精品解析：新疆阿克苏市实验中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

阿克苏市实验中学2023-2024学年第一学期高二年级第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知点，则=（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式计算即可. 【详解】由已知点的坐标应用两点间距离公式可得. 故选：B. 2. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 3. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 4. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算. 【详解】因为，所以, 即，则. 故选：C. 5. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 6. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 7. 正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 8. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断. 【详解】若，则需，即， 对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：ABC 10. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案. 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 不是平面的一个法向量 【答案】BD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误. 【详解】由为正方体， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则､. 对于选项，，则，故错误； 对于选项，，则，故正确； 对于选项，，故，故错误； 对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确. 故选：. 12. 棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 存在一点，使得 D. 二面角最小时，平面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据空间向量垂直的坐标系形式结合各选项中的条件分别计算后可判断各选项的正误. 【详解】在正方体中建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 对于A，设，故，,当时，的最小值为1，故A正确. 对于B，作点关于平面的对称点，则的最小值为,利用勾股定理计算可得，故B正确. 对于C，因为，,所以不存在一点，使得，故C错误. 对于D，设平面的法向量为，， 故，取，则，故， 又平面的法向量为， ，当时，， 此时二面角最小，此时，，即平面角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）： 13. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用面面角的向量求法，直接求解即得. 【详解】两平面的法向量分别为，， 则两个平面的夹角，有， 而，则，所以两平面的夹角为. 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面的距离为，即可得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为. 故答案为： 15. 在中，，，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由空间两点距离公式、勾股定理即可列方程求解. 【详解】， ， ， ，， ，解得． 故答案为：2. 16. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故答案为： 四､解答题（本大题共6小题，共70分）： 17. 已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. 【小问1详解】 由题意，，则； 【小问2详解】 由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点. （1）证明：； （2）证明：； 【答案】（1） 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故； （2） 证明： 故， 因此，故 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在直三棱柱中，，，，N为的中点. （1）求； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的运算律计算即可； （2）利用数量积的运算律得到，然后求夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 因为，，所以， . 【小问2详解】 ， 因为为直棱柱，所以，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 所则. 20. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） 由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 则， 所以， 所以， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 记直线与所成角为，则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 21. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知坐标确定点的坐标，求解平面的一个法向量，利用空间向量的坐标运算求解点到平面的距离； （2）利用空间向量的坐标运算确定线面关系从而得到两个平面的法向量，再根据空间向量的夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题可得，， ∴， 设平面的一个法向量为， ，令，可得， ∴，， 故点到平面的距离为； 【小问2详解】 由题可得平面，∴是平面的一个法向量， ∴， 又， ∴， 则是平面的一个法向量， ∴， 故， 则平面与平面夹角的余弦值为. 22. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取分别为线段的中点，连接， 在三棱柱中，平面是等边三角形， 所以， 又且是平面内两条相交直线 所以平面平面， 可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． ，设.可得 因为， 所以 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法证明线线垂直； （2）利用两点之间距离和二次函数最值解出答案； （3）利用空间向量法计算面面夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 令，根据二次函数的最小值可知， 当时，取最小值为， 所以的长的最小值为. 【小问3详解】 当的长取得最小值时，即，则 ， 设平面的法向量为，则 ，令，则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设二面角的平面角为，所以 ， 所以 二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏市实验中学2023-2024学年第一学期高二年级第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知点，则=（ ） A. B. C. D. 4 2. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 5. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 6. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 7. 正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 8. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 不是平面的一个法向量 12. 棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 存在一点，使得 D. 二面角最小时，平面角的正切值为 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）： 13. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为________. 14. 在空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为__________ 15. 在中，，，，，则__________． 16. 已知，则______. 四､解答题（本大题共6小题，共70分）： 17. 已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点. （1）证明：； （2）证明：； 19. 如图，在直三棱柱中，，，，N为的中点. （1）求； （2）求直线与所成角的余弦值. 20. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 21. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的余弦值. 22. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $