精品解析：广东省潮州市湘桥区某校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年度第一学期期中教学质量检查 八年级数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 3，3，5 D. 2，6，3 3. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为(        ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 65 6. 如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列尺规作图，能确定是的中线的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（　　） A. ∠COP＝∠DOP B. PC＝PD C. OC＝OD D. ∠COP＝∠OPD 9. 如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（ ） A. 6 B. 6或12 C. 8 D. 8或12 10. 在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；…，按此做法进行下去，第2022个三角形的以为顶点的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 12. 如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可） 13. 如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米． 14. 如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么从岛看，两岛的视角为___________度． 15. 如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是________． 三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 16. 如图，已知：，，求证：． 17. 如图，已知各顶点的坐标分别为，请你画出关于y轴对称的，并写出的各点坐标． 18. 如图，在中，是边上的高，平分交于点，，，求的度数． 19. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点，使得； 测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 四、解答题（二）（本大题共3小题，20、21题各8分，22题9分，共25分） 20. 如图，在中，． 【实践与操作】（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【应用与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 21. 如图，在中，，点O为的中点，交于点E，F．求证：． 22. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，23题10分，24题12分，共22分）． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕； 操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上． 完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是______ ，直线，的位置关系是______ ． （2）深入探究 操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，如图，判断和是否相等，并说明理由． （3）结论应用 如图，已知，，请直接写出的度数． 24. [理解探究] “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决] 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ （2）[问题探究] 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长 （3）[拓展延伸] 如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中教学质量检查 八年级数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 以下列各组数为边能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 3，3，5 D. 2，6，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】解：、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； 、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； 、，能组成三角形，故此选项正确，符合题意； 、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 5. 若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为(        ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出底角，答案可得． 【详解】∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°， ∴底角=（180°-50°）÷2=65°． 故选D． 【点睛】考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握． 6. 如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作一个角等于已知角；实际上作的是三边对应相等，根据三边对应相等两三角形全等，全等三角形的对应角相等可知所作的角等于已知角． 【详解】解：由作图痕迹得：， ∴， ∴． 故选：D． 7. 下列尺规作图，能确定是的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A． AD为BC边的中线，所以A选项符合题意； B．点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，所以B选项不符合题意； C．AD为∠BAC的平分线，所以C选项不符合题意； D．AD为BC边的高，所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分线、中线和高． 8. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（　　） A. ∠COP＝∠DOP B. PC＝PD C. OC＝OD D. ∠COP＝∠OPD 【答案】D 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得出PC＝PD，∠POC＝∠POD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出OC＝OD即可判断． 【详解】∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D， ∴PC＝PD，∠POC＝∠POD，故A，B正确； 在Rt△OCP与Rt△ODP中， ， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴OC＝OD，故C正确． 不能得出∠COP＝∠OPD，故D错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知角平分线的性质定理与全等三角形的判定方法． 9. 如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（ ） A. 6 B. 6或12 C. 8 D. 8或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 10. 在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；…，按此做法进行下去，第2022个三角形的以为顶点的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、图形规律探索等知识，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质确定，再根据三角形外角的定义和性质可得，同理可得，即可确定图像变化规律，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可得， …， ∴第2022个三角形的以为顶点的底角的度数为． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画条对角线是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出条对角线， 故答案为：2． 12. 如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可） 【答案】AC=AD 【解析】 【分析】根据∠C=∠D=90°利用HL定理推出两三角形全等即可． 【详解】添加的条件是AC=AD，理由是： ∵∠C=∠D=90°， ∴在Rt△ACB和Rt△ADB中 ， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）． 故答案为AD=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一． 13. 如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米． 【答案】20 【解析】 【分析】首先根据多边形外角和求出小明第一次回到出发地A点时需要转弯多少次，然后用次数乘以2即可得出答案． 【详解】， （米） ∴他第一次回到出发地A点时，一共走了20米， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查多边形外角和的应用，掌握多边形外角和为360°是关键． 14. 如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么从岛看，两岛的视角为___________度． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查方向角的概念，平行线的性质，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此求出． 【详解】解：∵岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴从C岛看A，B两岛的视角为， 故答案为：90． 15. 如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 依据由题，先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：由题意，连接， ∵等边中，是边上的高， ∴是边上的中线，即垂直平分． ∴． ∴当B、F、E三点共线时，为最小值． ∵等边中，E是边的中点， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 16. 如图，已知：，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据“”证明两三角形全等即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了对顶角相等以及全等三角形的判定，理解并掌握全等三角形的判定条件是解题关键． 17. 如图，已知各顶点的坐标分别为，请你画出关于y轴对称的，并写出的各点坐标． 【答案】 如图所示，即为所求作． ； ． 【解析】 【分析】分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；根据所作图形可写出坐标． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 18. 如图，在中，是边上的高，平分交于点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，理解角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义可得，由是的外角，即，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是边上的高，即， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴的度数为． 19. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点，使得； 测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出米． 【详解】解：，， ， ∵ ， 在与中， ， ， 又， 米． 四、解答题（二）（本大题共3小题，20、21题各8分，22题9分，共25分） 20. 如图，在中，． 【实践与操作】（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【应用与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】 （1）如图所示； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质． （1）根据题意作出作边的垂直平分线，与，分别相交于点，即可； （2）由于是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，点O为的中点，交于点E，F．求证：． 【答案】 证明：如图，连接． ，，为的中点， ，，， ∴． ，，， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先由等腰直角三角形的性质得到，，，再证明，则可证明，进而证明． 【详解】略． 22. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，23题10分，24题12分，共22分）． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕； 操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上． 完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是______ ，直线，的位置关系是______ ． （2）深入探究 操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，如图，判断和是否相等，并说明理由． （3）结论应用 如图，已知，，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 解：， 理由如下： 由（1）得：，，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质进行求解即可； （2）由折叠的性质可得，则有，从而可求解； （3）由三角形的内角和可求，再由折叠可求得，利用三角形的外角性质即可求解． 【小问1详解】 解：和的大小关系是：，直线，的位置关系是：， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为． 24. [理解探究] “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决] 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ （2）[问题探究] 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长 （3）[拓展延伸] 如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标 【答案】（1） ，， ， ， ， 在和中 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键； （1）由“AAS”可证； （2）由“AAS”可，可得，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， 在和中 ， ， 【小问3详解】 如图，当点B在第一象限角平分线上时过点A作直线于D，过点B作直线于E， ， ， ， ， ， 点A坐标为， ，， ， ， 点； 如图，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作直线于D，过点B作直线于E， 同理可求：， ， 点A坐标为， ，， ， ， ， 点 综上所述：点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $