精品解析：陕西省榆林市第十二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

榆林十二中高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程. 【详解】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为． 故选：C． 2. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到，从而根据焦距得到方程，求出，求出答案. 【详解】双曲线中，， 又焦距为4，故，解得，故，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量的坐标，由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为，，则， 因为，则，解得. 故选：A. 4. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 5. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以． 故选：A． 6. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、的长，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，，则， 故， 在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为点为棱的中点，点是棱上的一点，且， 则、、、， ，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得. 【详解】圆的圆心，半径为， 因为圆上至少存在一点，使得，则， 所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含， 所以可得，又因为， 所以，即. 即实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：AB. 10. 已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ） A. 圆M的方程为 B. 双曲线C的离心率为 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由给定方程求出双曲线的实虚半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】由双曲线方程，得实半轴长，虚半轴长，半焦距， 圆M的圆心为，半径为，方程为，A正确； 双曲线C的离心率，B正确； 双曲线的渐近线方程为，C错误； 由，解得，则点横坐标满足， 而，于是，D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线和所成角为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若，则点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， ，设，其中，， 对于A选项，由， 得，即， 所以，，故A正确； 对于B选项，由A选项知，所以，又， 设直线和所成角为（）， 则，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，， 即，又点在平面内（包含边界）， 所以点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的半圆弧， 所以其长度为，故C正确； 对于D选项，由C选项知，，设， 则， 所以， 所以点到的距离，令，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故点到直线的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：空间坐标系与向量的应用：通过构造空间直角坐标系，结合向量的性质来解决几何问题，是解题的关键步骤. 轨迹分析与距离计算的结合：通过分析动点的运动轨迹，再结合几何性质进行距离的计算，确保了推导过程的严密性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得. 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解； （2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由，得， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， ， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点， 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令1，得，， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. 【小问1详解】 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. 【小问2详解】 如图， 设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面. （1）求平面与平面所成二面角的正弦值； （2）已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图通过证明平面，可建立以点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案； （2）由题可得平面的法向量，后设，可得点到平面的距离关于的表达式，即可得答案. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 因为底面是正方形，所以， 因为是正三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意：， ， 设平面的法向量为，所以， 即，令，则， 即平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【小问2详解】 因为分别是线段上一点， 且， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，即平面的一个法向量为， 设， 则， 所以点到平面的距离， 解得（舍去），即. 19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，结合面积可得，联立即可求解； （2）根据已知解设出，直线和的斜率，表示出直线方程，然后与伴随椭圆联立方程，结合韦达定理表示出和，即可得证. 【小问1详解】 由，可得， 因为的面积为，所以， 解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，设， 直线的斜率为，直线的方程为， 直线的斜率为，直线的方程为， 所以． 由，得， 椭圆的“伴随椭圆”的方程为． 联立，可得， 设，则， ， 同理， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆与直线相交的综合性题目，属于中档题，常用方法有：（1）数形结合思想；（2）韦达定理的使用；（3）待定系数法求方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林十二中高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ） A. 圆M的方程为 B. 双曲线C的离心率为 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 的面积为 11. 已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线和所成角为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若，则点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面. （1）求平面与平面所成二面角的正弦值； （2）已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $