精品解析：广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二上学期第二阶段考试（11月）数学试题

潮阳一中明光学校2024-2025学年度 第一学期第二阶段考试高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时问为120分钟． 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号完整填写在答题卷上． 2．考生务必将第II卷（非选择题）的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 3．考试结束后，答题卷收回． 第I卷 选择题（共73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合或，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，结合集合并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合或，可得， 又由，所以. 故选：C. 2. 设，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，即可求得其在复平面内对应点的坐标，即可得答案. 【详解】由题意得， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论. 【详解】因为，， 所以． 故选：C 4. 两圆和的位置关系是 A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交. 【详解】由题意可得两圆方程为：和 则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和 则圆心距： 则 两圆相交 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题. 5. 圆与圆的公共弦长为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离， 因此，公共弦长为.选C 6. 已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆焦点坐标，结合椭圆离心率公式，以及椭圆中之间的关系进行求解即可. 【详解】因为椭圆一个焦点，所以椭圆的焦点在横轴上，且 ， 又因为该椭圆的离心率为，所以有， 所以，因此椭圆的方程为：， 故选：D 7. 已知条件p： ，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由命题q可得出 ，进而结合充分不必要条件的概念即可判断. 【详解】条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，所以需要满足 ， 因为是 的真子集， 故p是q的充分不必要条件， 故选：A 8. 一入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得点关于直线l：的对称点的坐标，可得的方程，即反射光线所在直线方程. 【详解】解：因为点关于l：的对称点为， 所以反射光线的方程为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线在 轴上的截距为 B. 直线的倾斜角为 C. ，，三点共线 D. 过点且在 轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】结合直线截距的意义、直线倾斜角和斜率的概念以及平面共线向量的运算依次判断选项即可. 【详解】A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误； B：，所以直线的斜率为， 则倾斜角，故B正确； C：由可得， 所以，A、B、C三点共线，故C正确； D：过点且在x、y轴截距相等的直线方程为或，故D错误. 故选：BC 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【详解】对于选项，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则错误； 对于选项，，当且仅当时取等号，则正确； 对于选项，，当且仅当时取等号，即，则错误； 对于选项， ，即，当且仅当时取等号，则正确． 故选： ． 11. 已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB与OM垂直 B. 若点M的坐标为，则直线AB的方程为 C. 若直线AB的方程为 ，则点M的坐标为 D. 若直线AB的方程为 ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的中点弦的性质可知，依此将各个选项的坐标及方程代入即可判断正误. 【详解】对于A，根据椭圆的中点弦的性质知，，所以A不正确； 对于B，，根据，知，所以直线AB的方程为，即，所以B正确； 对于C，，由，得，所以C不正确； 对于D，若直线AB的方程为 ，与椭圆方程联立，得，整理得，解得或，所以，所以D正确． 故选：BD． 椭圆的中点弦的性质总结：设为椭圆弦AB（AB不平行于y轴）的中点，O为坐标原点，则． 证明：设，，则，且，，两式相减得，，整理得，因为是弦AB的中点，所以，所以． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，牢记相关结论，对快速解题有帮助. 第II卷 非选择题 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．请把正确答案写在答案卷上，写在试卷无效） 12. 已知函数，，（ ，且 ）．则函数是____________函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）． 【答案】奇 【解析】 【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性即可. 【详解】由题设，其定义域为， 由， 所以是奇函数. 故答案为：奇 13. 已知圆，为过点 的动直线，若与圆相切，则直线的倾斜角为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设 ，根据直线与圆相切，利用点线距离公式列方程求直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】由题设，若与圆相切，的斜率必存在，设 ， 又圆的圆心，半径，则，可得， 所以直线的倾斜角为或. 故答案为：或 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．若 的周长为16，则椭圆方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义和焦点三角形的周长得，再由离心率及椭圆参数关系求椭圆方程. 【详解】由题设，则， 所以，又，则 ，可得，故椭圆方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、请把正确答案写在答案卷上，写在试卷无效） 15. 已知函数， . （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简再由周期公式计算可得答案； （2）根据当的范围可得，再计算出可得答案. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 当 时， ， 所以， 所以 ， 所以在区间上的最大值为和最小值. 16. 已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【分析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l (2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l 【详解】（1）由，得， ∴与的交点为. 设与直线平行的直线为， 则，∴ . ∴所求直线方程为 . （2）设与直线垂直的直线为， 则，解得 ． ∴所求直线方程为. 【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1． 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在内的受访职工中，数据抽取2人，求此2人评分都在内的概率. 【答案】（1）0.006 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1，可计算； （2）求解频率分布直方图中不低于80分的两个矩形的面积和，即得解； （3）列举法可得从这5名受访职工中随机抽取2人所有的可能结果有10种，2人评分都在包含的基本事件有共3个，利用古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得： ， 解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图，得： 50名受访职工评分不低于80分的频率为：， 故该企业职工对该部门评分不低于80分的概率的估计值为0.4； 【小问3详解】 受访职工中评分在的有：人，记为. 受访职工中评分在的有：人，记为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为： ， 此2人评分都在包含的基本事件有共三个， 故从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率. 18. 已知以点C为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，得出圆心为的垂直平分线和直线的交点，进而求解圆心坐标和半径，即可得出圆的方程；（2）由（1）中得出，圆心到的距离为，得出到距离的最大值，得到的面积的最大值. 试题解析：（1）依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点， 中点为斜率为，垂直平分线方程为，即 ． 联立解得 即圆心，半径， 所求圆方程为． （2），圆心到的距离为 ， 到距离的最大值为， 所以面积的最大值为 考点：圆的标准方程；圆的最值问题． 【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程的求解、与圆有关的最值问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积公式和点与圆的最值问题等知识点的考查，其中把三角形面积的最值转化为圆的最值是解答的关键，着重考查了学生的转化与化归思想和方程思想，属于中档试题． 19. 如图，边长为2的等边 所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点. （1）证明： ； （2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小； （3）求点D到平面AMP的距离. 【答案】（1）证明如下： 等边 所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， 以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分） 依题意，可得，，，， ， ， ， 即， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴，为 轴，过作平面的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 ； （2）求出平面的法向量和平面 的法向量，利用向量法能求出平面 与平面夹角的大小； （3）求出平面 的法向量，利用向量法能求出点到平面 的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面PAM的法向量， 则，即， 取，得， 取，显然为平面ABCD的一个法向量， ⟨⟩， 故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为； 【小问3详解】 设点D到平面AMP的距离为d， 由可知与平面PAM垂直， 则， 即点D到平面AMP的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳一中明光学校2024-2025学年度 第一学期第二阶段考试高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时问为120分钟． 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号完整填写在答题卷上． 2．考生务必将第II卷（非选择题）的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 3．考试结束后，答题卷收回． 第I卷 选择题（共73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合或，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在空间四边形中，设 ，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 两圆和的位置关系是 A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 5. 圆与圆的公共弦长为 A. B. C. D. 6. 已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知条件p： ，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 8. 一入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的倾斜角为 C. ，，三点共线 D. 过点且在 轴上的截距相等的直线方程为 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB与OM垂直 B. 若点M的坐标为，则直线AB的方程为 C. 若直线AB的方程为 ，则点M的坐标为 D. 若直线AB的方程为 ，则 第II卷 非选择题 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．请把正确答案写在答案卷上，写在试卷无效） 12. 已知函数，，（ ，且 ）．则函数是____________函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）． 13. 已知圆，为过点 的动直线，若与圆相切，则直线的倾斜角为____________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．若 的周长为16，则椭圆方程为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、请把正确答案写在答案卷上，写在试卷无效） 15. 已知函数， . （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在内的受访职工中，数据抽取2人，求此2人评分都在内的概率. 18. 已知以点C为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值. 19. 如图，边长为2的等边 所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点. （1）证明： ； （2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小； （3）求点D到平面AMP的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $