精品解析：湖北省随州市随州市曾都区实验中学教联体联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

曾都区实中教联体2024-2025学年度上学期 九年级第二阶段数学独立作业质量检测 命题人：杨庆 作业时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题只要求） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 九年级某班在元旦假期之际，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，设全班有名学生，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 6. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三点可以作一个圆 B. 直径不是弦 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 7. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 8. 如图，已知点A，B，C在上．若，则等于（　　） A. 140° B. 120° C. 110° D. 70° 9. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，；则下列结论错误的是（） A. B. 若点，在抛物线上，则 C. D. 对任意实数，均成立 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 12. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 13. 正十二边形的每一个外角等于______度． 14. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别、边上的动点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则_____；的最小值为_____． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，使点C的对应点E恰好落在上，求线段的长． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 19. 如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．   （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 21. 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若十月份的销售利润是元，且让消费者获得最大实惠，求这个月的销售单价是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，；将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，求和的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点（不与、重合），当面积最大时，求点的点坐标及面积的最大值． （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都区实中教联体2024-2025学年度上学期 九年级第二阶段数学独立作业质量检测 命题人：杨庆 作业时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题只要求） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、是是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 故选：B． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 九年级某班在元旦假期之际，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，设全班有名学生，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全班有名学生，则每个同学都要给其他个同学都送一张卡片，再根据一共送了张卡片列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上，有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三点可以作一个圆 B. 直径不是弦 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系． 根据确定圆的条件，弦的定义，圆心角、弧、弦的关系关系逐项判断即可． 【详解】解：A．经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项说法错误，不符合题意； B．直径是弦，故B选项说法错误，不符合题意； C．等弧所对的圆心角相等，故C选项正确，符合题意； D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 7. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 8. 如图，已知点A，B，C在上．若，则等于（　　） A. 140° B. 120° C. 110° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴； 故选D． 9. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴， 故选：． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，；则下列结论错误的是（） A. B. 若点，在抛物线上，则 C. D. 对任意实数，均成立 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； 在抛物线上， ． 又， ． ，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对应任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意；． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 13. 正十二边形的每一个外角等于______度． 【答案】30 【解析】 【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【详解】解：∵多边形的外角和为360度， ∴正十二边形的每个外角度数为：． 故答案为：30． 14. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别、边上的动点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则_____；的最小值为_____． 【答案】 ①. 1 ②. 4 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案． 此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长， 由， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为4； 故答案为：1，4． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）利用配方法得出，再直接开平方即可得到答案； （2）把方程移项化为：，再利用因式分解的方法解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， 或 ， ，． 17. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，使点C的对应点E恰好落在上，求线段的长． 【答案】． 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由旋转的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ∵， ∴恒成立， 故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 代入可得： ， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 19. 如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．   （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】（1）这座石拱桥主桥拱的半径为 （2）此渔船不能顺利通过这座桥 【解析】 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 【小问2详解】 解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 21. 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，，如图所示 ，， 是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，，然后利用外角的性质，得到，推出，得到，结合，得到，得证； （2）先通过勾股定理求得，再证明，通过相似三角形对应边成比例，可得出的长度，从而推出半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是直径 的半径为 【点睛】本题考查了切线的证明，三角形相似的判定与性质，圆周角定理及其推论，三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若十月份的销售利润是元，且让消费者获得最大实惠，求这个月的销售单价是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数； （2）元； （3）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用． （1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围； （2）根据题意列方程解方程，再根据让消费者获得最大实惠即可得到答案； （3）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件 由题意得： 整理得： 由每件售价不能高于65元得：，即 又因x为正整数 则x的取值范围为：，且x为正整数 综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数； 【小问2详解】 由题意可得，， 解得， 则商品的售价为：元或元， ∵让消费者获得最大实惠， ∴这个月的销售单价是元； 【小问3详解】 的对称轴为直线： 则当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小 因x为正整数，则当时，，y取得最大值； 当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润 将代入得：，此时售价为 将代入得：，此时售价为 答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，；将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，求和的长． 【答案】 （1）①解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； ②，证明如下： 如图②所示，过点D作，垂足为H，则， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， （2）， 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于，根据勾股定理求出，可得，由（2）可得，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图①所示，作于， ∵四边形是正方形 ∴， 在中，∵，， ∴， ∴，则 ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点（不与、重合），当面积最大时，求点的点坐标及面积的最大值． （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有一个交点 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出点坐标，再将代入进行求解即可； （2）过点作于点，作轴交直线于点，交轴于点，证明为等腰直角三角形，得到，求出直线的解析式，令，则，求出的长，根据二次函数的性质求出最大值得到结果； （3）①将坐标表示出来，得到，根据题意分两种情况进行讨论即可； ②由题意求出，得到与对应的函数值相等，从而得到答案． 【小问1详解】 解：点的坐标为， ①， 令，则， ， ， ， ， ， ②， 由①②可得， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，作轴交直线于点，交轴于点， ， ， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为：， 将，代入， ，解得， ， 设点， ， ， 当时，有最大值，此时，且， ； 【小问3详解】 解：①由题意可知，， ， 当点在点右侧时，， 此时线段的长度随的增大而增大，不符合题意； 当点在点左侧时，， 此时线段的长度随的增大而减小， ， ； ②， 由①得 当重合时， 解得 的对称轴为直线 与对应的函数值相等， 时，有一个交点；时，有两个交点；时，有一个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $