精品解析：浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意，直线的斜率, 设直线的倾斜角为，且,, 所以. 故选：C. 2. 已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程直接求解即可. 【详解】由题意，椭圆,, 所以,故短轴长为. 故选：B. 3. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 4. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 5. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为, 因为直线关于直线对称， 则直线与直线垂直， 所以直线的方程为，即， 由解得，， 所以点的坐标为. 故选：D. 6. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 8. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，球心为，半径为，结合题意可得，进而得到，再结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD，又四边形ABCD为矩形， 以为原点，以所在直线为轴，以过点平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 则，，， 设，三棱锥外接球球心为，半径为， 则，解得， 即， 因为，所以， 则当时，取得最小值， 当时，取得最大值3，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立空间直角坐标系，设出坐标，表示出外接球半径的关系，进而结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点在圆内， 当时，取得最小值，此时直线,但是直线不能表示直线,所以C不正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】 由椭圆的定义可得，， 且，， 所以的周长为. 故答案为： 13. 平面直角坐标系中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线平行于另一条渐近线，则圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，，，圆与双曲线在处的切线重合，进而结合双曲线在处的切线方程为，可得，进而得到，再求出，进而求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 如图所示，圆心在双曲线的一条渐近线上，则, 因为直线平行于另外一条渐近线，所以， 又圆与双曲线有唯一公共点， 则圆与双曲线在处的切线重合， 而双曲线在处的切线方程为，即， 则，即， 则，解得，即， 即圆的半径, 所以圆的方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出圆与双曲线在处的切线重合，进而结合双曲线在处的切线方程为求出，进而求出，进而求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知圆和圆外一点 （1）求的取值范围 （2）若，过点作圆的切线，求切线方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程表示圆及点在圆外，列不等式即可求解. （2）根据条件求及圆的标准方程.讨论切线斜率是否存在两种情况，当斜率不存在时,可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 根据题意：， 点在圆外，则， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，且， 所以. 则圆的方程为： 当不存在时，直线，满足题意， 当存在时，设切线方程为 因为， 所以， 所以切线方程为， 综上，切线方程为：或. 15. 如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面， （1）证明：平面平面 （2）求直线与平面所成角的大小 【答案】（1）证明：不妨设，则， 由余弦定理得， 四边形是平行四边形， 平面， 又，平面，平面， 又平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，进而可得，，利用线线垂直可得线面垂直，从而可证结论； （2）法1：延长线段交于点，过点作交于点，过点作平面于点，可得为直线与平面所成的角，求解即可. 法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与直线的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：延长线段交于点，过点作交于点， 由（1）知，平面平面，平面平面平面， 平面平面平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 在Rt中，， 过点作平面于点，则为直线与平面所成的角， ，，即， 所以与平面所成的角为. 法2：由（1）可知两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面的法向量为 则令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成的角为. 16. 在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点. （1）求曲线的方程 （2）若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到动点的轨迹是焦点在轴的椭圆求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据分别是BF，AB的中点，得到，利用比例关系得到，再结合韦达定理求解. 【小问1详解】 解：由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆， 所以 即， 所以轨迹方程为； 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：， 由， 设， 由韦达定理可得：①， 分别是BF，AB的中点， ， ②， 由①②可得， 所以直线的方程为：. 17. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 【答案】（1） 法1：因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 法2：因为为正三角形，点为BC中点，， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为， 所以，则， 因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， 所以， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得，由线面垂直的性质得，则得平面，再证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在中求出，在中求出，从而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可证得结论； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，然后利用空间向量求解即可； （3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，设，由表示出，从而可表示出，进而可求出其最小值；法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，可得点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，从而可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴， 则 ， 设平面PAC的法向量为，则 ，令，则法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面PAC与平面ACF夹角为， 则， 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为； 【小问3详解】 法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，则， 设 ， ， 令 则， 在上单调递减，上单调递增 当时，， 法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为， 且平面， 点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧， 由（1）可知，，相交圆半径， 点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 18. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】（1） 右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. 【小问3详解】 ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 4. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______. 13. 平面直角坐标系中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线平行于另一条渐近线，则圆的方程为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知圆和圆外一点 （1）求的取值范围 （2）若，过点作圆的切线，求切线方程 15. 如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面， （1）证明：平面平面 （2）求直线与平面所成角的大小 16. 在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点. （1）求曲线的方程 （2）若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程 17. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 18. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $