精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

武安一中2024—2025学年第一学期11月考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 A. B. C. D. 4. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 5. 设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于(　　) A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 以上答案均不对 6. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 已知两条直线、方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间距离为 C. 若，则 D. 若，则直线、一定相交 10. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 时n的最小值为8 D. 当时最小 11. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 线段MN的长度为 C. 点N的坐标为 D. 的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点，且到点距离为的直线方程为________. 13. 已知数列的前n项和，则______． 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线，，设直线l1，l2的交点为P． （1）求P的坐标； （2）若直线l过点P且在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程． 16. 已知圆C的圆心C在直线上，且圆C过，两点， （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求切线l的方程. 17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 18. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且． （1）求实数m的值及抛物线C的标准方程； （2）不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由． 19. 已知椭圆E：的一个顶点为，离心率. （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.设椭圆的左顶点为D，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武安一中2024—2025学年第一学期11月考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两点求斜率，斜率为倾斜角的正切值. 【详解】斜率，∴倾斜角． 故选：A． 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C． 考点：抛物线的几何性质． 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴m2＞m+2＞0， 解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1． 故选A． 4. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标的运算法则可知，代入等差数列求和公式即可求得答案. 【详解】解：由题意得： 等差数列中， ． 故选：C 5. 设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于(　　) A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义直接求解. 【详解】由双曲线有.则. 由题意知，所以点在双曲线的左支, 则由双曲线的定义有，故.选. 【点睛】本题主要考查双曲线定义的简单运用.解题中很容易因忽略双曲线上的点到焦点的距离的取值范围而错选. 6. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点， ． 故选：C． 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心. 【详解】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：， ∴圆心为(4，0)． 故选：A． 8. 已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再根据及M点坐标即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 因为该双曲线的一条渐近线方程是，则， 又由，可得， 由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为， 代入双曲线方程即可得：，， 又有，可知， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 若，则直线、一定相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】若，则，，A正确； 由A知，，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，B正确； 由，则，，C不正确； 由A知时，，所以时，则直线、一定相交，D正确． 故选：ABD． 10. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 时n的最小值为8 D. 当时最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列性质、通项公式和求和公式逐项判断即可； 【详解】对A，设公差为d，因为等差数列是递增数列，则，故A正确； 对B，因为，则，即，故B正确； 对D，，则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误； 对C，由，即0，即，解得（舍去）或，所以时，n的最小值为8，故C正确． 故选：ABC 11. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 线段MN的长度为 C. 点N的坐标为 D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：把点代入抛物线求得，进而求焦点和准线；对于BCD：求直线的方程，联立方程求点的坐标，结合抛物线的定义和性质逐项分析判断. 【详解】因为点在抛物线上，则，解得， 则抛物线方程为，可知，准线为，故A正确； 可知：， 则直线的方程为，即， 联立方程，解得或，即，故C正确； 可得，故B错误； 的面积为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点，且到点的距离为的直线方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，根据点到直线的距离公式解出即可；当直线的斜率不存在时，检验是否满足题意即可. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为， 即，由点到直线距离公式得，解得， 此时直线方程； 当直线的斜率不存在时，也满足条件； 综上可知所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知数列的前n项和，则______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是 考点：已知求 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有， 又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线，，设直线l1，l2的交点为P． （1）求P的坐标； （2）若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，即可求解． （2）由已知条件可得，直线l的斜率为或直线l经过原点，再分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 联立方程，解得，即P． 【小问2详解】 ∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴直线l的斜率为或直线l经过原点，当直线l过原点时，∵直线l过点P，∴l的方程为； 当直线l斜率为时，∵直线l过点P，∴l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或． 16. 已知圆C的圆心C在直线上，且圆C过，两点， （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求切线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，和直线，即求得圆心坐标，接着求得半径，可得答案； （2）设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得答案. 【小问1详解】 ∵，∴线段的中垂线斜率为. 又线段的中点为，∴线段的中垂线方程为，即. 由可得,即，∴半径为， ∴圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题知，切线l的斜率存在，设切线l的斜率为k， 则，即. ∴，解得，, ∴l的方程为或. 17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且． （1）求实数m的值及抛物线C的标准方程； （2）不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能与圆相切；. 【解析】 【分析】(1)根据点在抛物线上和抛物线的定义列出关于m、p的方程组，解之即可； (2)设点和直线AB方程，根据两点坐标表示直线斜率和韦达定理求得，可知直线AB恒过定点且该定点在圆上M上，根据点M、N坐标求出k即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为点在抛物线上，所以， 由抛物线的定义，得， 则，解得， 所以抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 由(1)得，设点， 则，所以， 得；设直线AB方程为， 有， 所以，所以， 得，所以直线AB方程为， 即直线AB恒过抛物线内部的定点， 又圆正好经过点， 当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切， 此时，所以直线AB方程为. 19. 已知椭圆E：的一个顶点为，离心率. （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.设椭圆的左顶点为D，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，进而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线，的方程，表示出，得到点为线段的中点，进而求解. 【小问1详解】 由题意可知，，所以， 则所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 因为点，则点为线段的中点， 所以. 【点睛】直线与圆锥曲线相交所成线段比值的求解步骤： 设出直线方程，利用韦达定理和判别式求出取值范围； 结合韦达定理将线段比值的表达式表示出来； 根据判别式中的范围采用分离变量，换元，基本不等式等方法进行求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $