精品解析：河南省郑州市中原区郑州外国语中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

九年级数学学科期中试题 时间：100分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 关于 的一元二次方程，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. B. 7，1 C. 7，5 D. 7， 3. 下列各组线段中，成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边 交于点 ．图2中，四分仪为正方形 ．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得 为2， 为1，实地测得 为5．则井深为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在四边形 中，E、F、G、H分别是边 、 、 、 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 ．若要使四边形 是菱形，则原四边形 必须满足条件（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升 ，加热到 ，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热，若水温在 时接通电源，水温 与通电时间 之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从 加热到 ，需要4min B. 水温下降过程中， 与 的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 一元二次方程的较小的根是_____． 12. “四大名著”《红楼梦》《水游传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是_____． 13. 如图，正比例函数 与反比例函数的图象相交于 ， 两点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，连接 ，若 的面积为8，则 的值为_____． 14. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接，，若菱形 的面积为48，则 的长为_____． 15. 已知，在平面直角坐标系 中，直线与 轴、 轴相交于A、 两点，且点 的坐标为，连接 ，与 轴相交于点 ，点 在 轴上，如果 和 相似，则点 的坐标为_____． 二．解答题（共8题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得 第三步 任务： ①小冯的解法从第______步开始出现错误； ②此题的正确结果是______； ③用因式分解法解方程． 17. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ； （2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出 的一个位似，使它与 的相似比为； （2）将 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 已知关于 的方程． （1）若此方程的一个根为 ，求 的值； （2）求证：无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 20. 综合与实践： 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近 ， ， ， ， 五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 数据整理： （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系． 答：________________________________________________． 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，要想每天获得元的利润，应如何定价？ 21. 如图，在中，点 ， 分别在边 ， 上， 与 交于点 ，且 垂直平分 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，，，求四边形 的面积． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与 轴， 轴分别交于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）观察图象直接写出时 的取值范围； （3）在反比例函数图象上有一点 ，使得，求点 的坐标． 23. 如图，在矩形 中，，点 从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿 方向运动，点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿对角线 方向运动，已知 两点同时出发，当点 到达点 时， 两点同时停止运动，连接 ，设运动时间为 秒． （1）______，______． （2）当 为何值时， 的面积为； （3）在运动过程中，是否存在一个时刻 ，使所得 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． （4）当点 关于点 的对称点落在 的内部（不包括边上）时，请求出 的取值范围．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科期中试题 时间：100分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到． 2. 关于 的一元二次方程，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. B. 7，1 C. 7，5 D. 7， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，的二次项系数和一次项系数分别为 ，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴它的二次项系数和一次项系数分别为7， ， 故选：D 3. 下列各组线段中，成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意； B、由于，所以不成比例，不符合题意； C、由于，所以不成比例，不符合题意； D、由于，所以成比例，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 4. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在 左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故选：A． 5. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出k的值，再根据同一个反比例函数图象上的点，横纵坐标的积都等于k，对所给选项依次进行判断即可，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边 交于点 ．图2中，四分仪为正方形 ．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得 为2， 为1，实地测得 为5．则井深为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意， ， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得 为 ， 为 ，实地测得 为 ． ∴ 解得：， ∴； 故选：B． 9. 如图，在四边形 中，E、F、G、H分别是边 、 、 、 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 ．若要使四边形 是菱形，则原四边形 必须满足条件（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理等知识点，首先利用三角形的中位线定理证得四边形 为平行四边形，再由 得，然后由邻边相等的平行四边形是菱形判定即可，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定是解决此题的关键． 【详解】∵点E、F、G、H分别是边 、 、 、 的中点， ∴ ，， ∴， 同理， ∴四边形 是平行四边形， 当对角线 时，如图所示， ∴， ∴四边形 是菱形， 故选：A． 10. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升 ，加热到 ，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热，若水温在 时接通电源，水温 与通电时间 之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从 加热到 ，需要4min B. 水温下降过程中， 与 的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升 ， ∴水温从 加热到 ，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 一元二次方程的较小的根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程等知识点，用因式分解法求出该方程的解，然后比较大小即可，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴或 ， ∴， ， ∵， ∴较小的根是 ， 故答案为： ． 12. “四大名著”《红楼梦》《水游传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率及概率公式等知识点，列表可得出所有等可能的结果数以及其中有一本是《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】把《红楼梦》，《水浒传》，《三国演义》，《西游记》四本书分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中有一本是《西游记》的结果有：，，，，，，共6种， ∴其中有一本是《西游记》的概率是， 故答案为：． 13. 如图，正比例函数 与反比例函数的图象相交于 ， 两点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，连接 ，若 的面积为8，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中 的几何意义，首先根据反比例函数中 的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出 的值． 【详解】解：由反比例函数中 的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ∵， ． 故答案为：8． 14. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接，，若菱形 的面积为48，则 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得， ， ，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，进而由菱形的面积求出，则，然后由勾股定理求出 的长即可，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴， ， ， ∵ ， ∴， ∴，， ∵菱形 的面积， ∴， ∴， ∴， 在 中，由勾股定理得：， 故答案为：． 15. 已知，在平面直角坐标系 中，直线与 轴、 轴相交于A、 两点，且点 的坐标为，连接 ，与 轴相交于点 ，点 在 轴上，如果 和 相似，则点 的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先由一次函数的性质得；勾股定理得，，再设直线 的解析式为，运用待定系数法解出直线 的解析式为，证明，再进行分类讨论，依据两边成比例列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与 轴、 轴相交于 、 两点， ∴当 时，则； 当 时，则 ； ∴； ∴， ∵点 的坐标为， ∴， ∴设直线 的解析式为， 把代入 ， 得， 解得， ∴直线 的解析式为； ∵连接 ，与 轴相交于点 ， ∴当 时，则 ； ∴， ∴，， 当点 在 轴正半轴上时， ∴设， ∵， ∴， ∴当时，如图： ∴， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时， ∴， 则， ∴； 当点 在 轴负半轴上时， ，，而， ∴， ∴ ， 不相似； 综上：点 的坐标为或， 故答案为：故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式与图象性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二．解答题（共8题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得 第三步 任务： ①小冯的解法从第______步开始出现错误； ②此题的正确结果是______； ③用因式分解法解方程． 【答案】（1） ， （2）①一；②，；③， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程等知识点， （1）运用配方法求解即可； （2）①在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一处开始出错，②运用因式分解法求解即可，③根据题意要求运用因式分解法求解即可； 熟练掌握方程的各种解法是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ∴ ，； 【小问2详解】 解：①在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一步开始出错； 故答案为：一； ②移项，得， 因式分解，得， ∴， ， 解得，， 故答案为：，； ③移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，． 17. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ； （2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率， （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画出所有等可能的结果数以及妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意有4个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个， ∴妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种， 妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出 的一个位似，使它与 的相似比为； （2）将 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为 ． 19. 已知关于 的方程． （1）若此方程的一个根为 ，求 的值； （2）求证：无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，进行解答，即可． （1）根据此方程的一个根为 ，把 代入，解出 ，即可； （2）根据方程都有两个不相等的实数根，则验证，即可． 【小问1详解】 解：∵此方程的一个根为 ， ∴ 代入， ∴， 解得：． 【小问2详解】 证明，如下： ∵关于 的方程为， ∴ ， ， ， ， ∵无论 为何值，； ∴， ∴无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 20. 综合与实践： 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近 ， ， ， ， 五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 数据整理： （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系． 答：________________________________________________． 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，要想每天获得元的利润，应如何定价？ 【答案】（1）见解析；（2）设销售量为 盆，售价为 元，；（3）定价为 元或 元． 【解析】 【分析】（1）根据销售单价从小到大对应排列即可； （2）观察表格可知销售量是售价的一次函数，设销售量为 盆，售价为 元， ，把，代入求出完整解析式即可； （3）设定价为 元，根据每天获得元的利润、（2）中日销售量与售价间的关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表： 售价（元/盆） 日销售量（盆） （2）观察表格可知销售量是售价的一次函数； 设销售量为 盆，售价为 元， ， 把，代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：设销售量为 盆，售价为 元，； （3）设定价为 元， ∵每天获得元的利润， ∴， 解得：或， ∴要想每天获得元的利润，定价为 元或 元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一次函数的实际应用．从表格中获取信息、正确求出一次函数、列出一元二次方程求解，是解题的关键． 21. 如图，在中，点 ， 分别在边 ， 上， 与 交于点 ，且 垂直平分 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，，，求四边形 的面积． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 【解析】 【分析】（1）证明得 ，再证明四边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证明，则，，然后由勾股定理得，则，即可解决问题． 【小问1详解】 ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴， ∵ 垂直平分 ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形 是菱形； 【小问2详解】 由（1）可知， ，四边形 是菱形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形 的面积． 【点晴】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与 轴， 轴分别交于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）观察图象直接写出时 的取值范围； （3）在反比例函数图象上有一点 ，使得，求点 的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点 坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点 坐标代入反比例函数解析式，求出 ，再将点 坐标代入反比例函数解析式，求出点 坐标，最后将 ， 两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数在一次函数图象的下方，即可解决问题； （3）先求解 的面积为 ，再根据与 的面积关系，建立方程可求出点 的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴ ， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点 的坐标为． 将点 和点 的坐标代入 得， ， 解得， 一次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或 ． 【小问3详解】 解：将 代入 得， ， 点 的坐标为， ， ． 将 代入 得， ， 点 的坐标为， ， 解得． ∴， 将代入得，， 将代入得，， 点 坐标为或． 23. 如图，在矩形 中，，点 从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿 方向运动，点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿对角线 方向运动，已知 两点同时出发，当点 到达点 时， 两点同时停止运动，连接 ，设运动时间为 秒． （1）______，______． （2）当 为何值时， 的面积为； （3）在运动过程中，是否存在一个时刻 ，使所得 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． （4）当点 关于点 的对称点落在 的内部（不包括边上）时，请求出 的取值范围．（直接写出答案） 【答案】（1）6，12 （2）1或2 （3）或2或． （4） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出 ，由含 角的直角三角形的性质得，结合勾股定理列式计算，解答即可； （2）结合运动情况得出，，根据面积公式列式，代入数值进行计算，即可作答． （3）分三种情况，当 沿 翻折时，当 沿 翻折时，当 沿 翻折时，再作图且结合菱形的性质，勾股定理列式计算，即可作答． （4）因为，，所以，再结合点 关于点 的对称点落在 的内部（不包括边上），且，列式，解得：．即可作答． 【小问1详解】 解： 四边形 是矩形， ， ，， ， ， ， ； ； 故答案为：6，12； 【小问2详解】 解：∵点 从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿 方向运动，点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿对角线 方向运动， ∴，， 过点 作于点 ， ， ，， ， 的面积为， ∴ ， ∴， 解得：， ， ∴当 为1或2时， 的面积为； 【小问3详解】 解：存在， 当 沿 翻折时， 翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， ， ， 解得：； 当 沿 翻折时， 翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， ， 过点 作于点 ，如图2， 则， ，， ， ， ， 解得：，， ∴， ， ； 当 沿 翻折时， 翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， ， 如图3，过点 作 于点 ， 则， ，， ， ， ， 解得：（舍去），； 综上所述，t的值为或2或． 【小问4详解】 解：解：∵，， ∴，， ∵点 关于点 的对称点落在 的内部（不包括边上），且 ∴， 解得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解不等式组，翻折性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $