精品解析：福建省泉州市永春第三中学片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年秋季九年级永春三中片区期中考试 数学试题 （试卷共5页，满分：150分考试时间：120分钟） 一、单选题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 根式中，与是同类二次根式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中值为（ ） A 1或 B. 或7 C. D. 6. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图，在中，已知，以点为圆心，长为半径画圆弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画圆弧，交于点，连接．则图中下列线段的长一定是关于的一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ） 甲：若，则在上存在2个点P，使与相似； 乙：若，则的最大值为 A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 已知实数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：______． 12. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）． 13. 方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是_____． 14. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 15. 若方程两根为，则方程的两根为 ____________________． 16. 如图，在矩形中，，分别是，边上的点，平分，，以，为边作矩形，与相交于点．则有下列结论：①；②当是的中点时，；③连结，则；④．其中正确的结论是______（填写正确结论的序号） 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程： 18. 计算：． 19. 如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 20. 如图，在中，是边上的一点，，，，，在上找一点，连结，使与相似． （1）请画出一种符合题意的图形； （2）根据你画出的图形，计算的长度． 21. 若方程没有实数根，试判定方程的根的情况． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根． （1）求点、点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季九年级永春三中片区期中考试 数学试题 （试卷共5页，满分：150分考试时间：120分钟） 一、单选题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 根式中，与是同类二次根式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：，，，，， ∴与是同类二次根的有，共1个， 故选：A． 2. 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一元二次方程可以为， 故选：A． 3. 在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解： A. ，，故该选项符合题意； B. ，则，不能判定，故该选项不符合题意； C. ，则，不能判定，故该选项不符合题意； D. ，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：A． 4. 已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 5. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 6. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设， 则：， 解得：（负值已舍去）； ∴； 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，正方形的性质，解一元二次方程．熟练掌握相似多边形的对应边对应成比例，是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图，在中，已知，以点为圆心，长为半径画圆弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画圆弧，交于点，连接．则图中下列线段的长一定是关于的一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，，则， ∴， 对方程，有， ∴ ， ∴关于一元二次方程的一个根的是． 故选：A． 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 10. 题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ） 甲：若，则在上存在2个点P，使与相似； 乙：若，则的最大值为 A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】B 【解析】 【分析】（1）由与相似，，分与两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误． 【详解】解：甲：∵与相似，， ∴分与两种情况求解： ①当时，设，则， ∴，即， 解得：或， ②当时，设，则， ∴，即， 解得：， 综上所述，当，在上存在3个点P，使与相似，故甲错误； 乙：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 即， ∴， ∵， ∴当时，最大，且，故乙正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：为线段的黄金分割点，，且， ． 故答案为：． 13. 方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是_____． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可． 【详解】解：解方程得：或， 即直角三角形的两边为3或5， 当长为5的边是直角边时，第三边为：； 当长为5的边是斜边时，第三边为：； 故答案为：或4． 14. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 【答案】##1.2## 【解析】 【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】∵ABGH， ∴△CGH∽△CAB， ∴=，即=①， 同理=，即=②， ①+②，得+=+==1， ∴+=1， 解得GH=． 故答案为． 15. 若方程的两根为，则方程的两根为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：可得， ， ， 所以． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，分别是，边上的点，平分，，以，为边作矩形，与相交于点．则有下列结论：①；②当是的中点时，；③连结，则；④．其中正确的结论是______（填写正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，进而可得，即可证明①；设，则，利用证，可得，进而说明四边形是正方形，，则；再运用勾股定理可得，可表示出，最后代入计算，即可证明②；连接、，根据四边形是正方形，得出，和都是等腰直角三角形，推出，，证明，得出，即可证明③；若，时，证，结合四边形是正方形，得出，求出，由勾股定理可得，再运用线段的和差可得、，再结合，，判定是否成立，即可判定④． 【详解】解：∵是矩形四边形， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 当是的中点时， 设，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴， ∴和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； 若，时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关知识点推理证明是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】采用因式分解法求解即可. 【详解】解：， ， 或， ，. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题. 18. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、绝对值、零次幂、二次根式性质进行化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 19. 如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：如图， ∵在中，CD是斜边AB上的高 ∴ ∵是公共角 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 20. 如图，在中，是边上的一点，，，，，在上找一点，连结，使与相似． （1）请画出一种符合题意的图形； （2）根据你画出的图形，计算的长度． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （）过作交于点，则与相似． （）证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，与相似， 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得． 21. 若方程没有实数根，试判定方程的根的情况． 【答案】方程有2个或1个实数根 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据方程没有实数根，求出，然后分两种情况：当且时，当时，讨论方程根的情况． 【详解】解：∵没有实数根， ∴， 解得：， 当且时，方程中， ， 又∵， ∴， ∴， ∴此时方程有两个不相等的实数根， 当时，方程可变为， ∵方程只有一个实数根， ∴当时，方程有1个实数根． 综上分析可知：方程有2个或1个实数根． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 23. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根． （1）求点、点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，则可得到，据此可得答案； （2）先求出，进而利用勾股定理得到，则，过点E作轴于点，如图，可证明，利用相似三角形的性质得到，，则，可得的坐标是．利用勾股定理求出；由待定系数法求出直线的解析式是，则，则可利用勾股定理求出， 再分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立比例式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵线段的长是一元二次方程的两根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴． ∴， 过点E作轴于点，如图， ∴， ∴， ，即 ，， ∴， ∴的坐标是． ∵， ∴， ∴； 设直线的解析式是， ∴， 解得：， 则直线的解析式是； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，如图， 则，即， 解得：， ∴ ∴的坐标是； 当时，如图， 则，则， 解得：， ∴， ∴坐标是． 综上所述，的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ． 由有，∽， ， ， ， 如图4图5图6，连接EF． 在中，，， ， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$