精品解析：河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

CGSG2024——2025学年第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角． 【详解】解：直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 结合，，可得 故选：B． 2. 圆的圆心和半径长分别为（　　） A. ，16 B. ，4 C. ，4 D. ，16 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，进而可得圆心和半径. 【详解】由得， 故圆心为，半径长为4. 故选：C. 3. 正方体的棱长为a，，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底向量分别表示出，再根据向量减法以及向量的模的计算公式即可解出． 【详解】因为，所以，而N为的中点， 所以． 故． 故选：C． 4. 已知空间任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得， 而是空间任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 因此，即， 所以. 故选：B 5. 在棱长为1的正方体中，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，结合线面垂直的性质，求出斜边上的高即可. 【详解】在正方体中，连接， 由平面，平面，得， 因此点到的距离为斜边上的高， 而， 所以. 故选：C 6. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率和圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】圆的圆心为，且直线的斜率为， 因为直线与直线垂直，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：D. 7. 已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）. A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断. 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 8. 经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】按相等的截距是否为0分类，再结合直线方程的截距式求解. 【详解】当相等的截距都为0 时，直线方程为，即； 当相等的截距不为0时，设方程为，则，解得，方程为， 所以所求直线的方程为或. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】A将方程化为点斜式即可知所过定点；B令求截距；C由方程确定斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误. 【详解】A：由直线方程有，故必过，正确； B：令得，故在轴上的截距为－1，错误； C：由直线方程知：斜率为，则倾斜角为，错误； D：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入方程，故正确. 故选：AD 10. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断. 【详解】对于A，，则， 所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，即不垂直， 所以不成立，故C是假命题； 对于D，， 因为向量是平面的法向量，故， 即，故D是真命题， 故选：AD 11. 已知圆和圆交于、两点，下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆圆心距为 B. 两圆有两条公切线 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；利用两圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程作差可得出直线的方程，可判断C选项；利用几何法求出直线截圆的弦长，可判断D选项. 【详解】圆圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，，A错； 对于B选项，因为两圆相交，故两圆有两条公切线，B对； 对于C选项，将两圆方程作差得，即， 所以，直线的方程为，C对； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，，D错. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示计算即得. 【详解】向量，， 所以. 故答案为： 13. 已知直线与直线间的距离为，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可得出关于的方程，即可解出实数的值. 详解】由题意可知，直线与直线平行， 且直线的方程可化为， 由平行线间的距离公式可得，解得或. 故答案为：或. 14. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得和切线垂直，故切线的斜率为，故切线的方程为，即，故答案为． 考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点处的切线的方程．注意直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，即圆心到直线的距离等于半径，可以利用这个几何条件得出结论． 四、解答题（本大题共5大题，共77分） 15. 已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）判断该轨迹与圆的位置关系. 【答案】（1） （2）相交. 【解析】 【分析】（1）设点，表示出点的坐标，再利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）确定轨迹图形，再求出圆心距并判断位置关系. 【小问1详解】 设点，而点，且是线段中点，则， 又点在圆上，则，化简得， 所以点的轨迹方程是. 【小问2详解】 由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆， 圆的圆心，半径为5， ， 所以该轨迹与圆相交. 16. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，M，N分别为的中点． （1）求BN的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用向量模的坐标表示计算即得. （2）利用（1）中信息，利用线线角的向量方法求解即得. （3）利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，，M，N分别为的中点， 得，， 所以BN的长为. 【小问2详解】 由（1）得，， 因此， 所以与所成角的余弦值是. 【小问3详解】 由（1）得，， ， 即，因此， 而平面， 所以平面. 17. 已知直线过点且过直线和直线的交点，直线过一定点. （1）求直线的方程. （2）求，的值. （3）若，分别求点到直线和的距离. 【答案】（1） （2） （3）点到直线和的距离分别为， 【解析】 【分析】（1）先求出直线和直线交点，再求出直线的斜率为，进而根据点斜式写出方程即可； （2）整理直线的方程为，令，解出方程即可求解； （3）根据点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 联立，解得，即交点为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由， 即， 令，解得， 则直线过定点，即. 【小问3详解】 若，则， 又， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为. 18. 若方程为表示圆.点，在圆上， （1）求实数的取值范围. （2）求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. （3）求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1）或； （2）圆心，半径，； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【小问1详解】 由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. 【小问3详解】 线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 19. 如图，正四棱柱中，，，点在棱上且. （1）求证：； （2）求点到平面的距离. （3）求平面和平面的夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出，的坐标，通过计算数量积得结论； （2）求得平面的法向量及向量，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）求出平面的法向量，通过计算两平面的法向量的夹角得出结论． 【小问1详解】 证明：如图所示，建立空间直角坐标系： ，，，，， ，， 所以， ； 【小问2详解】 ，，， 即，又由（1）可得，且，平面， 平面，即平面的法向量为， 又， 故点到平面的距离． 【小问3详解】 设向量是平面的一个法向量， ， 则．令，得， ． 平面和平面的夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ CGSG2024——2025学年第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心和半径长分别为（　　） A ，16 B. ，4 C. ，4 D. ，16 3. 正方体的棱长为a，，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正方体中，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）. A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 8. 经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 10. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 11. 已知圆和圆交于、两点，下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆的圆心距为 B. 两圆有两条公切线 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则_____. 13. 已知直线与直线间距离为，则_____. 14. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为__________． 四、解答题（本大题共5大题，共77分） 15. 已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）判断该轨迹与圆的位置关系. 16. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，M，N分别为的中点． （1）求BN的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面. 17. 已知直线过点且过直线和直线的交点，直线过一定点. （1）求直线方程. （2）求，的值. （3）若，分别求点到直线和的距离. 18. 若方程表示圆.点，在圆上， （1）求实数的取值范围. （2）求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. （3）求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 19. 如图，正四棱柱中，，，点在棱上且. （1）求证：； （2）求点到平面的距离. （3）求平面和平面的夹角的余弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$