专题01 第一章 集合与常用逻辑用语（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期末考点大串讲 串讲01 第一章 集合与常见逻辑用语 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】元素与集合 【清单02】集合的表示方法 【清单03】子集 【清单04】真子集的含义 【清单05】并集 【清单06】交集 【清单07】全集与补集 【清单08】充分条件、必要条件与充要条件的概念 【清单09】从集合的角度理解充分与必要条件 【清单10】充分性必要性高考高频考点结构 【清单11】全称量词命题和存在量词命题的否定 【清单12】常用的正面叙述词语和它的否定词语 考点一：辨别元素与集合，集合与集合的关系 【答案】B 考点二：根据元素与集合的关系求参数 【答案】1或5 考点三：根据集合中元素的个数求参数 考点四：列举法和描述法 考点五：子集（真子集）问题 【答案】B 考点六：根据集合关系求参数（重点题型） 考点六：根据集合关系求参数（重点题型） 【答案】B 考点七：集合的综合运算 【答案】A 考点八：根据集合的运算结果求参数（重点题型） 考点八：根据集合的运算结果求参数（重点题型） 考点九：实际问题中的集合问题 【答案】C 考点九：实际问题中的集合问题 考点十：集合中的新定义题（选填题） 【答案】     5     80 考点十一：集合中的新定义题（解答题） 考点十一：集合中的新定义题（解答题） 考点十一：集合中的新定义题（解答题） 考点十二：充分性，必要性的判断 【答案】AC 考点十三：根据充分性，必要性求参数 考点十四：命题的否定 【答案】D 考点十五：根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【答案】C 考点十六：不等式在非区间上恒（能）成立问题 考点十七：二次函数在区间上的恒（能）成立问题 【答案】A 【答案】C 【答案】B 【答案】A 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·重庆长寿·期中）给出下列关系，其中正确的个数为（   ）①；②；③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】：全体实数，①正确；：整数，②正确；：正整数，③错误；：有理数，④错误. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高一上·北京·期中）若，则实数x的值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】∵， ，则元素重复，故舍去. ，则，符合题意； ，即，则，符合题意. 故答案为：1或5 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】集合表示关于的方程的解集， 因为集合中只有一个元素， 当，即，解得，此时，符合题意； 当，则，解得或， 当时，时，符合题意； 综上可得的所有可能取值组成的集合为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以由数轴可得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·重庆·期中）若全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，故， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知：， (1)，求a的取值范围； (2)，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意，，由，得， 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得， 所以a的取值范围是或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，得，而集合是一元二次方程的解集，因此， 由（1）知，，解得， 所以a的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 或， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），. ①时，得. ②时，则， 综上，实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，的“小和数”为； 集合的所有非空子集中，含有数的子集，可视为集合的每个子集与的并集， 因此含有数的子集个数为，同理含有数的子集个数均为， 所以的“大和数”为. 故答案为：5；80 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高一上·北京·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，判断是否能“任意双拆”，并证明； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）对于集合，，且，因此集合可双拆， 若在集合中去掉元素，因为，，，则集合不可“任意分拆”； 对于集合，，， 因此集合可双拆， ，在集合中，任意一个数与其它3个数的和都不等， 任意两个数的和与另外两个数的和也都不等，因此集合不可“任意分拆”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）集合不能“任意双拆”， 不妨设，反证法：如果集合可以“任意双拆”， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，①，或，②， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，③，或，④， 由①③可得，矛盾；由②③可得，矛盾； 由①④可得，矛盾；由②④可得，矛盾. 因此，当时，集合一定不能“任意双拆”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设集合，由，，， 得均为偶数，因此均为奇数或偶数, 若为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数； 如果为偶数，则也均为偶数， 此时设，则也是可“任意分拆”的， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数， 因此集合中元素个数为奇数， 当时，显然集合不可“任意分拆”； 当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，则， 当时，取集合， ，，， ，，， 则集合可“任意分拆”， 所以集合中元素个数的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（多选）（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件.故选：AC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高一上·福建宁德·期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，命题“，”是真命题. 当时，则有，不合乎题意； 当时，由，可得，则有， ，当且仅当时，等号成立， 所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，使，则命题p的否定为 ；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 ，使 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为命题，使，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使； 若命题p为真命题，等价于， 且函数的开口向上，对称轴为， 因为，可知当时，函数取得最小值， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使；. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高一上·河南漯河·期中）已知集合，，则（    ） A．{-1，3} B．{1，3} C．{(-1，1)，(3，9)} D．(-1，1)，(3，9) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】联立，解得，， 所以， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高一上·湖北·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由全称量词命题的否定知原命题的否定为：，. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一上·北京·期中）设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，， 所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高一上·天津西青·期中）已知集合， (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）①由题意知，因此， 又，所以； ②因为或，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由可得， 当时，，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，； 故实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$