专题06 机械运动（讲义） -全国初中物理竞赛培优教程

全国初中物理竞赛培优教程 机械运动 一、运动的描述 质点概念的深入理解与应用，判断物体在何种情况下可视为质点。 参考系的灵活选取，分析不同参考系下物体运动状态的描述差异，通过实例讲解如何选择合适参考系简化问题。 路程与位移的区别与联系，会准确计算位移大小和方向，以及在复杂运动轨迹中确定路程。 二、速度与加速度 平均速度、瞬时速度的精确概念，通过实验和实例体会瞬时速度的测量与计算方法，如打点计时器相关实验数据处理。 加速度的物理意义、定义式及方向判断，能分析加速度与速度变化之间的关系，包括加速、减速、匀变速等多种情况。 运用速度 时间图像（v - t 图）、位移 时间图像（s - t 图）分析物体运动，从图像中获取速度、加速度、位移等信息，能绘制简单运动的图像并进行相互转换。 三、匀变速直线运动 匀变速直线运动的基本公式推导与熟练运用，会根据已知条件合理选择公式解题。 匀变速直线运动的几个重要推论，如中间时刻速度公式、相邻相等时间间隔位移差公式等，能够利用推论快速解题并理解其物理内涵。 自由落体运动和竖直上抛运动的特点与规律，将其作为匀变速直线运动的特殊情况进行分析，掌握重力加速度 g 的应用及相关计算。 四、相对运动 相对速度的概念与计算，理解在不同参考系下速度的合成与分解方法，解决如小船渡河、风中气球等相对运动问题。 分析多个物体之间的相对运动关系，通过建立合适的坐标系和方程求解相对位移、相对速度等物理量。 五、运动学综合问题 结合多段运动过程，分析每段运动的特点，利用运动学公式和规律进行衔接求解，例如先加速后匀速再减速的运动。 与实际生活场景结合，如交通问题、追及相遇问题，能根据实际情况建立运动学模型并求解，考虑临界条件和多种可能性。 引入图像法、比例法等特殊方法解决复杂运动学问题，培养学生灵活运用多种手段解题的能力，提高思维的敏捷性和逻辑性。 一、运动的描述 质点： 定义：用来代替物体的有质量的点。 判断条件：物体的大小和形状对研究问题的影响可忽略不计时可视为质点，比如研究地球绕太阳公转时，地球可看作质点；研究地球自转时则不行。 参考系： 定义：描述物体运动时假定不动的、被选作参照的物体。 特点：同一物体，选取不同参考系，其运动状态描述不同，例如坐在行驶汽车里的人，以车为参考系是静止的，以路边树木为参考系是运动的。 路程与位移： 路程：物体运动轨迹的长度，是标量，只有大小。 位移：从初位置指向末位置的有向线段，是矢量，有大小和方向，其大小等于初末位置间直线距离。 二、速度 平均速度： 定义：位移与发生这段位移所用时间的比值，，用来粗略描述物体运动快慢。 举例：一辆车行驶一段路程，用总位移除以总时间就是这段路程的平均速度。 瞬时速度： 定义：物体在某一时刻（或某一位置）的速度，能精确描述物体此时运动快慢，可通过打点计时器等实验来测量其近似值。 三、加速度 定义：速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，描述速度变化的快慢。 方向：与速度变化量的方向相同，与速度方向不一定相同，如汽车减速时，加速度方向与速度方向相反。 四、匀变速直线运动 自由落体运动：初速度为0，只在重力作用下的匀加速直线运动，加速度为g，重力加速度 竖直上抛运动：初速度竖直向上，只受重力，上升做匀减速、下降做匀加速，全程可看成匀变速，以初速度方向为正，加速度g取负。 五、相对运动 相对速度： 定义：一个物体相对于另一个物体运动的速度，若物体A速度vA，物体B速度vB，以B为参考系，A的相对速度vA对B=vA-vB（矢量运算）。 应用：如小船渡河问题，要分析船相对水、相对岸的速度来确定渡河最短时间、最短位移等情况。 一、图像法的深度运用 v - t 图像与 a - t 图像转换：不仅要熟练从 v - t 图像中读取加速度（斜率）、位移（面积）等信息，还要能根据给定运动情况绘制出准确的图像。例如，对于复杂的多段匀变速运动，能依次画出每段运动对应的图像部分，并利用图像的连续性和突变点分析运动细节。进一步地，能够依据 v - t 图像的斜率变化规律绘制出 a - t 图像，实现两种图像的灵活转换，以此解决诸如判断加速度变化趋势、计算特定时间段内加速度平均值等问题。 多物体图像对比分析：当涉及多个物体的运动时，在同一坐标系中绘制它们的 v - t 图像或 s - t 图像（若运动时间相同），通过图像交点、斜率大小比较等分析追及、相遇等问题。比如，判断两物体何时速度相等（图像交点横坐标），此时它们的间距是最大还是最小；或者根据图像直观地看出哪个物体先加速到某一速度，从而确定它们在运动过程中的先后顺序和相对位置关系。 二、追及相遇问题的拓展 多阶段追及模型：构建包含加速、匀速、减速等多阶段运动的追及模型。例如，一辆汽车先匀加速启动，达到最大速度后匀速行驶，去追前方以恒定速度行驶的另一辆车。需要细致分析每个阶段两车的速度、位移关系，确定追及可能发生的阶段，并列出相应的运动学方程求解。尤其要注意临界条件的判断，如刚好追上时两车速度相等、追不上时两车速度相等时的间距最小等情况，通过对这些临界条件的把握来确定方程的边界和取值范围。 - 相对运动视角下的追及：引入相对运动概念处理追及相遇问题，选择合适的参考系简化分析。比如，当两物体在同一直线上运动时，以其中一个物体为参考系，将另一个物体的运动转化为相对该参考系的运动。这样可以把原本复杂的两个物体的绝对运动问题，转化为一个物体相对于另一个静止参考系的单一运动问题，从而利用简单的运动学公式求解相对位移、相对速度等关键量，再转换回原参考系得到实际的追及结果。 三、实验数据的高阶分析 误差来源与修正：深入探究打点计时器实验或频闪摄影实验中的误差来源，如纸带与打点计时器间的摩擦、空气阻力对运动物体的影响、频闪频率不稳定等因素导致的实验数据偏差。针对这些误差来源，掌握相应的误差修正方法，如通过多次测量取平均值减小偶然误差；对于系统误差，采用理论修正公式或改进实验装置来降低其对实验结果准确性的影响。例如，在分析打点计时器打出的纸带数据计算加速度时，如果考虑纸带摩擦阻力，可根据阻力与重力的关系对加速度计算公式进行修正，从而得到更接近真实值的加速度结果。 数据拟合与规律挖掘：对于实验得到的一系列位移、时间或速度数据，不仅仅满足于简单的逐差法计算加速度等常规处理，还要学会运用数据拟合技术，如线性回归分析等方法，寻找数据背后隐藏的更深层次的物理规律。例如，当物体的运动并非严格的匀变速直线运动，而是受到一些微小变化因素影响时，通过数据拟合曲线的形状和参数，推测可能存在的其他作用力或运动变化趋势，并与理论模型进行对比验证，从而对实验现象有更全面、深入的理解，同时也能培养从实验数据中发现新问题、探索新规律的科学研究能力。 机械运动考试的难度要求通常有以下几个层次： 基础难度 对概念的考查：准确理解质点、参考系、路程、位移、速度、加速度等基本概念，能辨别它们之间的区别与联系，比如在选择题或填空题中，判断给定情境下物体能否看成质点等。 简单计算：运用速度公式、位移公式等基本运动学公式，解决单一过程、已知条件明确的简单匀速直线运动或匀变速直线运动问题，像已知初速度、加速度和时间，求位移这样的常规计算。 中等难度 多过程问题：涉及多个运动阶段的分析，例如先匀加速再匀速运动的情况，需要准确判断各阶段的运动特点，选择合适的运动学公式进行衔接求解，常见于解答题中。 图像应用：能从速度-时间图像、位移-时间图像中准确提取速度、加速度、位移等信息，并且利用图像去分析物体运动过程、求解相关物理量，比如根据图像判断物体何时加速何时减速，计算某段时间内的位移等。 追及相遇问题：分析两物体之间追及、相遇的情况，考虑临界条件，建立方程来求解何时相遇、追及所需时间等，这类问题考查综合分析能力，常出现在应用题中。 较高难度 复杂综合问题：将机械运动与实际生活、其他物理知识（如受力分析等）相结合，构建复杂的物理模型，例如分析在斜面上运动又受摩擦力影响的物体运动情况，需要跨知识点思考、灵活运用多种公式和规律来解决。 相对运动问题：准确分析多个物体之间的相对速度、相对位移等，尤其是在非惯性参考系或者存在多个相对运动物体的复杂情境下进行求解，对思维和知识运用的要求较高，往往在竞赛类或选拔性考试的压轴题中出现 【真题剖析1】．（2018九年级·上海·竞赛）如图所示，细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面，C为AB棒的中点。现让棒的A端沿着墙面匀速上移，当B端与C点的速度大小相等时，AB棒与地面的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【知识点】计算物体运动的速度 【详解】在直角三角形中，C点与墙角的连线为直角三角形斜边的中线，其长度始终是斜边的一半，始终相等，所以，中点C以墙角为圆心、杆长的一半为半径做圆周运动。设C的速度方向与杆的夹角为，杆与水平方向的夹角为，如下图所示： 根据几何关系有 由C、B沿杆方向的分速度大小相等得    ① 又有    ② 联立①②，解得。故A符合题意，BCD不符合题意。 故选A。 【真题剖析2】．（2007九年级·上海·竞赛）某河流两岸相距120米，河水流速为2米/秒，某人要从岸边A点到对岸下游某处B点，AB之间的距离为150米。此人在水中的游泳速度为1.2米/秒，在岸上奔跑的速度为5米/秒。如果此人要用最短的时间过河，则他从A点到B点需用时 秒；如果此人要用最短的路程到达B点，则他从A点到B点的路程为 米。 【答案】 122 270 【知识点】速度的计算、计算物体运动的速度 【详解】[1] 设A点正对岸为点，当人垂直于河岸游泳渡河时间最短，设过河时间为， 到达对岸点，如图所示 则 则点与点的距离 又点与点的距离 人从点跑到点所用时间为，则 如果此人要用最短的时间过河，则他从A点到B点所用时间 [2] 为了以最短路程到达B点，我们先确定游泳的方向，如图所示 游泳的方向必须与实际前进的方向AF垂直，即沿GH方向，才能保证F点，离B点最近，即AF最短，BF也最短。、和组成的矢量三角形。已知 ， 又因为 可得 得 由勾股定理得 又 故 故最短路程为 【真题剖析3】．（2022八年级上·全国·竞赛）据统计，全国发生的车祸中有超过四分之一是超速引起的！为此，四川高管近年来加大了道路限速监控管理，一种是“定点测速”，即监测汽车在某点的车速：另一种是“区间测速”，就是计算出汽车在某一区同行驶的平均速度，如果超过了该路段的最高限速，即被判为超速，若监测点A、B相距18km，全程限速120km/h，一辆轿车通过监测点A、B的速度分别为100km/h和110km/h通过两个监测点的时间如图所示。 （1）采用“区间测速”，这辆轿车在该路段会不会被判超速？（请通过计算进行说明） （2）停在公路旁的公安巡逻车定点测速时，利用超声波可以监测车速：巡逻车上测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，就能测出车速。在图（b）中，P1、P2是测速仪先后发出的超声波信号，n1、m2分别是测速仪检测到的P1、P2经反射后的信号。设测速仪匀速扫描，P1与P2之间的时间间隔为0.9s，超声波在空气中传播的速度为340m/s，假设被测汽车沿直线匀速行驶。求： ①第一次检测到超声波信号时声音传播的路程？ ②汽车行驶速度？ 【答案】（1）不会被判超速；（2）①51m，②20m/s 【知识点】测量物体运动的平均速度、计算物体运动的速度、运用推导公式求解路程和时间、测量物体平均速度的数据处理和误差分析 【详解】解：（1）图中所示轿车在该路段所用的时间是 所以轿车在该路段的速度 所以这辆轿车在该路段不会被判超速； （2）①P1、P2的间隔的刻度值为4.5个格，时间长为0.9s，已知，测速仪第一次发出超声波后经0.15s到达了汽车处，而信号从汽车处返回测速仪，也行驶了0.15s； 第一次检测到超声波信号时声音传播的路程为 ②P2、之间间隔的刻度值1个格，，测速仪第二次发出超声波时，经过了0.1s到达了汽车处，而信号从汽车处返回测速仪，也行驶了0.1s； 测速仪第一次发出的信号从汽车处返回到测速仪时，汽车距测速仪 第二次发出的信号从汽车处返回到测速仪时，汽车距测速仪 因此汽车在两次与信号相遇的过程中，行驶了 这17m共用了 所以汽车的车速为 答：（1）这辆轿车在该路段不会被判超速； （2）①第一次检测到超声波信号时声音传播的路程为51m；②汽车行驶速度为20m/s。 【真题剖析4】．（2022九年级上·江苏·竞赛）商场中有一自动扶梯，某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时，数得走了16级，当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了48级，则静止时自动扶梯露出的级数为多少？ 【答案】24级 【知识点】运用推导公式求解路程和时间 【详解】解：人的速度为v1，电梯的速度为v2，电梯上行时上楼时间为t1，自动扶梯露出总级数N，每级扶梯长度为L则 由题意知； 带入上式得： 电梯下行时上楼时间为t2，则有 由题意知： 带入上式得： 可得方程组： 解方程组得： 答：静止时自动扶梯露出的级数为24级。 1．（2007九年级·上海·竞赛）有一把在0℃准确的钢直尺，用它在20℃环境中测量甲铜棒的长度得l1=1米，在-20℃环境中测量乙铜棒长度得l2=1米，设0℃时甲乙两棒的长度分别为、，则正确的判断是（  ） A．<1米，<1米 B．>1米，<1米 C．<1米，>1米 D．>1米，>1米 【答案】C 【知识点】刻度尺的读数 【详解】钢尺与铜棒都具有热胀冷缩的性质，但铜棒的热膨胀系数大，即升高相同的温度，相同长度的铜棒比钢尺的伸长量大，降低相同的温度，相同长度的铜棒比钢尺缩小的长度大。 在20℃时用钢尺测的甲铜棒的长度 l1=1m 在0℃时，由于温度降低，钢尺与甲铜棒都变短，但甲铜棒长度的减小量大于钢尺的长度的减小量，则用钢尺测得的甲铜棒的长度 l′1＜1m 在-20℃时用钢尺测的乙铜棒的长度 l2=1m 在0℃时，由于温度升高，乙铜棒与钢尺的长度都增加，但乙铜棒长度的增加量大于钢尺长度的增加量，所以在0℃时用钢尺测得的乙铜棒的长度 l2′＞1m 故C正确，ABD错误。 故选C。 2．（2007九年级·上海·竞赛）把带有滴墨水器的小车，放在水平桌面上的纸带上，小车每隔相等时间滴一滴墨水当小车向左作直线运动时，在纸带上留下了一系列墨水滴，分布如图所示设小车滴墨水时间间隔为t，那么研究小车从图中第一滴墨水至最后一滴墨水运动过程中，下列说法中正确的是（　　） A．小车的速度是逐渐增大的 B．小车运动的时间是7t C．小车前一半时间内的平均速度较全程的平均速度大 D．小车在任一时间间隔t内的平均速度都比全程的平均速度小 【答案】C 【知识点】测量物体平均速度的实验器材和实验步骤、测量物体平均速度的数据处理和误差分析 【详解】由题知，纸带上任意相邻两个“滴痕”的时间间隔是相等的； A．由图像中纸带上“滴痕”的轨迹可以发现，每个时间间隔（相同的时间）内小车的路程越来越小，所以小车的运动速度越来越小，故A错误； B．小车运动的时间为 故B错误； C．由图可知，前一半时间内走的路程比后一半路程走的路程大，由可知，前一半时间内走的路程比后一半路程走的路程大，故小车前一半时间内的平均速度较全程的平均速度大。故C正确； D．因为刚开始时，在每个相同的时间间隔内走的路程比后来的大，小车在刚开始t内的平均速度都比全程的平均速度大，故D错误。 故选C。 3．（2007九年级·上海·竞赛）如图所示，甲、乙两人从水速恒定的河岸a、b处同时下水游泳，a处在b处的下游位置，甲游得比乙快，要在河中尽快相遇，甲、乙两人游泳方向应为（　　） A．都沿方向 B．都沿偏向下游方向 C．都沿偏向上游方向，甲的偏角更大 D．都沿偏向上游方向，乙的偏角更大 【答案】D 【知识点】不同参照物下描述运动、判断参照物的选择 【详解】如图所示 如图，甲逆水的同时向上游动，乙顺流的同时也要向上游动，这样做才能使两人走的距离最近（a、b之间的距离），所以都沿ab偏向上游方向，并且甲的偏角（与河岸的夹角）要小一些，而乙的偏角（与河岸的夹角）要大一些。 故选D。 4．（2016九年级·上海·竞赛）如图所示，实验室内有工宽度d=12cm的跑道。假设有一连串半径r=5cm的机器人在跑道上沿一直线鱼贯驶过，速度均为v=2cm/s，相邻机器人中心之间的距离为a=26cm。某智能机器人（不考虑大小）用最小的速度沿一直线匀速安全穿越此跑道（不与任何机器人相撞）的时间为（　　） A．6s B．12s C．14.4s D．16.9s 【答案】D 【知识点】计算物体运动的速度、运用推导公式求解路程和时间 【详解】机器人按照如下图所示虚线的路径（与前后两个机器人的圆相切）穿越跑道所用的速度最小。 设最小速度为v′，根据机械人所用的时间与智能机械人所用的时间相等，结合数学知识可有 代入数据可得 解得。根据三角形相似，智能机械人运动的路程为s，则有 代入数值得 解得s=31.2cm，故时间为 故D符合题意，ABC不符合题意。 故选D。 5．（2010九年级·上海·竞赛）一条河道被一行窄而浅的沙石隔成两条流速不同的支流。船从岸边A点开始渡河到对岸，船相对水的速度大小始终不变。已知船渡河的最短路径如图所示，船最终到达了对岸B点。船先后渡过两条支流的时间恰好相等，且α=53°，β=37°。则两条支流的水速之比v1︰v2= ；两条支流的宽度之比d1︰d2= 。 【答案】 3︰4 3︰4 【知识点】计算物体运动的速度、运用推导公式求解路程和时间 【详解】[1]由于船渡河的最短路径，则运动时船头指向应该与位移轨迹垂直，如图： 则由图可知 v船=v1sinα=v1sin53°=v1×0.8=0.8v1 v船=v2sinβ=v2sin37°=v2×0.6=0.6v2 由于船相对水的速度大小始终不变，则 0.8v1=0.6v2 所以 v1︰v2=3︰4 [2]由于船先后渡过两条支流的时间恰好相等，根据可知s=vt，则船航行路程 s1︰s2=vt︰v′t=v︰v′= v1cosα︰v2cosβ= v1cos53°︰v2cos37°=3×0.6︰4×0.8=9︰16 由图可知 d1︰d2=s1sin53°︰s2sin37°=9×0.8︰16×0.6=3︰4 6．（2007九年级·上海·竞赛）长度为300米的油轮在大海中匀速直线行驶，小汽艇从油轮的船尾匀速驶向船头再返回船尾，速度始终保持90千米/时，所用时间为37.5秒，则油轮的速度为 千米/时。 【答案】54 【知识点】计算物体运动的速度、运用推导公式求解路程和时间 【详解】已知油轮长s=300m，小汽艇速度 v小汽艇=90km/h=25m/st=37.5s；设油轮的速度为v，小汽艇从船尾匀速行驶到船头的时间为t1；小汽艇相对于油轮的速度 v1=v小汽艇-v=25m/s-v 则s=v1 t1，即 300m=(25m/s-v)×t1…… ① 小汽艇从油轮船头返回时，相对于油轮的速度 v2=v小汽艇+v 所有时间为 t2=37.5s-t1 则s=v2t2，即 300m=(25m/s+v)(37.5s-t1)……② 由①②解得 v=15m/s=54km/h 7．（2007九年级·上海·竞赛）火车、飞机、赛车在起动或制动过程中的运动通常是变速直线运动。人们设法测得了它们在起动或制动过程中各个不同时刻的速度，如下列各表所示： 表A火车在起动过程中各时刻的速度（从火车起动时开始计时） 时间（秒） 0 5 10 15 20 25 速度（米/秒） 0 1 2 3 4 5 表B飞机在起动过程中各时刻的速度（从飞机起动一段时间后开始计时） 时间（秒） 0 5 10 15 20 25 速度（米/秒） 10 25 40 55 70 85 表C赛车在制动过程中各时刻的速度（从赛车制动时开始计时） 时间（秒） 0 1 2 3 4 5 速度（米/秒） 25 20 15 10 5 0 请你认真比较和分析上述表格所提供的有关数据，并完成下列填空： (1)火车在起动过程中的速度随时间变化的特点（定量关系）可初步归纳为 ；飞机在起动过程中的速度随时间变化的特点（定量关系）可初步归纳为 ；赛车在制动过程中的速度随时间变化的特点（定量关系）可初步归纳为 ； (2)如果对（1）中的火车、飞机、赛车在起动或制动过程中速度随时间变化的共同特点作进—步的归纳，可概括为：它们是一种 的运动； (3)如果要引入一个物理量来反映（2）中概括出的这类运动的共同特点，这个物理量应如何定义，它表示的物理意义是什么 ? 【答案】(1) v=0.2t v=10m/s+3t v=25m/s-5t (2)在相同的时间内增加或减小的速度相同 (3)定义，物理意义：单位时间内速度的变化量 【知识点】计算物体运动的速度、运用推导公式求解路程和时间 【解析】【小题1】[1]由表1知：t=0s时，v0=0m/s，速度随时间均匀增加，则加速度 故速度随时间变化的关系为 [2]由表2知：t=0s，v0=10m/s，速度随时间均匀增加，则加速度 故速度随时间变化的关系为 由表3知：t=0s，v0=25m/s，速度随时间均匀增加，则加速度 故速度随时间变化的关系为 【小题2】从表中数据可以看出：火车、飞机、赛车在启动或制动过程中速度随时间变化的共同特点是：在相同的时间内增加或减小的速度相同。 【小题3】这个物理量可定义为：定义，物理意义：单位时间内速度的变化量。 8．（15-16八年级·广西百色·阶段练习）小明在“测小车的平均速度”的实验中，设计了如图所示的实验装置：小车从带刻度分度值为1cm的斜面顶端由静止下滑，图中的时间是小车到达A、B、C三处时电子表的显示时刻： （1）该实验是根据公式 进行测量的。所用的测量工具是 和 ； （2）实验中为了方便计时，应使斜面坡度较 （填“陡”或“缓”）些； （3）请根据图中所给信息回答： SBC= cm，tBC= s，vAC= m/s； （4）比较速度大小：vAB vAC（选填＞，＜，=）。 【答案】 刻度尺 停表 缓 5.0 1 0.033 < 【知识点】测量物体运动的平均速度 【详解】（1）[1][2][3]根据公式，要测出速度，应测量出小车运动的距离和时间，所以要用到刻度尺和秒表。 （2）[4]斜面坡度越大，小车沿斜面向下加速运动越快，过某点的时间会越短，计时会越困难，所以为使计时方便，斜面坡度应缓一些。 （3）[5][6][7]由图知，sBC=5.0cm tBC=15:35:23﹣15:35:22=1s sAC=10.0cm=0.1m tAC=15:35:23﹣15:35:20=3s 则 （4）[8]由图知AB段的路程和时间为 sAB=5.0cm=0.05m tAB=15:35:22﹣15:35:20=2s 则 所以，vAB＜vAC。 9．（2019八年级下·湖南湘西·竞赛）在校运会1000m跑比赛中，甲、乙两位同学同时出发，甲同学在整个比赛过程做匀速运动。乙同学出发后，经过100s通过的路程为400m，此时他比甲同学落后100m。求甲同学跑完全程需要多长时间？ 【答案】200s 【详解】由题知，乙同学出发后，经过100s通过的路程400m，此时他发现比甲同学落后100m，则此时甲同学100s通过的路程为 s=400m+100m=500m 甲同学做匀速运动，则甲同学比赛中的速度为 则甲同学跑完全程需要的时间为 答：甲同学跑完全程需要200s。 10．（2011九年级·湖北黄冈·竞赛）相距3750m的甲、乙两车站之间有一条笔直的公路，每隔2min有一辆摩托车由甲站出发以20m/s的速度匀速开往乙站，每一辆摩托车在抵达乙站后都立即掉头以10m/s的速度匀速开回甲站．这样往返的车辆共有48辆；若在第一辆摩托车开出的同时，有一辆汽车由甲站出发匀速开始乙站，速度为15m/s，问汽车抵达乙站前最后将与从甲站开出的第几辆摩托车迎面相遇？相遇处距乙站多少米？ 【答案】1，375m 【知识点】运用推导公式求解路程和时间 【详解】解；摩托车从甲地到乙地所需时间为 设汽车速度为v＝15m/s，摩托车从乙地开往甲地的速度v2＝10m/s，设汽车抵达乙站前最后与甲站开出的第n辆摩托车相遇，相遇时汽车行驶的时间为t。由题意知，每隔2min即Δt＝120s有一辆摩托车由甲站开出，则相遇时，第n辆摩托车行驶的时间为t－Δt(n－1)，第n辆摩托车从到乙站后和汽车相遇所经历的时间为t－Δt(n－l)－t1依据题意，摩托车在t－Δt(n－l)－t1这段时间内行驶的距离与汽车在时间t内行驶的距离之和正好等于甲、乙两地之间的距离．即 化简得 整理得 汽车从甲地到乙地所需时间 故 n为正整数当n＝1时，可得t＝225s 当n＝2时，可得 则根据上述分析，当n≥2时，都不合题意，只能取n＝1，此时t＝225s 汽车行驶距离为s1＝vt 此时汽车离乙站距离 即汽车抵达乙站前最后将与从甲站开出的第1辆摩托车相遇，相遇处距乙站375m。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中物理竞赛培优教程 机械运动 一、运动的描述 质点概念的深入理解与应用，判断物体在何种情况下可视为质点。 参考系的灵活选取，分析不同参考系下物体运动状态的描述差异，通过实例讲解如何选择合适参考系简化问题。 路程与位移的区别与联系，会准确计算位移大小和方向，以及在复杂运动轨迹中确定路程。 二、速度与加速度 平均速度、瞬时速度的精确概念，通过实验和实例体会瞬时速度的测量与计算方法，如打点计时器相关实验数据处理。 加速度的物理意义、定义式及方向判断，能分析加速度与速度变化之间的关系，包括加速、减速、匀变速等多种情况。 运用速度 时间图像（v - t 图）、位移 时间图像（s - t 图）分析物体运动，从图像中获取速度、加速度、位移等信息，能绘制简单运动的图像并进行相互转换。 三、匀变速直线运动 匀变速直线运动的基本公式推导与熟练运用，会根据已知条件合理选择公式解题。 匀变速直线运动的几个重要推论，如中间时刻速度公式、相邻相等时间间隔位移差公式等，能够利用推论快速解题并理解其物理内涵。 自由落体运动和竖直上抛运动的特点与规律，将其作为匀变速直线运动的特殊情况进行分析，掌握重力加速度 g 的应用及相关计算。 四、相对运动 相对速度的概念与计算，理解在不同参考系下速度的合成与分解方法，解决如小船渡河、风中气球等相对运动问题。 分析多个物体之间的相对运动关系，通过建立合适的坐标系和方程求解相对位移、相对速度等物理量。 五、运动学综合问题 结合多段运动过程，分析每段运动的特点，利用运动学公式和规律进行衔接求解，例如先加速后匀速再减速的运动。 与实际生活场景结合，如交通问题、追及相遇问题，能根据实际情况建立运动学模型并求解，考虑临界条件和多种可能性。 引入图像法、比例法等特殊方法解决复杂运动学问题，培养学生灵活运用多种手段解题的能力，提高思维的敏捷性和逻辑性。 一、运动的描述 质点： 定义：用来代替物体的有质量的点。 判断条件：物体的大小和形状对研究问题的影响可忽略不计时可视为质点，比如研究地球绕太阳公转时，地球可看作质点；研究地球自转时则不行。 参考系： 定义：描述物体运动时假定不动的、被选作参照的物体。 特点：同一物体，选取不同参考系，其运动状态描述不同，例如坐在行驶汽车里的人，以车为参考系是静止的，以路边树木为参考系是运动的。 路程与位移： 路程：物体运动轨迹的长度，是标量，只有大小。 位移：从初位置指向末位置的有向线段，是矢量，有大小和方向，其大小等于初末位置间直线距离。 二、速度 平均速度： 定义：位移与发生这段位移所用时间的比值，，用来粗略描述物体运动快慢。 举例：一辆车行驶一段路程，用总位移除以总时间就是这段路程的平均速度。 瞬时速度： 定义：物体在某一时刻（或某一位置）的速度，能精确描述物体此时运动快慢，可通过打点计时器等实验来测量其近似值。 三、加速度 定义：速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，描述速度变化的快慢。 方向：与速度变化量的方向相同，与速度方向不一定相同，如汽车减速时，加速度方向与速度方向相反。 四、匀变速直线运动 自由落体运动：初速度为0，只在重力作用下的匀加速直线运动，加速度为g，重力加速度 竖直上抛运动：初速度竖直向上，只受重力，上升做匀减速、下降做匀加速，全程可看成匀变速，以初速度方向为正，加速度g取负。 五、相对运动 相对速度： 定义：一个物体相对于另一个物体运动的速度，若物体A速度vA，物体B速度vB，以B为参考系，A的相对速度vA对B=vA-vB（矢量运算）。 应用：如小船渡河问题，要分析船相对水、相对岸的速度来确定渡河最短时间、最短位移等情况。 一、图像法的深度运用 v - t 图像与 a - t 图像转换：不仅要熟练从 v - t 图像中读取加速度（斜率）、位移（面积）等信息，还要能根据给定运动情况绘制出准确的图像。例如，对于复杂的多段匀变速运动，能依次画出每段运动对应的图像部分，并利用图像的连续性和突变点分析运动细节。进一步地，能够依据 v - t 图像的斜率变化规律绘制出 a - t 图像，实现两种图像的灵活转换，以此解决诸如判断加速度变化趋势、计算特定时间段内加速度平均值等问题。 多物体图像对比分析：当涉及多个物体的运动时，在同一坐标系中绘制它们的 v - t 图像或 s - t 图像（若运动时间相同），通过图像交点、斜率大小比较等分析追及、相遇等问题。比如，判断两物体何时速度相等（图像交点横坐标），此时它们的间距是最大还是最小；或者根据图像直观地看出哪个物体先加速到某一速度，从而确定它们在运动过程中的先后顺序和相对位置关系。 二、追及相遇问题的拓展 多阶段追及模型：构建包含加速、匀速、减速等多阶段运动的追及模型。例如，一辆汽车先匀加速启动，达到最大速度后匀速行驶，去追前方以恒定速度行驶的另一辆车。需要细致分析每个阶段两车的速度、位移关系，确定追及可能发生的阶段，并列出相应的运动学方程求解。尤其要注意临界条件的判断，如刚好追上时两车速度相等、追不上时两车速度相等时的间距最小等情况，通过对这些临界条件的把握来确定方程的边界和取值范围。 - 相对运动视角下的追及：引入相对运动概念处理追及相遇问题，选择合适的参考系简化分析。比如，当两物体在同一直线上运动时，以其中一个物体为参考系，将另一个物体的运动转化为相对该参考系的运动。这样可以把原本复杂的两个物体的绝对运动问题，转化为一个物体相对于另一个静止参考系的单一运动问题，从而利用简单的运动学公式求解相对位移、相对速度等关键量，再转换回原参考系得到实际的追及结果。 三、实验数据的高阶分析 误差来源与修正：深入探究打点计时器实验或频闪摄影实验中的误差来源，如纸带与打点计时器间的摩擦、空气阻力对运动物体的影响、频闪频率不稳定等因素导致的实验数据偏差。针对这些误差来源，掌握相应的误差修正方法，如通过多次测量取平均值减小偶然误差；对于系统误差，采用理论修正公式或改进实验装置来降低其对实验结果准确性的影响。例如，在分析打点计时器打出的纸带数据计算加速度时，如果考虑纸带摩擦阻力，可根据阻力与重力的关系对加速度计算公式进行修正，从而得到更接近真实值的加速度结果。 数据拟合与规律挖掘：对于实验得到的一系列位移、时间或速度数据，不仅仅满足于简单的逐差法计算加速度等常规处理，还要学会运用数据拟合技术，如线性回归分析等方法，寻找数据背后隐藏的更深层次的物理规律。例如，当物体的运动并非严格的匀变速直线运动，而是受到一些微小变化因素影响时，通过数据拟合曲线的形状和参数，推测可能存在的其他作用力或运动变化趋势，并与理论模型进行对比验证，从而对实验现象有更全面、深入的理解，同时也能培养从实验数据中发现新问题、探索新规律的科学研究能力。 机械运动考试的难度要求通常有以下几个层次： 基础难度 对概念的考查：准确理解质点、参考系、路程、位移、速度、加速度等基本概念，能辨别它们之间的区别与联系，比如在选择题或填空题中，判断给定情境下物体能否看成质点等。 简单计算：运用速度公式、位移公式等基本运动学公式，解决单一过程、已知条件明确的简单匀速直线运动或匀变速直线运动问题，像已知初速度、加速度和时间，求位移这样的常规计算。 中等难度 多过程问题：涉及多个运动阶段的分析，例如先匀加速再匀速运动的情况，需要准确判断各阶段的运动特点，选择合适的运动学公式进行衔接求解，常见于解答题中。 图像应用：能从速度-时间图像、位移-时间图像中准确提取速度、加速度、位移等信息，并且利用图像去分析物体运动过程、求解相关物理量，比如根据图像判断物体何时加速何时减速，计算某段时间内的位移等。 追及相遇问题：分析两物体之间追及、相遇的情况，考虑临界条件，建立方程来求解何时相遇、追及所需时间等，这类问题考查综合分析能力，常出现在应用题中。 较高难度 复杂综合问题：将机械运动与实际生活、其他物理知识（如受力分析等）相结合，构建复杂的物理模型，例如分析在斜面上运动又受摩擦力影响的物体运动情况，需要跨知识点思考、灵活运用多种公式和规律来解决。 相对运动问题：准确分析多个物体之间的相对速度、相对位移等，尤其是在非惯性参考系或者存在多个相对运动物体的复杂情境下进行求解，对思维和知识运用的要求较高，往往在竞赛类或选拔性考试的压轴题中出现 【真题剖析1】．（2018九年级·上海·竞赛）如图所示，细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面，C为AB棒的中点。现让棒的A端沿着墙面匀速上移，当B端与C点的速度大小相等时，AB棒与地面的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【真题剖析2】．（2007九年级·上海·竞赛）某河流两岸相距120米，河水流速为2米/秒，某人要从岸边A点到对岸下游某处B点，AB之间的距离为150米。此人在水中的游泳速度为1.2米/秒，在岸上奔跑的速度为5米/秒。如果此人要用最短的时间过河，则他从A点到B点需用时 秒；如果此人要用最短的路程到达B点，则他从A点到B点的路程为 米。 【真题剖析3】．（2022八年级上·全国·竞赛）据统计，全国发生的车祸中有超过四分之一是超速引起的！为此，四川高管近年来加大了道路限速监控管理，一种是“定点测速”，即监测汽车在某点的车速：另一种是“区间测速”，就是计算出汽车在某一区同行驶的平均速度，如果超过了该路段的最高限速，即被判为超速，若监测点A、B相距18km，全程限速120km/h，一辆轿车通过监测点A、B的速度分别为100km/h和110km/h通过两个监测点的时间如图所示。 （1）采用“区间测速”，这辆轿车在该路段会不会被判超速？（请通过计算进行说明） （2）停在公路旁的公安巡逻车定点测速时，利用超声波可以监测车速：巡逻车上测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，就能测出车速。在图（b）中，P1、P2是测速仪先后发出的超声波信号，n1、m2分别是测速仪检测到的P1、P2经反射后的信号。设测速仪匀速扫描，P1与P2之间的时间间隔为0.9s，超声波在空气中传播的速度为340m/s，假设被测汽车沿直线匀速行驶。求： ①第一次检测到超声波信号时声音传播的路程？ ②汽车行驶速度？ 【真题剖析4】．（2022九年级上·江苏·竞赛）商场中有一自动扶梯，某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时，数得走了16级，当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了48级，则静止时自动扶梯露出的级数为多少？ 1．（2007九年级·上海·竞赛）有一把在0℃准确的钢直尺，用它在20℃环境中测量甲铜棒的长度得l1=1米，在-20℃环境中测量乙铜棒长度得l2=1米，设0℃时甲乙两棒的长度分别为、，则正确的判断是（  ） A．<1米，<1米 B．>1米，<1米 C．<1米，>1米 D．>1米，>1米 2．（2007九年级·上海·竞赛）把带有滴墨水器的小车，放在水平桌面上的纸带上，小车每隔相等时间滴一滴墨水当小车向左作直线运动时，在纸带上留下了一系列墨水滴，分布如图所示设小车滴墨水时间间隔为t，那么研究小车从图中第一滴墨水至最后一滴墨水运动过程中，下列说法中正确的是（　　） A．小车的速度是逐渐增大的 B．小车运动的时间是7t C．小车前一半时间内的平均速度较全程的平均速度大 D．小车在任一时间间隔t内的平均速度都比全程的平均速度小 3．（2007九年级·上海·竞赛）如图所示，甲、乙两人从水速恒定的河岸a、b处同时下水游泳，a处在b处的下游位置，甲游得比乙快，要在河中尽快相遇，甲、乙两人游泳方向应为（　　） A．都沿方向 B．都沿偏向下游方向 C．都沿偏向上游方向，甲的偏角更大 D．都沿偏向上游方向，乙的偏角更大 4．（2016九年级·上海·竞赛）如图所示，实验室内有工宽度d=12cm的跑道。假设有一连串半径r=5cm的机器人在跑道上沿一直线鱼贯驶过，速度均为v=2cm/s，相邻机器人中心之间的距离为a=26cm。某智能机器人（不考虑大小）用最小的速度沿一直线匀速安全穿越此跑道（不与任何机器人相撞）的时间为（　　） A．6s B．12s C．14.4s D．16.9s 5．（2010九年级·上海·竞赛）一条河道被一行窄而浅的沙石隔成两条流速不同的支流。船从岸边A点开始渡河到对岸，船相对水的速度大小始终不变。已知船渡河的最短路径如图所示，船最终到达了对岸B点。船先后渡过两条支流的时间恰好相等，且α=53°，β=37°。则两条支流的水速之比v1︰v2= ；两条支流的宽度之比d1︰d2= 。 6．（2007九年级·上海·竞赛）长度为300米的油轮在大海中匀速直线行驶，小汽艇从油轮的船尾匀速驶向船头再返回船尾，速度始终保持90千米/时，所用时间为37.5秒，则油轮的速度为 千米/时。 7．（2007九年级·上海·竞赛）火车、飞机、赛车在起动或制动过程中的运动通常是变速直线运动。人们设法测得了它们在起动或制动过程中各个不同时刻的速度，如下列各表所示： 表A火车在起动过程中各时刻的速度（从火车起动时开始计时） 时间（秒） 0 5 10 15 20 25 速度（米/秒） 0 1 2 3 4 5 表B飞机在起动过程中各时刻的速度（从飞机起动一段时间后开始计时） 时间（秒） 0 5 10 15 20 25 速度（米/秒） 10 25 40 55 70 85 表C赛车在制动过程中各时刻的速度（从赛车制动时开始计时） 时间（秒） 0 1 2 3 4 5 速度（米/秒） 25 20 15 10 5 0 请你认真比较和分析上述表格所提供的有关数据，并完成下列填空： (1)火车在起动过程中的速度随时间变化的特点（定量关系）可初步归纳为 ；飞机在起动过程中的速度随时间变化的特点（定量关系）可初步归纳为 ；赛车在制动过程中的速度随时间变化的特点（定量关系）可初步归纳为 ； (2)如果对（1）中的火车、飞机、赛车在起动或制动过程中速度随时间变化的共同特点作进—步的归纳，可概括为：它们是一种 的运动； (3)如果要引入一个物理量来反映（2）中概括出的这类运动的共同特点，这个物理量应如何定义，它表示的物理意义是什么 ? 8．（15-16八年级·广西百色·阶段练习）小明在“测小车的平均速度”的实验中，设计了如图所示的实验装置：小车从带刻度分度值为1cm的斜面顶端由静止下滑，图中的时间是小车到达A、B、C三处时电子表的显示时刻： （1）该实验是根据公式 进行测量的。所用的测量工具是 和 ； （2）实验中为了方便计时，应使斜面坡度较 （填“陡”或“缓”）些； （3）请根据图中所给信息回答： SBC= cm，tBC= s，vAC= m/s； （4）比较速度大小：vAB vAC（选填＞，＜，=）。 9．（2019八年级下·湖南湘西·竞赛）在校运会1000m跑比赛中，甲、乙两位同学同时出发，甲同学在整个比赛过程做匀速运动。乙同学出发后，经过100s通过的路程为400m，此时他比甲同学落后100m。求甲同学跑完全程需要多长时间？ 10．（2011九年级·湖北黄冈·竞赛）相距3750m的甲、乙两车站之间有一条笔直的公路，每隔2min有一辆摩托车由甲站出发以20m/s的速度匀速开往乙站，每一辆摩托车在抵达乙站后都立即掉头以10m/s的速度匀速开回甲站．这样往返的车辆共有48辆；若在第一辆摩托车开出的同时，有一辆汽车由甲站出发匀速开始乙站，速度为15m/s，问汽车抵达乙站前最后将与从甲站开出的第几辆摩托车迎面相遇？相遇处距乙站多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$