精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

牛栏山一中2024—2025学年度高二第一学期期中考试 数学试卷 2024.11 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若向量，，则向量与 A. 不共线 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不对 2. 直线的一个方向向量（ ） A. B. C. D. 3. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 7. 如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（ ） （1）关于原点对称； （2）只有两条对称轴； （3）曲线上点到原点最大距离是1； （4）曲线所围成图形的总面积小于； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 直线与直线之间的距离为__________. 12. 已知椭圆的一个焦点为，则__________. 13. 如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则___________（用，表示）. 14. 如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则__________. 15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______． ①点到原点的最大距离是4； ②若是等腰三角形，则其周长为10； ③点的轨迹是一个圆； ④的最大值是． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. （1）求出圆C的标准方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 17. 如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，. （1）求证：平面； （2）若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）. ①直接写出，的坐标； ②求异面直线与所成角的余弦值. 18. 在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. （1）求轨迹C的方程； （2）求斜率k的取值范围； （3）当时，求A，B两点坐标. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. （1）若为棱的中点，求证：直线平面； （2）若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 20. 已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. （1）求椭圆的方程； （2）P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 21. 设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牛栏山一中2024—2025学年度高二第一学期期中考试 数学试卷 2024.11 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若向量，，则向量与 A. 不共线 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系得解. 【详解】 ，所以向量与平行. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 2. 直线的一个方向向量（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】若直线斜率为，则为直线的一个方向向量，同时与向量平行的非零向量都是直线的方向向量，由此可确定选项. 【详解】由直线方程可得直线斜率，故直线的一个方向向量为. 由向量与向量平行，可知也是直线的方向向量. 故选：CD. 3. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求圆心关于直线的对称点，利用对称前后半径相等可得结果. 【详解】 圆的圆心为，半径. 设点关于直线的对称点为，则，解得，故，圆方程为. 故选：B. 5. 已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把椭圆的方程化为标准方程得，即可得到长轴长. 【详解】椭圆方程可化为，故，长轴长为4. 故选：A. 6. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算即可得解. 【详解】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 7. 如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，由此可确定，，的大小关系；或根据离心率的定义判断. 【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为， 由题意得，， 则，，， 由，得，，故. 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆， 由此可得. 故选：C. 8. 圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】d的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，分析圆心到直线距离的最小值即可得到结果. 【详解】由题意得，圆心，半径， 点和在变化过程中，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 圆心到直线的距离为， 由得，，故， 当时，. 故选：A. 9. 定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得到三个向量共面，找到不共面的三个向量即可. 【详解】由题意知，，三个向量共面， 则的一个充分条件即为三个向量不共面， 对于A，与共线，所以，，三个向量共面，故A错误； 对于B，由空间直角坐标系易知，，三个向量不共面，故B正确； 对于C，，所以，，三个向量共面，故C错误； 对于D，与共线，所以，，三个向量共面，故D错误. 故选：B. 10. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（ ） （1）关于原点对称； （2）只有两条对称轴； （3）曲线上点到原点最大距离是1； （4）曲线所围成图形的总面积小于； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于（1）（2），代入即可判断曲线的对称情况； 对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断； 对于（4），利用（3）中的结论容易判断. 【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确； 对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误； 对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确； 对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且显然是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确； 综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个. 故选：C. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 直线与直线之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直线方程化为一般式，利用两平行线间距离公式可得. 【详解】两直线方程化成一般式得：，距离为：. 故答案为： 12. 已知椭圆的一个焦点为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴知与的值，从而求得参数值. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以，，则，. 故答案为：. 13. 如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则___________（用，表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解． 【详解】因为， 所以， 故答案为：． 14. 如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果. 【详解】 设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，. 由图形对称得，. 由椭圆定义得，，故， 所以. 故答案为：15. 15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______． ①点到原点的最大距离是4； ②若是等腰三角形，则其周长为10； ③点的轨迹是一个圆； ④的最大值是． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用求轨迹方程的方法求出点的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点到原点的最大距离，再根据几何关系确定的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出的最大值. 【详解】设由中点坐标公式得, 所以,因为在圆上, 所以,即,即, 所以点的轨迹是一个圆,方程为, 是以为圆心,为半径的圆, 所以点到原点的最大距离是,故①错误； 因为，所以, 若为等腰三角形，若,则, 此时三点共线，不满足题意， 若,则,满足题意， 所以的周长等于，故②正确； 由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为, 所以③正确； 设，当时，，不是最大角， 不为时，中， , 当且仅当,即时取得等号， 所以，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. （1）求出圆C的标准方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程； （2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 圆的圆心在y轴上且与切于点， 可设圆心坐标为，则，解得，. 所以圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由直线l过点且被圆C截得的弦长为， 根据圆的弦长公式，可得，即，解得， 当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件； 当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 17. 如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，. （1）求证：平面； （2）若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）. ①直接写出，的坐标； ②求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：在菱形中，，又，， 所以平面，平面，所以， 侧面为菱形，对角线，相交于O， 所以O为的中点，因为，所以， 又，所以平面. （2）①，；②. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到，又，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量，，然后求其夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，所以，，， 所以，又，所以为等边三角形， 所以，的中点为D，， 所以，，，，，， 故，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为：. 18. 在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. （1）求轨迹C的方程； （2）求斜率k的取值范围； （3）当时，求A，B两点坐标. 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得到点P的轨迹为以为焦点的椭圆，求出，得到轨迹方程； （2）l的方程为，联立椭圆方程，由根的判别式得到不等式，求出k的取值范围； （3）时，，联立，求出交点坐标，得到答案. 【小问1详解】 设，则， 所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆， 其中，故， 故轨迹C的方程为； 【小问2详解】 过点且斜率为k的直线l的方程为， 联立与得，， ，解得或， 故斜率k的取值范围是或； 【小问3详解】 时，，联立得， ，解得或， 当时，，当时，， 故或. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. （1）若为棱的中点，求证：直线平面； （2）若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连结，， 因为为的中点，所以，， 由，得， 又，所以，， 则四边形为平行四边形，有， 又平面，平面，故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连结，，根据三角形中位线的性质，得出，，结合条件，可证出四边形为平行四边形，得出，最后根据线面平行的判定定理，即可证明直线平面； （2）建立空间直角坐标系，设，由图可知底面的法向量，求出平面的法向量，利用已知的二面角，求出，得出的坐标，再利用空间向量求线面角的公式，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，由已知得，设， 以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 易知底面的一个法向量为， 由于二面角的大小为， 所以， 解得或（舍去），则， 设直线与底面所成的角为， 则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 20. 已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. （1）求椭圆的方程； （2）P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 【答案】（1） （2） ①设，所以，则， 由（1）可得，， 则直线的方程为， 令，解得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 所以， 所以为定值1； ②由①知直线的方程为， 令，得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 又， 所以的中点， 又， 所以圆的半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 令，得 ， 所以， 故以线段为直径的圆经过定点. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）①设，求得直线的方程为，直线的方程，进而求得点的坐标，可求得为定值； ②求得以线段为直径的圆的方程，令求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所心椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：重点在于求得以线段为直径的圆，利用对称性可知令，可求定点坐标. 21. 设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 【答案】（1）， （2）4 （3） 由题可知，，记为集合中的元素个数， 则为数表第列之和． 因为是数表第行之和， 所以． 因为，所以． 所以． 当， 时， ， ． 所以的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据和即可求解， （2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解， （3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解. 【小问1详解】 根据和可得，故， 【小问2详解】 设使得， 则，所以． 所以至少有3个元素个数相同的非空子集． 当时，，其非空子集只有自身，不符题意． 当时，，其非空子集只有，不符题意． 当时，，元素个数为1的非空子集有， 元素个数为2的非空子集有． 当时，，不符题意． 当时，，不符题意． 当时，，令， 则，． 所以的最小值为 【小问3详解】 略 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $