精品解析：湖北省黄石市教联体期中考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度上学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． ★祝考试顺利★ 一、单项选择题（3分×10=30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 小星用配方法对一元二次方程进行求解时，将其化为的形式，则，的值分别是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（m，n），B （ 2，－1 ），C（－m，－n），则点D的坐标是（ ） A. （－2 ，1 ） B. （－2，－1） C. （－1，－2 ） D. （－1，2 ） 8. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　） A. 110° B. 112.5° C. 115° D. 117.5° 10. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则x的值是_________． 12. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 14. 如图，圆的直径为，弦为，的平分线交圆于点，则的长是_____． 15. 抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC＝BC，求证：BE∥AC． 18. 已知抛物线． （1）则该抛物线的对称轴为___________； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，且交于y轴正半轴，求其解析式； （3）在（2）的条件下，若为该抛物线上三点，且总有，请直接写出与与的大小关系． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 20. 如图，在中，弧弧，连接． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点，若，，求的长． 21. 如图网格是由边长为个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、、都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，点对应点，点对应点． （1）在图中，将线段向右平移个单位长度，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图中，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交、于点、，使得． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 23. 在中，，． （1）如图1，点在边上，且．求的值； （2）如图2，点在的外部，且．求证：； （3）若是平面内一点，且，，请直接写出的值为______． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． ★祝考试顺利★ 一、单项选择题（3分×10=30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．通过定义判断即可． 【详解】解：选项A含有两个未知数，故不符合题意； 选项B含有两个未知数，故不符合题意； 选项C等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，符合一元二次方程的定义，符合题意； 选项D中应该才是一元二次方程，故不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，选项A、B、C，找不到一个点，使得图像绕这一点旋转后，与原来图形重合，不符合题意；D图形绕对角线的交点旋转后，与原来图形重合，为中心对称图形，符合题意 故选D 【点睛】本题考查了中心对称图形即图形绕某点旋转后与原来图形重合，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 小星用配方法对一元二次方程进行求解时，将其化为的形式，则，的值分别是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边都加上1，这样方程左边就为完全平方式，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键． 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 6. 某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，根据原价现价，列出方程即可．找准等量关系，是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意，得：； 故选C． 7. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（m，n），B （ 2，－1 ），C（－m，－n），则点D的坐标是（ ） A. （－2 ，1 ） B. （－2，－1） C. （－1，－2 ） D. （－1，2 ） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A． 考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质． 8. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到，可知，然后化简代入求值是解题的关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ， 故选：B 9. 如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　） A. 110° B. 112.5° C. 115° D. 117.5° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，取 中点，连接，连接，由题意知，且在一条直线上，，，知，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求，，，，，的值，进而求解的值． 【详解】解：如图，取 中点，连接，连接 由题意知，且在一条直线上，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 10. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积． 详解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=． ∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12． 则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+． 故选A． 点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则x的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 14. 如图，圆的直径为，弦为，的平分线交圆于点，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用，首先作，交的延长线于点，作于点，连接，，由平分，根据角平分线的性质得出， 由证明，得出的长, 又是等腰直角三角形，从而求出的长，准确作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，作，交的延长线于点，作于点，连接，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在和， ∴, ∴， 同理:， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 15. 抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到即可； ②：由①得，结合判断出的正负即可； ③：特值法，取时也符合题意，从而可得到结论； ④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断． 【详解】解： 抛物线经过点， ， ， 当时，， ， 该抛物线一定经过，故此项正确． ②由①得：， ， ， ， ， ， ．故此项正确． ③抛物线的对称轴为直线， 当时，，， ， ， 也符合题意与矛盾，故此项错误． ④，是方程的两个根， ，是抛物线与直线交点的横坐标， ， 如图： 由图得：．故此项正确． 故答案：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键熟练掌握配方法，利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 开平方，得， 解得，． 17. 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC＝BC，求证：BE∥AC． 【答案】 证明：， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ． 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质是解题关键． 18. 已知抛物线． （1）则该抛物线的对称轴为___________； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，且交于y轴正半轴，求其解析式； （3）在（2）的条件下，若为该抛物线上三点，且总有，请直接写出与与的大小关系． 【答案】（1） （2） （3）当且时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）利用即可求得抛物线对称轴； （2）先求得抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点坐标为，由题意可得且，解方程即可得出答案； （3）由于抛物线对称轴为，开口向上，点B为最低点，即最小，再根据二次函数的性质分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点在轴上，且交于轴正半轴， ∴且， 解得：或舍去， ∴该抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴点是抛物线上的最低点，即最小，在对称轴左侧随增大而减小，在对称轴右侧随增大而增大， 当时，点、均在对称轴的左侧，且， ∴， ∴； 当时，， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，当且时，；当时，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，抛物线的顶点、对称轴等，掌握二次函数的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴，， ∴无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）或． 【解析】 【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解； （）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可； 本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分两种情况： 当为直角边时，则，得， 又∵边长， ∴， 当为斜边时，则，得， 又∵边长， ∴， 综上所述，的值为或． 20. 如图，在中，弧弧，连接． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，， ∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、、勾股定理和垂直平分线的判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理和垂直平分线的判定的应用是解题的关键． （）连接，，，根据垂直平分线的判定即可求证； （）延长交于点，根据，，可得，从而得到，进而得到，可得到是的中位线，设设，则，根据，可得，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 如图网格是由边长为个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、、都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，点对应点，点对应点． （1）在图中，将线段向右平移个单位长度，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图中，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交、于点、，使得． 【答案】（1） 如图，根据平移和旋转的性质，找到对应点，然后连接即可；    ∴，即为所求； （2） 如图，根据网格作图特点， 点，，即为所求． 【解析】 【分析】（）根据点的平移和线段绕点旋转，然后连接即可求解； （）根据中心对称的性质即可作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴点，，即为所求． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【解析】 【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长； （2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450， 解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点． 23. 在中，，． （1）如图1，点在边上，且．求的值； （2）如图2，点在的外部，且．求证：； （3）若是平面内一点，且，，请直接写出的值为______． 【答案】（1） （2） 如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，过点作于， ，， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求，，由直角三角形的性质可得，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，得到，过点作于，由等腰三角形的性质可求，由“”可证，可得，，由角的数量关系可证，可证； （3）分两种情况讨论，由旋转的性质可得，，，，，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，当点在内时，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，， ，， ，， ， ； 如图4，当点在外时，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，， ，， ， ， ， 综上所述：或， 故答案为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加辅助线． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）能．或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $