精品解析：江西省赣州市大余县梅关中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

选择性必修第二册综合检测 基础测试卷 （测试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分） （2021年晋江市第一中学高二期末） 1. 数列中，已知，数列是公差为2的等差数列，且，则的值为（ ） A. 31 B. 30 C. 16 D. 15 （2021年上海市复兴高级中学高一期末） 2. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （2021年北京二十中高二期末） 3. 函数y＝f(x)在x＝0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 4. 曲线上的点到直线的最短距离是 A. B. 2 C. 1 D. （2021年浙江高二期末） 5. 已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数是偶函数的导数, ,当时, ,则使|f(x)|＞成立的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为 A. ，14580元 B. ，14580元 C. ，10800元 D. ，10800元 8. 设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　） A. f（2）＜f（e）＜f（π） B. f′（π）＜f′（e）＜f′（2） C. f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3） D f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2） 二、多项选择题（共4小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若数列前项和满足，则 B. 在等差数列中，满足，，则其前项和中最大 C. 在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值 D. 若等差数列中，，，则使的最大的为15 10. 若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，，，则下列结论正确的是（ ） A. 0<q<1 B. C. Sn的最大值为S7 D. Tn的最大值为T6 12. 已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（　　） A ﹣2ln2﹣ B. ﹣ln2﹣ C. 0 D. ln2﹣ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，且S7﹣2S6＝1，则a1+a5＝__． 14. 设等差数列的各项都是正数，公差为d，前n项和为若数列也是公差为d的等差数列，则的前6项和为_____ 15. 规定，其中，，且，这是排列数（，且）的一种推广.则_______，则函数的单调减区间为_______. 16. 已知函数f（x）＝lgx，g（x）＝x3+3ax2+a+6，若存在x1＞0，x2＞0，x1≠x2，使得f（g（x1））＝f（g（x2））＜0，则a的取值范围是___． 四、解答题（共6个小题，共70分） （2021年湖南高三模拟） 17. 设数列的前项和为，且，________，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列的前项和． ①；②；③． （2021年辽宁高三模拟） 18. 已知等差数列，为等比数列，且满足． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和． （2021年安徽高二月考） 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若，且的极小值小于，求a的取值范围. 20. 已知函数，. （1）证明：当时，； （2）存在，使得当时恒有成立，试确定k的取值范围. 21. 设数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣a1，且a1，a2+2，a3成等差数列， （1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值； （3）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Rn． 22. 已知函数. （1）当函数在处切线斜率为时，求的单调减区间； （2）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第二册综合检测 基础测试卷 （测试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分） （2021年晋江市第一中学高二期末） 1. 数列中，已知，数列是公差为2的等差数列，且，则的值为（ ） A. 31 B. 30 C. 16 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再由数列是公差为2的等差数列求出，然后利用累加法可求出的值 【详解】解：因为，， 所以， 因为数列是公差为2的等差数列， 所以， 所以， 所以，，，，， 所以， 所以， 故选：A （2021年上海市复兴高级中学高一期末） 2. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比数列的性质，结合特值法可解. 【详解】若为等比数列，， 则运用等比数列性质知道; 若，则可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数列. 故“为等比数列”是“满足”的充分不必要条件. 故选：A. （2021年北京二十中高二期末） 3. 函数y＝f(x)在x＝0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出在处的切线方程，进而求出；结合图像可得在处的切线的斜率等于0，从而得出结果. 【详解】由题意，得 在处的切点为， 所以在处切线l方程为：， 即，又l过点，所以； 结合图像，在处的切线的斜率等于0， 所以，所以. 故选：B 4. 曲线上的点到直线的最短距离是 A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论 【详解】设与平行的直线和相切，则斜率为， 因为， 所以， 令，可得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故选D. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用平移切线法结合导数的几何意义是解决本题的关键,属于中档题. （2021年浙江高二期末） 5. 已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和公式，递推前三项，利用等比中项的性质计算参数A，再根据数列的单调性得，结合n的属性计算即可. 【详解】因为等比数列前项和满足，所以， ，， 因为等比数列中，所以， 解得或（舍去），所以， 因为数列是递增的， 所以，所以， 因为，所以. 故选：C． 6. 设函数是偶函数的导数, ,当时, ,则使|f(x)|＞成立的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,根据函数的单调性和奇偶性问题转化为,求出不等式的解集即可． 【详解】解:设F(x)＝xf(x), 易知函数F(x)为奇函数,且当x＜0时,F′(x)＝xf′(x)+f(x)＞0, 故函数F(x)在R递增, 将目标不等式转化为|F(x)|＞F(1)＝1, 结合函数的单调性得:|x|＞1,解得:或x＞1, 故不等式的解集是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞), 故选:C． 7. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为 A. ，14580元 B. ，14580元 C. ，10800元 D. ，10800元 【答案】B 【解析】 【分析】 设“衰分比”为，甲获得的奖金为，联立方程解得，得到答案. 【详解】设“衰分比”为，甲获得的奖金为，则. ，解得，故. 故选：. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8. 设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　） A. f（2）＜f（e）＜f（π） B. f′（π）＜f′（e）＜f′（2） C. f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3） D. f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2） 【答案】C 【解析】 【分析】f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，由，可得＜，可得y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误． 【详解】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增， ∵， ∴＜， ∴y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸． ∴f（2）＜f（e）＜f（π），f′（π）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正确． ∵f（3）﹣f（2）＝，表示点A（2，f（2）），B（3，f（3））的连线的斜率． 由图可知：f′（3）＜kAB＜f′（2），故D正确． C项无法推出， 故选：C． 二、多项选择题（共4小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若数列前项和满足，则 B. 在等差数列中，满足，，则其前项和中最大 C. 在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值 D. 若等差数列中，，，则使的最大的为15 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差数列的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A：数列前项和满足，当时，解得， 当时，，所以， 故，故A错误； 对于B：等差数列中，满足，， 所以：，则， 由于，所以，故，，所以其前项和中最大，故B正确； 对于C：等差数列中，满足，， 则数列的前9项和为定值，故C正确； 对于D：若，则， 又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为，所以使的最大的为15，故D正确. 故选：BCD 10. 若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数由已知可得在R上单调递增，利用单调性对各个选项进行分析判断即可. 【详解】根据题意设其导数 由知在R上单调递增， 对于A, 由函数单调性得即，即，即，又由，则,必有，故A正确，B错误； 对于C, ，则，则有，即，即，故C正确，D错误； 故选：AC 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，常用解题方法构造新函数，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题. 11. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，，，则下列结论正确的是（ ） A. 0<q<1 B. C. Sn的最大值为S7 D. Tn的最大值为T6 【答案】AD 【解析】 【分析】 分析得到得a6>1，a7<1，故q<1，所以选项正确；，所以选项错误；Sn没有最大值，所以选项C错误；Tn的最大值为T6，所以选项正确. 【详解】等比数列{an}，公比为q， 由a1>1，，得q>0且q≠1， ，得a6>1，a7<1，若不然，，则q>1， 又a1>1，则a6>1，a7>1，不成立，故q<1， 所以选项正确； ，因为，所以，所以选项错误； 因为0<q<1，a1>1，所以数列各项均为正值，Sn没有最大值，所以选项C错误； 因为，所以Tn的最大值为T6，所以选项正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12. 已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（　　） A. ﹣2ln2﹣ B. ﹣ln2﹣ C. 0 D. ln2﹣ 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b＞2lnx﹣x2﹣3x，设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞）），根据函数的单调性求出b的范围即可． 【详解】解：∵f'（x）＝3x2+6x+b， ∴设f（x）＝x3+3x2+bx+c，又f（0）＝0，故c＝0， 从而f（x）＝x3+3x2+bx， ∴g（x）＝f（x）﹣2xlnx＝x3+3x2+bx﹣2xlnx，则g（x）的定义域是（0，+∞）， 则g（x）＞0可化为x2+3x+b﹣2lnx＞0，即b＞2lnx﹣x2﹣3x， 设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞））， 则φ′（x）＝﹣2x﹣3＝， 令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，令φ′（x）＜0，解得：x＞， 故φ（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减， 故当x＝时，φ（x）取得最大值φ（）＝﹣2ln2﹣， 要使g（x）＞0恒成立，则b＞﹣2ln2﹣即可， 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，且S7﹣2S6＝1，则a1+a5＝__． 【答案】17 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式和前n项和的公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，且S7﹣2S6＝1， 所以，解得a1＝1，所以 故a1+a5＝1+16＝17． 故答案为：17． 14. 设等差数列的各项都是正数，公差为d，前n项和为若数列也是公差为d的等差数列，则的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前项和公式，由数列为等差数列，表示出数列的通项公式，联立两式求解出和，即可计算的前6项和. 【详解】由题意，等差数列的前项和公式， 又数列为等差数列，则， 所以， 所以， 解得，， 当时，， 当时，， 联立两式，解得，， 所以的前6项和 故答案为：9 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题. 15. 规定，其中，，且，这是排列数（，且）的一种推广.则_______，则函数的单调减区间为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用定义即可得出，函数，利用导数研究其单调性，即可求得答案. 【详解】 则 令，即： 解得： 函数的单调减区间为： 故答案为：， 【点睛】本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法，及其根据导数求函数单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 16. 已知函数f（x）＝lgx，g（x）＝x3+3ax2+a+6，若存在x1＞0，x2＞0，x1≠x2，使得f（g（x1））＝f（g（x2））＜0，则a的取值范围是___． 【答案】（-6，-1） 【解析】 【分析】依题意，函数g（x）的图象与函数y＝k（0＜k＜1）在（0，+∞）上存在两个交点，对函数g（x）求导，可知a必然小于0，且满足，解出即可． 【详解】解：函数f（x）＝lgx的定义域为{x|x＞0}，且为单调函数，当x∈（0，1）时，f（x）＜0， 故存在x1＞0，x2＞0，x1≠x2，使得，即函数g（x）的图象与函数y＝k（0＜k＜1）在（0，+∞）上存在两个交点， g′（x）＝3x2+6ax＝3x（x+2a），令g′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2a， 若a≥0，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， 此时不可能满足g（x）的图象与函数y＝k（0＜k＜1）在（0，+∞）上有两个交点，故a＜0， 此时只需满足即可，即，解得﹣6＜a＜﹣1， 综上，实数a的取值范围为（﹣6，﹣1）． 故答案为：（﹣6，﹣1）． 四、解答题（共6个小题，共70分） （2021年湖南高三模拟） 17. 设数列的前项和为，且，________，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列的前项和． ①；②；③． 【答案】答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】选条件①时，直接利用数列递推关系式求出数列通项公式，进一步利用分组法求出数列的和； 选条件②时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步用公式法求出求出数列的和； 选条件③时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和. 【详解】解：选条件①时，因为，所以， 所以，整理得， 所以为首项为2，公比为3的等比数列，所以，即 因为， 所以， 所以数列的前项和 ． 即 选条件②时，； 整理得：， 故数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以， 故， 所以， 所以为等差数列， 所以数列的前项和． 选条件③时，由于①， 当时，，②， ①－②得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则， 所以数列的前项和 ． 即 所以． （2021年辽宁高三模拟） 18. 已知为等差数列，为等比数列，且满足． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）设出数列公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式； （2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以， 因为，所以，整理得，解得q＝2， 所以； （2）， ， 两式相减，得 所以． （2021年安徽高二月考） 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若，且的极小值小于，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后分，，和四种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间； （2）由（1）知的极小值为，构造函数，由导数判断函数在上单调递减，且，从而可求出a的取值范围 【详解】解：（1）（）， ①当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，恒成立，所以在上单调递增； ④当时， 当或时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）已知，由（1）知的极小值为， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 由的极小值小于，可得 所以. 20. 已知函数，. （1）证明：当时，； （2）存在，使得当时恒有成立，试确定k的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）构造函数，求导得到，从而得到的单调递减，所以有，从而得到当时，；（2）当时，不存在满足题意，当时，令，利用导数得到单调性，得到，从而得到k的取值范围. 【详解】解：（1）证明：由题意知的定义域为，的定义域为， 令， 所以， 当时，， 所以在上单调递减， 故当时，， 即当时，成立. （2）由（1）知，当时，， 所以当时，不存在满足题意； 当时， 令 ， 所以 ， 令得， 所以（舍去）， ， 因为，所以， 所以当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即成立. 综上，k的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用导数证明不等式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类讨论思想，属于中档题. 21. 设数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣a1，且a1，a2+2，a3成等差数列， （1）求数列{an}通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值； （3）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Rn． 【答案】（1）；（2）9；（3）． 【解析】 【分析】（1）由Sn＝2an﹣a1，通过，得到an＝2an﹣1，数列{an}是公比为2的等比数列，然后求解数列的通项公式． （2）利用等比数列求和公式求解Tn，然后利用，求解满足条件的n的最小值是9． （3）化简＝．利用裂项消项法求解数列的和即可． 【详解】解：（1）由Sn＝2an﹣a1得：当n≥2时，，所以an＝2an﹣1， 即，所以数列{an}是公比为2的等比数列， 又因为a1，a2+2，a3成等差数列，所以2（a2+2）＝a1+a3，2（2a1+2）＝a1+4a1，解得：a1＝4， ∴数列{an}的通项公式是：． （2）因为， 所以Tn＝ ＝＝， 由得：，，即2n+1＞1000， ∴n+1＞9，n＞8，n∈N+， 所以满足条件的n的最小值是9． （3）＝＝ ＝＝． ∴Rn＝ ＝＝． 22. 已知函数. （1）当函数在处的切线斜率为时，求的单调减区间； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）单调减区间为和；（2）. 【解析】 【分析】 （1）定义域为，先由求出，可得，，由可得单调递增区间，由可得单调递减区间； （2）由题意得对任意恒成立, 设，则对任意恒成立.对求导，讨论求最小值，让即可求解. 【详解】（1）定义域为. 因为. 所以在处的切线斜率为， 解得：， 所以，. 令可得：或， 的单调减区间为和； （2）由题对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 则，， 所以在单调递增，又， 若，则，所以恒成立，所以在单调递增， 又，所以恒成立，符合题意. 若，,使得，则在递减， 又，所以不符合题意，舍去. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法 （1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）； （2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$