精品解析：甘肃省白银市第八中学2025届高三上学期第4次阶段检测（11月）数学试题

白银市第八中学2024-2025学年度第一学期第4次阶段检测试卷 科目：高三数学 命题人：赵有贵 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知，则（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，即可求值. 【详解】 . 故选：B. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减, 故选：A 3. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得a的范围，命题q直接利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案. 【详解】∵愿明天即命题为真命题， ， 又，当且仅当，即时，等号成立， ， ∵命题，为真命题， 或， ∵命题p，q都是真命题， 或． 故选：C 4. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 5. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为导函数在区间上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可. 【详解】由题意知，问题等价于在区间上有解， 即有解，而， 由二次函数的性质知，即. 故选：C. 6. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”， 故其值域为，而，则值域为； 当时，， 当时，，对称轴且开口向上， 则在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 故选：C. 7. 已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则， ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：B 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.全部选对的6分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐个计算判断即可. 【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得，解得， 又（当且仅当时，等号成立）， 而，所以，所以，故A正确； 对于B，由，利用基本不等式，化简, 得（当且仅当时，等号成立）， 解得，即，故B错误； 对于C，由，利用基本不等式, 化简得（当且仅当时，等号成立）， 解得，故C错误； 对于D，，又，即， 由B选项知，所以，故D正确； 故选：AD 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知三点不共线对于空间任意一点，若，则四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，直线倾斜角的范围，空间向量的基底，四点共面的判定依次判断即可. 【详解】解：对于A，在上的投影向量为， 故选项A正确，符合题意； 对于B，直线的斜率为， 当时，倾斜角；当时，倾斜角， ∴直线的倾斜角的取值范围是， 故选项B错误，不符合题意； 对于C，若，则， 所以共面，故不能作为基底， 故选项C错误，不符合题意； 对于D，因为，所以四点共面， 故选项D正确,符合题意； 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确； 又由，故B错误； 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为，恒成立，所以， 即实数的取值范围为，故C正确； 由题意得函数，因为， 所以，又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共5题，每题3分，共15分.） 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可. 【详解】是偶函数，. 故答案为：2. 13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以由三角函数的定义可得：， . 故答案为： 14. 已知函数，对于函数有下述四个结论： ①函数在其定义域上为增函数；   ②有且仅有一个零点； ③对于任意的，都有成立； ④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点. 其中所有正确的结论序号是_______________ 【答案】③④ 【解析】 【分析】由反例判断结论①；利用导数得函数单调性，由零点存在定理求零点个数判断结论②；作差法比大小判断结论③；结论④利用导数求曲线在点处的切线，切线与相切于点，建立方程组证明是的零点. 【详解】对于①，的定义域为， 因为，，①错误； 对于②，因为，所以在和上单调递增， 又，，，， 所以在区间和上都存在零点， 又在和上单调递增， 即在区间和上各有一个零点，②错误； 对于③，因为，所以，所以， 即，所以③正确； 对于④，因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 得切线方程为，即， 设与相切于点，因为，所以切线斜率为， 得切线方程为，即， 所以，即， 消去得，整理得，即是的零点，④正确. 故答案为：③④ 【点睛】关键点睛： 本题结论④判断的关键在于利用导数求出两曲线的切线方程，利用方程为同一方程得到两切点坐标之间的关系，联立化简即可. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 16. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合，可得； （2）由（1）可得在上单调递增，结合，可解不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 又，所以， 所以， 从而. 【小问2详解】 由（1）可知， 显然在上单调递增. 因为，所以由，可得， 则，解得或， 故不等式的解集为. 17. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 【小问2详解】 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 18. 肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 （1）若和满足经验回归模型，求； （2）求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； （3）当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 【答案】（1）；. （2）；该经验回归方程有价值. （3）的分布列为： 0 1 2 数学期望是1.【解析】 【分析】（1）设得，计算，继而得到和； （2）分别计算和，计算出，即得结论； （3）依题意，残差的绝对值不超过0.3的有三组，由此确定的可能值有，利用超几何分布计算概率，写出分布列，计算出数学期望即可. 【小问1详解】 设则， 因 ， 则 又且经验回归直线过点， 故得，， 【小问2详解】 由（1）， 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 90 88 86.8 86 84.8 84 0.01 0.16 0.16 0.04 0.36 0.09 12.25 1 0.36 0.16 5.76 5.29 则， 因,则该经验回归方程有价值； 【小问3详解】 经计算，这六组数据中，残差的绝对值不超过0.3的有三组，分别是第一组、第四组和第八组， 故从这六组数据中任意抽取两组,的可能值有， 于是，, 则的分布列为： 0 1 2 故数学期望为. 19. 已知函数. （1）若，求函数的零点. （2）若使得成立，试求的取值范围 （3）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接由方程求解即可； （2）由题意利用导数确定函数单调性，求出函数的最大值，建立不等式得解； （3）求出切线方程得出与坐标轴交点坐标，表示出三角的面积，求出切线与函数交点坐标，代入即可得解. 【小问1详解】 由，解得， 即函数的零点为. 【小问2详解】 ， ∴， 令，则， ∴在上单调递减， ∴，∴， 故在上单调递增， ∴， ∴，即. 【小问3详解】 由题可知，故切点为， ∵，∴， 所以切线方程为：， 交轴于，交轴于， 设切线交函数于点，因为，故， 又，故B的位置只能在C的上方. 如图，则的面积为， 或（舍），故， 所以函数过点， ∴，∴. 【点睛】关键点点睛：根据切线方程，设出切线和函数交点坐标，据此能表示出三角形的面积，利用面积求出交点坐标，即可代入函数解析式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第八中学2024-2025学年度第一学期第4次阶段检测试卷 科目：高三数学 命题人：赵有贵 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知，则（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 5. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.全部选对的6分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知三点不共线对于空间任意一点，若，则四点共面 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 三、填空题（共5题，每题3分，共15分.） 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则______. 14. 已知函数，对于函数有下述四个结论： ①函数在其定义域上为增函数；   ②有且仅有一个零点； ③对于任意的，都有成立； ④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点. 其中所有正确的结论序号是_______________ 四、解答题（共5题，共77分） 15. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 16. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 17. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 18. 肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 （1）若和满足经验回归模型，求； （2）求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； （3）当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 19. 已知函数. （1）若，求函数的零点. （2）若使得成立，试求的取值范围 （3）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $