精品解析：广东省茂名市崇文学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

广东省茂名市崇文学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D. 正方形的对角线平分一组对角 3. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，，1 B. 5，2， C. ，2，1 D. ，， 4. 如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A. B. C. D. 9. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 12. 把一元二次方程化为一般形式为______． 13. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 14. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组的每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，共赠贺卡132张，如果设活动小组有名学生，则可列出的方程为______． 15. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，且，，垂直于H，则__________． 三、解答题（本大题共8小题，其中第16题8分，第17、18题每题各7分，第19-21题每题9分，第22、23题每题13分，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 18. 如图，在中，，． （1）在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 19. 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 21. 某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？ 22. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 23. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省茂名市崇文学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】A. ，是二元一次方程，故本选项不符合题意； B. ，是一元二次方程，故本选项符合题意； C. ，整理得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； D. ，是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D. 正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，，1 B. 5，2， C. ，2，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；叫做常数项． 【详解】由，得 ， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，2，， 故答案为：B． 4. 如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理即可求出边长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算边长是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 7. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 8. 根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围． 【详解】解：∵当时，当时， ∴当x在中取一个值时，， ∴一元二次方程的某一个解的取值范围是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 9. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 12. 把一元二次方程化为一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先展开完全平方式、再移项，变成一般形式即可． 【详解】解：， 即 即 故答案为： 【点睛】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0） 13. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 【答案】22.5°##22.5度 【解析】 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 14. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组的每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，共赠贺卡132张，如果设活动小组有名学生，则可列出的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，且，，垂直于H，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相平分且垂直得到，再利用勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，其中第16题8分，第17、18题每题各7分，第19-21题每题9分，第22、23题每题13分，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 . 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 18. 如图，在中，，． （1）在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：所作线段如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解； （2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 19. 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 【答案】4m 【解析】 【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解． 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 21. 某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？ 【答案】（1）每头发病生猪平均每天传染头生猪 （2）若疫情得不到有效控制，天后生猪发病头数会超过头 【解析】 【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据“第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据天后生猪发病头数=天后生猪发病头数，即可求出天后生猪发病头数，再将其与进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得， 解得：， （不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪． 【小问2详解】 （头），． 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1）平行四边形， 理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． （2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），； （3）当时，四边形的面积等于． 【解析】 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【小问1详解】 解：由题意，得，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； 【小问3详解】 解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $