A∪B）≠φi（A）+φi（B）； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）函数的定义域为 　[）∪（4，+∞）　． 【考点】函数的定义域及其求法．版权所有 【答案】[）∪（4，+∞）． 【分析】根据已知条件，列出不等式组，即可求解． 【解答】解：， 则，解得x， 故函数f（x）的定义域为[）∪（7． 故答案为：[）∪（4． 12．（5分）函数y＝xa﹣2（a为常数）的图象过定点 　（1，﹣1）　． 【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系．版权所有 【答案】（1，﹣1）． 【分析】令x＝1，求得y＝﹣1，由此求出函数的图象所过定点坐标． 【解答】解：令x＝1，得y＝1﹣6＝﹣1， 所以函数y＝xa﹣2的图象过定点（6，﹣1）． 故答案为：（1，﹣2）． 13．（5分）若命题“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是 　[2，+∞）　． 【考点】存在量词命题真假的应用．版权所有 【答案】[2，+∞）． 【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数a的取值范围． 【解答】解：“∃x0∈[﹣1，3]，x0﹣a＞0”是假命题， 则它的否定命题：“∀x∈[﹣4，2]； 所以x∈[﹣1，8]，所以a≥2， 即实数a的取值范围是[2，+∞）． 故答案为：[5，+∞）． 14．（5分）函数y＝x+（x≥2）取得最小值时的x值为 　2　． 【考点】运用基本不等式求最值．版权所有 【答案】2． 【分析】令x+1＝t（t≥3），则有f（t）＝t+﹣1在[3，+∞）上单调递增，当t＝3时，即可求解． 【解答】解：依题意，y＝x+﹣1（x≥3）， 设x+1＝t（t≥3）．因为f（t）＝t+，+∞）上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时（x≥2）取得最小值． 故答案为：7． 15．（5分）已知函数f（x）＝，当x∈（a，2）时，f（x）有最大值　﹣1　． 【考点】函数的最值．版权所有 【答案】﹣1． 【分析】由题意分3种情况讨论，根据f（x）在区间（a，2）上有最大值，列式算出a的取值范围，进而可得答案． 【解答】解：根据指数函数与二次函数的性质， 可得f（x）＝，在（﹣∞、（1， 在（4，1）上f（x）为增函数， 当x∈（a，2）时． ①当6≤a＜2时，f（x）在区间（a， 此时f（x）的最大值小于f（a），无最大值； ②当0＜a＜3时，f（x）在（a，在（1， 此时f（x）存在最大值f（1）＝2； ③当a≤5时，f（x）在（a， 在（0，1）上是增函数，6）上是减函数， 若要使f（x）存在最大值，则必须f（a）≤f（1）＝2， 即≤2，即≤，所以﹣1≤a≤0． 综上所述，﹣6≤a＜1，1）． 故答案为：﹣8． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（13分）设全集为R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}． （Ⅰ）若a＝﹣1，求（∁RA）∩B； （Ⅱ）当a＝0时，是否满足A∪B＝R？说明理由； （Ⅲ）在①A∪B＝A，②A∩B＝B，③（∁RA）∩B＝∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．版权所有 【答案】（Ⅰ）{x|﹣1≤x＜1}； （Ⅱ）不满足，理由见解析； （Ⅲ）（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． 【分析】（Ⅰ）解不等式算出集合A，再根据补集与交集的法则，算出答案； （Ⅱ）当a＝0时，算出A、B的并集，即可作出判断； （Ⅲ）分三种情况讨论，解关于a的不等式组，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞7}， 结合全集为R，可得∁RA＝{x|﹣1≤x≤3}； 当a＝﹣6时，集合B＝{x|﹣2＜x＜1} （∁RA）∩B＝{x|﹣8≤x＜1}； （Ⅱ）当a＝0时，不满足A∪B＝R 因为B＝{x|﹣8＜x＜3}，所以A∪B＝{x∈R|x≠﹣1且x≠7}； （Ⅲ）选择①A∪B＝A作为已知条件， 因为A∪B＝A，所以B⊆A，可得： 当B＝∅时，a﹣1≥2a+8； 当B≠∅时，或 ， 所以 或 ，所以﹣4＜a≤﹣2或a≥7． 因此，实数a的取值范围为（﹣∞，+∞）． 若选择②A∩B＝B，由A∩B＝B可得B⊆A， 以下解法同选择①，可得a的取值范围为（﹣∞，+∞）； 若选择③（∁RA）∩B＝∅，由（∁RA）∩B＝∅得B⊆A， 以下解法同选择①，可得a的取值范围为（﹣∞，+∞）． 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，+∞）． 17．（14分）已知函数，且f（﹣2）＝1． （1）用单调性定义证明f（x）在区间（0，+∞）上单调递减； （2）若f（x）≤t2+t﹣5对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围． 【考点】函数恒成立问题；定义法求解函数的单调性．版权所有 【答案】（1）证明过程见解答；（2）（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）． 【分析】（1）先求得a的值，再利用单调性的定义证明即可； （2）求出函数f（x）在[1，+∞）上的最大值，再解不等式t2+t﹣5≥1即可． 【解答】解：（1）证明：依题意，f（﹣2）＝﹣2a﹣2＝1， 解得a＝﹣1， 则， 任取x1，x2∈（7，+∞），x1＜x2， 则＝， 又x2，x2∈（0，+∞），x3＜x2， 则， 可得f（x1）﹣f（x2）＞8，即f（x1）＞f（x2）， 则f（x）在区间（4，+∞）上单调递减； （2）由（1）可知在[1， 则f（x）max＝f（1）＝8， 于是t2+t﹣5≥4，即（t+3）（t﹣2）≥8， 解得t≤﹣3或t≥2， 则实数t的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[2． 18．（14分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）． （1）若函数f（x）的图象经过点，求f（x），1]上的值域； （2）求使得不等式f（x2﹣x）＞1成立的实数x的取值范围． 【考点】由指数函数的单调性求解参数．版权所有 【答案】（1）； （2）答案见解析． 【分析】（1）根据指数函数的图象过的点，求得参数a，可得函数解析式，即可求得答案． （2）讨论a的取值范围，根据函数的单调性解不等式，可得答案． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点， 所以， 所以， 所以， 所以f（x）在[﹣1，1]上为减函数， 所以f（x）的最小值为，最大值为f（﹣1）＝5， 所以f（x）的值域为． （2）因为函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）， 又f（x4﹣x）＞1， 则， 当a＞1时，f（x）在区间R上单调递增， 则x2﹣x＞4， 解得x＜0或x＞1； 当3＜a＜1时， f（x）在区间R上单调递减．， 则x2﹣x＜3， 解得0＜x＜1， 综上可得：当a＞8时，x的范围是（﹣∞，∞），x的范围是（0． 19．（15分）设y＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2． （1）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＜0（a∈R）． 【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其应用．版权所有 【答案】（1）； （2）当a＞0时，不等式解集为； 当a＝0时，不等式解集为{x|x＜1}； 当﹣1＜a＜0时，不等式解集为{x|x＜1或； 当a＝﹣1时，不等式解集为{x|x≠1}； 当a＜﹣1时，不等式解集为或x＞1}． 【分析】（1）问题转化为ax2+（1﹣a）x+a≥0，然后对a分类讨论求解； （2）直接对a分类讨论求解． 【解答】解：（1）不等式y≥﹣2⇔ax2+（6﹣a）x+a≥0． 当a＝0时，ax4+（1﹣a）x+a≥0化为x≥7，即不等式y≥﹣2仅对x≥0成立； 当a≠2时，要使ax2+（1﹣a）x+a≥4对一切实数x恒成立． 则，解得． 综上，实数a的取值范围为[； （2）当a＝0时，ax2+（1﹣a）x﹣1＜4化为x﹣1＜0，解得x＜2； 当a≠0时，由ax2+（8﹣a）x﹣1＜0，得（ax+3）（x﹣1）＜0． ①若a＞4，解得； ②若a＜8，当，即a＝﹣7时； 当a＜﹣1时，，解得； 当﹣1＜a＜3时，，解得x＜7或． 综上，当a＞0时； 当a＝0时，不等式解集为{x|x＜8}； 当﹣1＜a＜0时，不等式解集为{x|x＜8或； 当a＝﹣1时，不等式解集为{x|x≠6}； 当a＜﹣1时，不等式解集为． 20．（15分）2022中国国际智能产业博览会于8月22～24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，该企业研发部原有80人，年人均投入a（a＞0），现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x∈N*且45≤x≤75），调整后，研发人员的年人均投入增加4x%（其中m∈R且m＞0）万元． （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ （2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件： ①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入． 请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值，则说明理由． 【考点】根据实际问题选择函数类型．版权所有 【答案】（1）优化结构调整后的技术人员x的取值范围是[45，50]且x∈N*； （2）显然不存在正实数m满足条件①②，理由见解析． 【分析】（1）由题意得研发人员有（80﹣x）人，调整后研发人员的年人均投入为（1+4x%）a万元，a＞0，则（80﹣x）（1+4x%）a≥80a，求解即可得出答案； （2）假设存在正实数m满足条件①②，由题意得现在研发部共有81人，分别利用条件①得≥a，解得m≥+1，条件②得（80﹣x）（1+4x%）a≥x，求出m的范围，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得研发人员有（80﹣x）人，调整后研发人员的年人均投入为（1+4x%）a万元， 则（80﹣x）（7+4x%）a≥80a，解得0≤x≤55， 又x∈N*且45≤x≤75，则x∈N*且45≤x≤50， 故优化结构调整后的技术人员x的取值范围是[45，50]且x∈N*； （2）假设存在正实数m满足条件①②，由题意得现在研发部共有81人， 由条件①得≥a+1， 又x∈N*且45≤x≤75，则当x＝75时，（max＝7，即m≥7， 由条件②得（80﹣x）（6+4x%）a≥x，即（）≥m﹣， ∴m≤++， ∵x∈N*且45≤x≤75，∴+≥2＝＝，即x＝45时等号成立， ∴++≥+＝， ∴m≤＜6， 故显然不存在正实数m满足条件①②． 21．（14分）已知集合A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P． （1）当n＝5时，试判断集合B＝{x∈A|x＞4}和C＝{x∈A|x＝3k+1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由． （2）当n＝1010时，若集合S具有性质P． ①集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由； ②求集合S中元素个数的最大值． 【考点】元素与集合的属于关系的应用．版权所有 【答案】（1）集合B不具有性质P，集合C具有性质P，理由见解析； （2）①集合T具有性质P，理由见解析；②1346． 【分析】（1）当n＝5时，集合A＝{1，2，3…，10}，m∈{1，2，3，4，5}，结合性质P的定义可知集合B不具有性质P，集合C具有性质P； （2）当n＝1010时，A＝{1，2，3，⋯，2019，2020}，m≤1010（m∈N*）， ①根据T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S，可得1≤2021﹣x0≤2020，利用性质P的定义加以验证，即可说明集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P； ②设集合S有k个元素，由（1）可知，任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有1个不超过1010，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010，然后利用性质P的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得k≤1346， 再举例说明k＝1346可以取到，从而k的最大值是1346． 【解答】解：（1）当n＝5时，集合A＝{1，6，10}，6，7，4，9，10}不具有性质P， 因为对任意不大于5的正整数m，都可以找到该集合的两个元素b3＝5与b2＝4+m使得|b1﹣b2|＝m成立． 集合C＝{x∈A|x＝4k+1，k∈N*}＝{4，3，10}具有性质P， 对集合C中的任意两个元素c1、c2，都有|c6﹣c2|≠1； （2）当n＝1010时，集合A＝{4，2，3，⋯，2020}*）， ①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P． 首先因为T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x2∈T，其中x0∈S． 因为S⊆A，所以x0∈{7，2，3，⋯，2020}． 从而2≤2021﹣x0≤2020且，即t∈A． 由S具有性质P，可知存在不大于1010的正整数m7、s2，都有|s1﹣s4|≠m． 对于上述正整数m，从集合T＝{2021﹣x|x∈S}中任取一对元素t1＝2021﹣x1，t4＝2021﹣x2，其中x1，x3∈S，则有|t1﹣t2|＝|x3﹣x2|≠m， 所以，集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P； ②设集合S有k个元素，由①可知，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P， 任给x∈S，1≤x≤2020，所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010， 不妨设S中有个元素b1、b2、⋯、bt不超过1010， 由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤10102、s2，都有|s1﹣s3|≠m， 所以一定有b1+m、b2+m、⋯，bt+m∉S， 又bi+m≤1000+1000＝2000（i＝6，2，…，t）1+m、b7+m、⋯、bt+m∈A， 即集合A中至少有t个元素不在子集S中， 因此，所以， 当S＝{6，2，⋯，672，1348，⋯，2019，取m＝6731，y8，都有|y1﹣y2|≠673，即集合S具有性质P， 而此时集合S中有1346个元素，因此最大值是1346. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$