2015江苏省高中数学赛课：苏教版高中数学选修2-2 1.3.1导数在研究函数中的应用——单调性 课件+教案+素材 徐进勇（4份打包）

导数的应用——函数的单调性 江苏省海州高级中学　徐进勇 教学目标： 1. 让学生在学习过程中发现函数的单调性与导数的关系； 2. 能用所学结论解决函数单调性问题； 3．培养学生数学转化意识、数形结合思想、严谨科学态度。 教学过程： 同学们，数学是上帝用来书写宇宙的符号，而恩格斯对数学中的微分有这样的解读： “只有微分学才能使自然科学有可能用数学不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。”（投影）现在就让们一起走进微分学的研究天地。 问题1　结论的发现 求下列函数在 的最值： 1. ；　　　2. ；　　　　3. 预设：1斜率 ，函数递增，得 　教师：斜率公式是什么？ 2.函数对称轴为 ，区间 在对称轴右侧，函数递增，得 3.函数递增，所以 　　教师：为什么递增？你会证明吗? 学生：定义证明 在区间内任取 ，设 ， 如果第2题也给予证明呢？ 在区间内任取 ，设 ， 教师：三个函数在区间 都有递增，在递增的证明过程中，你能发现了它们结构上有何共性吗？ 答案: 教师:这说明什么? 这说明区间上任意两点连线的斜率都大于0,　即直线递增，就能反映曲线在此区间上的递增，体现 “以直代曲”的思想。 教师：平移割线至切线，都有一条切线的斜率与此割线的斜率相等，由 的任意性说明曲线在区间内的每一点处的切线斜率都大于0，体现以“以切代割”的方法，而切线斜率等于该处的导数值。多媒体演示。 从而得到结论： 函数 ，如果在某区间上 ，那么 为该区间上的增函数。 同理可得：如果 ，那么 为该区间上的减函数。 数学应用　 例题1. 证明函数 在R上单调递增。 变式1：确定函数 在哪些区间上是增函数。 变式2：确定函数 的单调区间。 变式3：你能编制出相应一道题目吗？ 问题2 试结合 思考：如果 在某个区间上单调递增，那么在该区间上必有 吗？ 观察下列函数：有何想法？ 观察上述运动变化过程，你有何想法？ 由导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必正确。 因此在某个区间f’(x)>0是函数f(x)在该区间上递增的充分不必要条件 课堂小结： 学生小结：通过本节课的学习，你有何收获？ 教师小结： 1.“以直代曲”“以切代割”，启发我们可以用一个变化量来刻画另一个变化量，使问题解决。 2. 建立了导数与函数单调性的联系，用导数判断函数的单调性不仅简化了证明过程，也使我们能判断更多函数的单调性，提高了我们的解题能力。这里的导数是数学微积分学科的一个内容，在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后分别独立建立了微积分学。微积分的产生和发展被称为“近代技术发明产生的关键事件之一。”有了微积分之后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。它的建立，对数学和其他学科以至于技术的发展都产生了巨大的影响。体现数学广泛的应用性。 3.导数不仅能判断函数的单调性，我们借助函数图象各点处的切线斜率的变化也能反映函数图象的变化过程。正如恩格斯所说：只有微分学才能使自然科学有可能用数学不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。 $$ 导数的应用 ——函数的单调性 江苏省海州高级中学 徐进勇 只有微分学才能使自然科学有 可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。 ——恩格斯 问题一： 求下列函数在 上的最值： 探究1 1.直线的斜率公式 2. 3. 　三个式子在结构上有何共性？ 探究1 共性：　　　　　　　单调递增 探究1 以直代曲 1 3 1 3 1 3 探究1 以切代割 运动 1 3 探究1 对以上过程，你有何想法？ 　请作总结 结论1： 　　　　函数y=f(x) ,如果在某区间上f’(x)>0 ，那么函数 f(x)在该区间内单调递增。 　　　同理可得：函数y=f(x)，如果在某区间上f’(x)<0，则函数 f(x)在该区间内单调递减。 应用 例题1. 证明函数 　　　　　在R上单调递增。 变式1：确定函数　 　　　　的单调递增区间。 变式2：确定函数　　　　　　的单调区间。 变式3：你能编制出相应一道题目吗？ 问题2 结论1的逆命题成立吗？ 　　即如果　　在某区间上单调递增，那么在该区间上必有　　　　吗？ 三次函数 探究2 探究2 观察上述运动变化过程，你有何想法？ 　 结论2 由导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必正确。 　　因此在某个区间f’(x)>0是函数f(x)在该区间上递增的___________