专题03 圆锥曲线与方程（4大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湘教版2019选择性必修）

专题03 圆锥曲线与方程 椭圆 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 5．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 6．（23-24高二下·青海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 7．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 8．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，且，证明：直线与圆相切． 9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为 (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为1，求的值. 10．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 双曲线 11．（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 12．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 14．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 18．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 19．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是双曲线的一个焦点，则 ． 20．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 抛物线 21．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 22．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 23．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 26．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 27．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线上两点，且满足，过原点O作交AB于点D，若点D的坐标为，则抛物线C的方程为 . 28．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为 . 29．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 30．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 曲线与方程 31．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（    ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A．① B．①② C．①④ D．③④ 32．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 33．（23-24高二下·陕西渭南·期末）曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于常数的点的轨迹.则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C过坐标原点 C．若点P在曲线C上，则 D．以，为焦点、以为长轴长的椭圆上的点一定不会在曲线C围成的区域的外部 34．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ． 35．（23-24高一下·吉林长春·期末）设正方体的棱长为1，E，F分别为AB，的中点，点M在正方体的表面上运动，且满足，则点M轨迹的长度为 ． 36．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 37．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 38．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为为椭圆上的动点（异于左顶点），定点在轴上，点满足，直线与椭圆交于两点． (1)求点的轨迹方程； (2)证明：为中点． 39．（23-24高二下·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且. (1)求动点的轨迹的方程； (2)对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求. 40．（23-24高二下·贵州安顺·期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线所围的区域面积大于 D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 离心率问题 41．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 43．（23-24高二下·河北唐山·期末）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 44．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 45．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 48．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 49．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 抛物线焦点弦的性质 51．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 52．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，若，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 53．（2018·湖南益阳·一模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 54．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 55．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（    ） A． B．． C． D． 56．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 59．（12-13高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 60．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线与方程 椭圆 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，根据椭圆定义得到，结合求出，则，，求出. 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 【答案】BD 【分析】对于A，由题意求得，结合基本不等式即可判断；对于B，由条件确定的范围，结合离心率公式即可判断；对于C，由上定点对两焦点的张角大小即可判断；对于D，设出直线，然后与椭圆联立，再求出相关距离，最后化简计算即可. 【详解】因为的周长为8，所以，即. 因为在C外，代入椭圆方程所以，所以. 对于A：， 当且仅当时，等号成立，所以，故A不正确； 对于B： 椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 因为， 当时，此时不存在使得，故C错误； 对于D: 当时,可得：此时椭圆方程为，    设直线为：， 联立，得， 设，，则，， ， ，，， 原点到直线的距离， ， 当的斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，为定值.故D正确. 故选：BD 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 6．（23-24高二下·青海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】1）根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出即可. （2）令，，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，进而求出四边形周长. 【详解】（1）由椭圆定义知，，， 由，得， 若，则为等腰直角三角形，，解得， 所以C的方程为. （2）若，不妨设，，则，且， ，. 由，点P在y轴上，且， 得，且， 由余弦定理得， 整理得，而，则， 同理得， 即，整理得， 令此方程二根为，则，，即有， 则， 解得， 所以四边形AF1BF2的周长为. 7．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【详解】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 8．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，且，证明：直线与圆相切． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，求出的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，直接验证；当直线的斜率存在时，设的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据可得出，再利用直线与圆的位置关系可证得结论成立. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由椭圆定义可得，则， 由已知可得，所以，， 所以，椭圆的标准方程为． （2）证明：由题意，圆的圆心为，半径为． 当直线的斜率不存在时，由对称性可知， 不妨设，则，可得， 即直线的方程为或，此时直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立得， 由，得， 由韦达定理得，， 则 则，即． 圆心到的距离为，此时直线与圆相切． 综上，直线与圆相切． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为 (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为1，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）先由短轴长得，由三点共线设点坐标，再利用点在椭圆上将斜率之积转化为待定，从而求椭圆方程； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论.当直线斜率不存在时，解方程组可得；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，借助韦达定理表示弦长及点到直线的距离，从而由面积为得，代入由韦达定理表示的关系式，化简求值可得. 【详解】（1）由题意知椭圆的短轴长为2，即，. 为椭圆的上顶点，所以. 当三点共线时，设，则. 由点在椭圆上，则, 因为， 所以，解得． 故椭圆的方程为； （2）设过两点的直线为， 当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称， 所以 因为在椭圆上，所以，又， 所以，即，联立， 解得 此时，所以. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去得， 其中①， 所以， 所以． 因为点到直线的距离， 所以， 所以， 整理得，符合①式， 此时， 综上所述，的值为5． 10．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 双曲线 11．（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】双曲线中，，双曲线的离心率， 所以． 故选：D． 12．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 13．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 14．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求． 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合圆的性质可得点到渐近线的距离为1，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线和直线斜率可得，求得，进而可得实轴长. 【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为， 且直线的斜率， 若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即， 所以的实轴长为. 故选：D. 17．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程. 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 18．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分焦点在x轴上和y轴上讨论求解即可. 【详解】当焦点在x轴上时，可得，则； 当焦点在y轴上时，可得，则. 综上，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 19．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是双曲线的一个焦点，则 ． 【答案】 【分析】化为双曲线的标准方程，再利用关系得到方程，解出即可. 【详解】显然，则双曲线方程为，即， 因为是双曲线的一个焦点， 所以，解得. 故答案为：. 20．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【分析】对于A，直接写出符合描述的椭圆方程，对比即可判断；对于B，由离心率公式即可判断；对于C，直接根据斜率公式验算即可；对于D，根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 抛物线 21．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 22．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，以为直径的圆的圆心坐标及半径，再逐项分析判断即可. 【详解】由点在：，得，解得，则抛物线的焦点， 以为直径的圆的圆心，半径， 圆心到轴的距离，圆心到抛物线准线的距离， 因此以为直径的圆与轴相切，切点为，A错误，B正确； 以为直径的圆与的准线相离，CD错误. 故选：B 23．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而可得，由求解. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 24．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得抛物线方程，再根据光线的反射性质求出反射光线的方程，即可求出反射光线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求得结果. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C. 25．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 【答案】5 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 26．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 27．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线上两点，且满足，过原点O作交AB于点D，若点D的坐标为，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，与抛物线方程联立借助韦达定理、向量垂直的坐标表示求解作答. 【详解】直线OD的斜率为，而，则直线AB的方程为，即， 由消去x并整理得：，设，则， 则，则，解得， 所以抛物线C的方程为. 故答案为： 28．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为 . 【答案】 【分析】利用过点的切线与直线平行时，的面积最大求出点，然后利用弦长公式求即可. 【详解】当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大， 设点，由得：，， 所以切线的斜率：，解得：， 所以，所以， 点到直线的距离， 由，消去，得：， 设，，则，， 所以， 所以的面积的最大值为：. 故答案为： 29．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. （2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可. 【详解】（1）因为点到焦点F的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 抛物线的准线方程为，点的横坐标为， ，解得， 抛物线的方程为． （2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为， 联立，消得， 设， 又， ∵，则直线OP的方程为， 联立，消得， 令，则， ，故的值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，然后建立方程，得到所要求的参数值即可． 30．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 曲线与方程 31．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（    ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A．① B．①② C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的概念、基本性质，圆锥曲线中的轨迹问题，逐一判断即可. 【详解】①双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故①正确； ②因为定点在直线上，所以到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，故②错误； ③若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离， 当大于或等于两个定点间的距离时动点的轨迹不是双曲线，故③错误； ④由知是线段的中点， 所以，所以在以为直径的圆上，即动点的轨迹为圆，故④错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线的概念、性质及轨迹问题，解题的关键是要准确掌握圆锥曲线的概念，及对基本知识的理解与应用. 32．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义，列式求解即可； （2）设点，根据中点坐标运算得，代入得，即可求得动点的轨迹方程. 【详解】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 33．（23-24高二下·陕西渭南·期末）曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于常数的点的轨迹.则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C过坐标原点 C．若点P在曲线C上，则 D．以，为焦点、以为长轴长的椭圆上的点一定不会在曲线C围成的区域的外部 【答案】ACD 【分析】首先求函数的解析式，再代入分析函数的对称性，判断A；代入原点判断B；利用三角形的面积公式，结合轨迹的定义，即可判断C；结合椭圆的定义，以及基本不等式，即可判断D. 【详解】设动点， ，即，（*） 点关于原点的对称点为，代入（*） 得，故A正确； 并且将，代入（*）都满足，所以曲线也关于轴对称， B，原点代入（*），得，，所以曲线不过原点，故B错误； C，若点是曲线上，则， 因为，所以，故C正确. D，由椭圆的定义可知，以，为焦点、以为长轴长的椭圆满足 ； 根据基本不等式可知，， 所以曲线上的点都在椭圆的外部或上面，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题第D选项的关键是理解点在椭圆外，以及和基本不等式比较大小结合在一起的思路. 34．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ． 【答案】 8 2 【分析】由抛物线的焦点坐标可得的值；设直线的方程与抛物线联立，可得的中点的坐标，进行求出的中垂线的方程，进行求出的值，再由抛物线的性质可得的值，即可求解． 【详解】如图所示： 由抛物线的方程可得焦点坐标为， 由题意可得，所以； 所以抛物线的方程为：， 设直线的方程为： ，设， 联立直线与抛物线的方程： ，整理可得：，, 则，所以的中点的横坐标为， 所以的中点的纵坐标为：， 所以的中垂线的方程为：， 令，可得，所以N的横坐标为：， 所以， 由抛物线的性质可得，， 所以， 故答案为：8，2 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是采用设线法得到韦达定理式，再利用焦点弦公式即可得到答案. 35．（23-24高一下·吉林长春·期末）设正方体的棱长为1，E，F分别为AB，的中点，点M在正方体的表面上运动，且满足，则点M轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M轨迹的长度. 【详解】 在正方体中，棱长为1， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ∴设，则， ∵，∴， 当时，，当时，， 取，连结， 则，∴四边形为矩形， 则，， 即为平面中的两条相交直线，∴平面， 又，又F为的中点，则平面， 为使，必有点平面，又点在正方体表面上运动， 所以点的轨迹为四边形，因为， 则点的轨迹不是正方形，则矩形的周长为. 故答案为：. 36．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 【答案】(1); (2)1 【分析】（1）由题可知，再由条件两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形可知，结合求解，进而得到椭圆方程和离心率. （2）设直线的方程，联立直线和椭圆，由韦达定理得到两根的关系；根据平行得到斜率相等，可以写出直线的方程，进而得到的坐标，联立直线得到点的坐标，发现纵坐标之间的关系即可. 【详解】（1）依题意得， 解得, 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）由于，所以直线l的斜率不为0. 设直线l的方程为:,， 联立，消去并整理得， 其中， 所以， 对于直线l的方程，令，得， 所以点M的坐标为， 由于直线的斜率为， 直线直线,所以， 从而直线的方程为， 令，有 将代入，得， 于是点N的坐标为 由于直线的斜为， 所以直线的方程为, 因为， ， 即 即， 其中， 所以， 于是有， 从而得 即点的坐标为， 因为 其中分子为 将和代入,有， 因此有 即， 即点为点和点的中点， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出的坐标，进而发现纵坐标之间的关系. 37．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，再利用点到直线的距离求解b即可； （2）先证明圆心在直线上，再由圆的性质可以求出圆经过另一个定点. 【详解】（1）由于是右顶点，故. 而到渐近线的距离均为， 故由已知有. 所以，解得. 故的方程为. （2）如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 【点睛】关键点点睛：第（2）问关键在于知道圆心在直线上，又圆E经过原点，根据圆的性质可知，原点关于直线的对称点一定在圆E上. 38．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为为椭圆上的动点（异于左顶点），定点在轴上，点满足，直线与椭圆交于两点． (1)求点的轨迹方程； (2)证明：为中点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，由，可得点坐标，代入椭圆方程即可； （2）分析可得斜率存在，得出直线方程，联立椭圆消元后可得一元二次方程，根据根与系数的关系及中点坐标公式化简即可得证. 【详解】（1）设，由且，可知， 因为在椭圆上且异于椭圆左顶点，所以，且， 所以点的轨迹方程为； （2）证明：易知直线的斜率存在，设直线， 将直线方程与椭圆的方程联立，， 化简得，所以， 将直线方程与点的轨迹方程联立，， 化简得， 即，解得， 因为，所以为中点，原命题得证． 39．（23-24高二下·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且. (1)求动点的轨迹的方程； (2)对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在或者为0时，求得P坐标，再讨论斜率存在时，设其点斜式与椭圆联立，利用判别式构造同解方程，计算即可； （2）过圆心作弦的垂线，利用弦长公式表示弦心距，再根据三角形面积公式及均值不等式计算得的面积最大时弦心距的取值，最后由的意义计算即可. 【详解】（1）当的斜率不存在或者为0时， 由题意可知点的坐标为或； 当切线的斜率存在且不为0时， 设过作椭圆的切线的斜率为， 则切线的方程为，将其与椭圆方程联立， 并化简得 由题意得，， 设的斜率分别为，则是上式的两个根，且， 所以，则， 又，则，即， 综上所述，动点的轨迹的方程为； （2）过圆心作直线的垂线，垂足为，设， 则， 由题意， 又，. 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由题意得，.    40．（23-24高二下·贵州安顺·期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线所围的区域面积大于 D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AB 【分析】由点在上，点亦在上，即可得A；借助基本不等式计算，结合两点间距离公式可得B；由B知曲线在圆内部，计算出该圆面积即可得C；由B知、的取值范围，即可得D. 【详解】对A：若点在上，则亦在上， 故曲线关于坐标原点对称，故A正确； 对B：若，，， 则，即，当且仅当时等号成立， 故曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确； 对C：由B知，故曲线在圆内部， 圆的面积为， 故叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误； 对D：由B知，则，， 则当、为整数时，只有、，此时满足曲线， 故四叶草曲线只经过1个整点，故D错误. 故选：AB. 离心率问题 41．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据点在椭圆可得，故可得. 【详解】椭圆长轴的两顶点为， 设，则由题设可得即， 故，故即，故， 故选：B 42．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，根据双曲线的定义可得、，结合勾股定理和离心率的定义计算即可求解. 【详解】如图，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D 43．（23-24高二下·河北唐山·期末）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，再由可求出的关系，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为， 由，得，即， 由，得，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 44．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率. 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 45．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，与轴的交点为，，结合平行线性质，三角形面积公式可得，根据勾股定理可得关系，化简求离心率. 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 46．（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及椭圆过定点可得椭圆方程与离心率. 【详解】由点在上，，即， 所以， 又椭圆过点，则 故椭圆方程为， 所以离心率， 故选：C. 47．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 48．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 49．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 50．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 抛物线焦点弦的性质 51．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 52．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，若，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案. 【详解】由题设易知，从而准线方程为. 设点点点坐标为， 由抛物线的定义知，， 所以有，所以到轴距离，故B正确； 故选:B 53．（2018·湖南益阳·一模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此可得参数，进一步可得抛物线方程以及直线方程，联立结合韦达定理以及抛物线定义即可求解. 【详解】由题意是的中点，所以，， 由图知，所以， 又，所以， 所以， 而，所以直线， 联立抛物线方程得，，化简整理得， 所以，. 故选：C. 54．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 【答案】C 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 55．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（    ） A． B．． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的图象，定义，以及几何性质，转化为三角形相似问题，即可求解. 【详解】如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点， 由题意可知．设，则， 易证，则，即，整理得， 解得，故． 故选：C 56．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导焦半径公式得，.由，求出，再由余弦定理求解. 【详解】不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为， 所以，则，同理可得. 因为，所以，即，， 所以. 在中，. 故选：D 57．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， ， 设，则，且， 当直线的斜率不存在时，则直线为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，得， 所以抛物线E的准线方程为， 故选：D 58．（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项得到，设直线方程为，联立抛物线方程，借助韦达定理，由焦点弦弦长公式得到，表达出，求出，得到答案. 【详解】由题意得，，抛物线的准线方程为， 因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 与联立得， 设，显然，则，， 故， 设直线倾斜角为，则， 所以， 故，解得， 故， 又，故，解得， 故. 故选：D 【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 59．（12-13高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由定义法求抛物线的焦点弦长即可得解. 【详解】由题意抛物线的准线为， 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果， 所以. 故答案为：D. 60．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】分过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出，，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意得， 当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去， 当过的直线斜率存在时，设为，联立得， ， 设，则， 因为，所以， 又，故，解得， 故，解得， 故，解得. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$