精品解析：云南省云县第一完全中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

2024—2025学年云县第一完全中学上学期高一年级11月月考卷 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 的大小与的取值有关 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 5. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 不存在，使得 D. 若，则 6. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ） A. 60 B. 100 C. 200 D. 600 8. 已知函数，若实数，则方程的不同实根个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. D. 存在是无理数， 11. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______. 13. 已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是_______ 14. 已知函数对任意的实数都有，且当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求集合及； （2）若的定义域为集合，求. 16. 已知a，b，c为实数，函数（）． （1）若函数为幂函数，求a，b，c的值； （2）若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值． 17. 已知函数满足，其中，且. （1）求的解析式； （2）若，求函数的定义域； （3）讨论的值域. 18. 若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年云县第一完全中学上学期高一年级11月月考卷 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得. 【详解】“，”的否定是“，”. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 的大小与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】求差，判断差和零的大小关系即可. 【详解】， 故，即. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B. 4. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 5. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 不存在，使得 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义运算、一元二次不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当时，，所以，所以， 所以，故A错误； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，因为，要得，所以或3，若， 满足，解得； 若，因为方程的两个根，都不是方程的根， 所以需满足，解得. 综上：或， 所以，所以，故D正确. 故选：D 6. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 7. 数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ） A. 60 B. 100 C. 200 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 8. 已知函数，若实数，则方程的不同实根个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象来求得正确答案. 【详解】由，得， 做出分段函数与直线的图象，如下图所示， 当时，由图象可得出函数的图像与直线的交点个数为3， 即方程的不同实根个数为3. 故选：D 【点睛】易错点睛： 图象绘制的准确性：在图象法中，绘制图象时需要准确把握函数的特征和分段点，容易出错的地方在于忽略了分段函数在各段的变化趋势. 交点个数的判断：判断交点个数时，特别要注意不同函数段与直线的交汇情况，确保没有遗漏或多算. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对选项，因为，所以，故，故A正确； 对选项B，当时，，故B错误； 对选项C，因为，所以，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对选项D，因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. D. 存在是无理数， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反例判断D即可. 【详解】因为函数， 所以的定义域为，值城为，故A错误；B正确； 因为，所以，故C正确； 例如取，则，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出、再计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用必要条件与集合的关系，结合二次不等式化简集合，从而得解. 【详解】因为是的必要条件，所以， 又或，， 则. 故答案为：. 14. 已知函数对任意的实数都有，且当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出函数的单调性，由此化简，利用分离常数法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】由恒成立，得函数单调递增， 故， 因为，所以，故恒成立，即， 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 故，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 解题的思路是首先通过单调性分析来化简问题. 然后结合分离常数法将变量与常数分开，再利用基本不等式进行求解. 这一思路条理清晰，将复杂问题逐步化简为易于处理的步骤. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求集合及； （2）若的定义域为集合，求. 【答案】（1）， （2）或， 【解析】 【分析】（1）先由条件求得集合，然后化简集合，再由集合的运算代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先求得集合，再由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由条件可得. ， 所以，得. 【小问2详解】 由，得. 所以或. . 16. 已知a，b，c为实数，函数（）． （1）若函数为幂函数，求a，b，c的值； （2）若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值． 【答案】（1），，或，，； （2）． 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义，即可列式求解； （2）当时，函数是一次函数，由一次函数的单调性确定参数的取值范围，当时，由二次函数确定参数的取值范围，再结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由函数的定义域为知，当为幂函数时， 应满足，或， 解得，，或，，． 【小问2详解】 当时，（）， 由题意知，，所以； 当时，函数图象的对称轴为， 依题意得，即， 所以，得．当且仅当，时取等号． 综上可得，ab的最大值为． 17. 已知函数满足，其中，且. （1）求的解析式； （2）若，求函数的定义域； （3）讨论的值域. 【答案】（1），且 （2） （3）当时，的值域为；当时，的值域为. 【解析】 【分析】（1）利用配凑法即可求解； （2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解； （3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解. 【小问1详解】 由， ，（且）. 【小问2详解】 当时，，则， ，则，即， 解得， 所以函数的定义域为. 【小问3详解】 ，又， 当时，在R上单调递增，所以，故值域为； 当时，在R上单调递减，所以，故值域为. 综上，当时，的值域为；当时，的值域为. 18. 若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）在上单调递减，证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，结合函数的奇偶性的定义进行证明. （2）利用函数单调性的定义，通过计算来进行证明. （3）根据函数的单调性、奇偶性等知识，结合对进行分类讨论来求得正确答案. 【小问1详解】 函数为奇函数， 证明如下：令，可得，故， 令可得， 即. 又函数的定义域是，故函数为奇函数. 【小问2详解】 函数单调递减， 证明如下：任取，则， 故，即， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 因为在上单调递减，且为奇函数， 则不等式， 可化为，即. 即，即， 当时，不等式为，解得， 则不等式的解集； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得， 故此时不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】方法点睛： 奇偶性判断：通过与的关系来判断奇偶性，这种方法适用于所有定义域对称的函数. 单调性判断：利用函数的定义域上任意两点的值，结合单调性定义证明函数的单调性. 不等式求解：将不等式转化为符合函数特性的形式，通过分类讨论（正、负及零）来求解. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“依赖函数”；理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由进行判断. （2）根据函数的单调性列方程，结合“依赖函数”的知识求得. （3）根据函数的单调性列方程，化简不等式，利用判别式来求得的取值范围. 【小问1详解】 是“依赖函数”，对于函数的定义域内任意， 若，则， 对任意，都有唯一的的倒数使得等式成立，故是“依赖函数”； 【小问2详解】 因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得，又，所以， 解得，故. 【小问3详解】 因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 即方程无实根或有两个相等的实根， 所以，解得，即实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $