第3章 专题强化练8 双曲线的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

专题强化练8　双曲线的综合应用 1.已知A(-4,0),B是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线-=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.9　　　　B.2+6 C.10　　　　D.12 2.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于(　　) A.192　　　　B.96 C.48　　　　D.102 3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是(　　) A.x2+=1　　　　B.x2-=1 C.+y2=1　　　　D.-y2=1 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,O为坐标原点,过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N,且△OMN为直角三角形,若S△OMN=,则C的方程为(　　) A.-=1　　　　B.-=1 C.-y2=1　　　　D.-=1 5.若F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则该双曲线的离心率为(　　) A.5　　　　B.2 C.　　　　D. 6.(多选)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且a,b,c成等比数列(c为双曲线的半焦距),点P为双曲线右支上的点,点I为△PF1F2的内心.若=+λ成立,则下列结论正确的是(　　) A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30° B.离心率e= C.λ= D.点I的横坐标为定值a 7.已知点M(0,1),点P是双曲线-y2=1上的点,点Q是点P关于原点的对称点,则·的取值范围是　　　　.  8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切于点T,且直线l与双曲线C的右支交于点P,若=3,则双曲线C的离心率为　　　　.  9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标. 10.双曲线C的中心在原点O,焦点在x轴上,且焦点到其渐近线y=±2x的距离为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)过点P(0,2)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点. (i)证明:|AM|=|BN|; (ii)是否存在这样的直线l,使得=?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.C　如图所示,设双曲线的右焦点为A',易知C(1,4),由双曲线的定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10,故选C. 2.A　由题意得a=6,b=8,则c==10,则|PF2|=|F1F2|=20,由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32, 所以△PF1F2中PF1边上的高为=12,所以△PF1F2的面积为×32×12=192,故选A. 3.B　如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1, 则|ON|=|F2M|=1, 所以|F2M|=2.因为直线PN为线段MF1的中垂线,所以|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2<|F1F2|=4.同理,当点P在y轴右侧时,|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|=4.故点P的轨迹是双曲线,其中a=1,c=2,则b2=3,所以方程为x2-=1.故选B. 4.C　如图所示,由双曲线的离心率e==,可得=,由题意可得∠MON=60°=2∠MOF,设∠OMN=90°,所以|MF|=|OM|,|ON|=2|OM|,因为S△OMN=|OM|·|ON|·sin 60°=,所以|OM|2=3,即|OM|=,所以|MF|=×=1,而焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=|MF|==b,所以b=1,a=, 所以双曲线的方程为-y2=1,故选C. 5.D　双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为bx-ay=0,∴点F2到此渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,∴|OP|===a,cos∠PF2O=,如图所示,∵|PF1|=|OP|,∴|PF1|=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2O,∴5a2=b2+4c2-2b·2c·=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),即2a2=c2,故e==,故选D. 6.BCD　∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,当PF2⊥x轴时,|PF2|==c=|F1F2|,此时tan∠PF1F2=,∴A错误;易得|F1F2|=2c==,整理得e2-e-1=0,∵e>1,∴e=,∴B正确;设△PF1F2的内切圆的半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又∵|F1F2|=2c,∴=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2c·r=cr,∵=+λ,∴|PF1|·r=|PF2|·r+λcr, 故λ====,∴C正确;如图所示,设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,可得|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,可得点T的坐标为(a,0),即点I的横坐标为a,∴D正确.故选BCD. 7.答案　(-∞,-2] 解析　设点P(x0,y0),|x0|≥,则点Q(-x0,-y0),所以=(x0,y0-1),=(-x0,-y0-1),所以·=--+1,因为点P是双曲线-y2=1上的点,所以-=1,所以·=--+1=2-≤-2,故·的取值范围是(-∞,-2]. 8.答案　 解析　如图,由题可知,|OF1|=|OF2|=c,|OT|=a,则|F1T|=b, ∵=3,∴|TP|=2b,|F1P|=3b, 又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=3b-2a. 作F2M∥OT,可得|F2M|=2a,|TM|=b,则|PM|=b. 在Rt△MPF2中,|PM|2+=, 即b2+(2a)2=(3b-2a)2,得2b=3a. 又∵c2=a2+b2,∴c2=a2+a2,化简可得4c2=13a2,∴双曲线的离心率为. 9.解析　(1)由题意知a=2,所以一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,所以=,又因为c2=b2+12,所以b2=3.所以双曲线的方程为-=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程与双曲线方程联立,得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12, 所以所以 由+=t,得(16,12)=(4t,3t), 所以t=4,点D的坐标为(4,3). 10.解析　(1)设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意得b=2,=2,所以a=1, 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)(i)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2, 联立(λ=0或λ=1), 消去y可得(4-k2)x2-4kx-4-4λ=0, 易知Δ>0,且k∈(-2,2), 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4). 当λ=1时,x1+x2=,即AB中点的横坐标为, 当λ=0时,x3+x4=,即MN中点的横坐标为, 故线段AB,MN的中点重合,所以|AM|=|BN|. (ii)存在.由(i)可得,x1+x2=x3+x4=, x1x2=,x3x4=, 所以|MN|= =, |AB|= =, 又因为==,所以k=±,满足Δ>0,故存在这样的直线l,其方程为y=±x+2. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$