精品解析：山东省潍坊市安丘市潍坊国开中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

潍坊国开中学2024年10月份月考检测 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则恒成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 三.填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则实数的值为__________. 13. 设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是______. 14. 已知定义在上的函数满足，若，则______. 四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若集合A为空集，求实数m的取值范围： （2）当时，若“”是“”的必要不充分条件，求实数n的取值范围. 16. 数列的前n项和为，且. （1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式； （2）令，数列的前n项和为.求证：. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”． （1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记． ①求数列的前项和； ②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论； （2）设项正数数列是“凸数列”，求证：，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊国开中学2024年10月份月考检测 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解绝对值不等式和一元二次不等式运算即可． 【详解】由题，，，所以． 故选：B． 2. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合，根据求得实数的取值范围. 【详解】， 由于，， 所以. 故选：B 3. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出a、b的值，再求不等式的解集. 【详解】解：不等式的解集是， 所以方程的根是和，且； 由根与系数的关系，知，解得，； 所以不等式化为， 即，解得. 所以不等式的解集是. 故选：A. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，属于基础题. 4. 若，则恒成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将恒成立问题转化成最值问题，接着结合基本不等式求出最值，再结合充分条件定义即可得解. 【详解】因为恒成立，所以， 又因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，所以， 所以恒成立的一个充分条件即为恒成立的一个充分条件， 所以选项中只有是恒成立的一个充分条件. 故选：B. 5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 6. 已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得. 【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以. 故选：B 7. 数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数的周期，再结合偶函数的性质及已知函数计算即得. 【详解】由，得，则是以4为周期的周期函数， 又函数是定义在R上的偶函数，当时，， 所以． 故选：C 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件； 对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件. 故选：BCD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可判断是的两个实数根，且，判断A；利用根与系数的关系推出，即可求解以及的解集，判断B，D；由题意推出的解集为，将代入，判断C. 【详解】由题意关于的不等式的解集为， 故是的两个实数根，且，A正确； 由上述可得，即， 故，即，即， 故不等式的解集是，B错误； 由于的解集为， 故的解集为，则时，，C错误； 不等式即，即， 则或，即解集为，D正确， 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即函数关于对称， 故函数不是奇函数，故选项A错误，选项C正确； 由函数关于对称知， 又因为为偶函数，所以，即函数关于对称， 则，所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 所以，又，所以， 所以，所以，故选项B正确； 对任意的，且，都有， 所以函数在上单调递增， 又，所以， 所以，故选项D正确. 故选：BCD 三.填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，且， 当时，可得，即，方程无解； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 13. 设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由知，，，故，得，故①正确； 取，满足，但，不满足，故②错误； 由指数函数单调递增可知，，则，故③正确； 由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确. 故答案为：①③④. 14. 已知定义在上的函数满足，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，得 令，得； 故答案为：2 四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若集合A为空集，求实数m的取值范围： （2）当时，若“”是“”的必要不充分条件，求实数n的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）集合A为空集，即，计算即可得解； （2）“”是“”的必要不充分条件，即B是A的真子集，计算即可得出结果. 【详解】解：（1）因为集合A为空集，所以， 解得，即实数m的取值范围是. （2）当时，， 因为， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 所以，解得，故实数n的取值范围是. 16. 数列的前n项和为，且. （1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式； （2）令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【小问1详解】 因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； 【小问2详解】 由（1）知， 故， 因，，故得. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直； （2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以， 由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”． （1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记． ①求数列的前项和； ②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论； （2）设项正数数列是“凸数列”，求证：，， 【答案】（1）①；②是“凸数列”，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的通项公式再应用错位相减即可求解； （2）应用数列新定义即可得证； （3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 ①设的公比为，的公差为， 由题意可得解得或（舍去），， 因此，．故， 从而，（i） ，（ii） （i）－（ii）得，， 即． ②由①，， 所以， 故数列是“凸数列”． 【小问2详解】 记，则原不等式等价于 ， 即， 因而只需证明， 因为，所以， 故， 而 ， 从而， 即，结论得证. 【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $