第3章 专题强化练7 椭圆的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

专题强化练7　椭圆的综合应用　　　　　　　　　　　　　　 1.“4<k<10”是“方程 +=1表示焦点在 x 轴上的椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.P为椭圆C:+=1上一动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,延长F1P至点Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程为(　　) A.(x+2)2+y2=34　　　　　　B.(x+2)2+y2=68　　 C.(x-2)2+y2=34　　　　　　D.(x-2)2+y2=68 3.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(　　) A.-3　　　　B.- C.-或-3　　　　D.± 4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为(　　) A.+=1　　　　B.+y2=1 C.+=1　　　　D.+=1 5.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的垂直平分线经过点F2,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.(多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是(　　) A.离心率的取值范围为 B.当离心率为时,|QF1|+|QP|的最大值为2a+ C.存在点Q使得·=0 D.+的最小值为1 7.若实数x,y满足方程+=1,则+的取值范围为　　　　　　　.  8.过椭圆+=1上一动点P分别向圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:(x-3)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2+2|PN|2的最小值为　　　　.  9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,过下焦点且与x轴平行的弦长为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若A,B分别为椭圆C的右顶点与上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆C相交于M,N两点,求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值. 10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点与短轴端点构成的四边形的面积为4. (1)求椭圆C的标准方程; (2)如图,过椭圆外一点P作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2均与椭圆C相切,切点分别为A,B. (i)求P的轨迹方程; (ii)记原点O到l1,l2的距离分别为d1,d2,求d1d2的最大值. 答案与分层梯度式解析 1.B　若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则解得7<k<10,故为必要不充分条件.故选B. 2.B　由+=1可得a=,则|PF1|+|PF2|=2a=2,又因为|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|=2a=2,所以动点Q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心,2为半径的圆,故动点Q的轨迹方程为(x+2)2+y2=68.故选B. 3.B　由+y2=1,得a2=2,b2=1,则c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).不妨设直线l过右焦点,因为l的倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-1, 代入+y2=1得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0, 解得x1=0,x2=. 不妨设A,B两点的坐标分别为(0,-1),,所以·=(0,-1)·=0-=-. 4.D　由题意知=,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a, 又因为∠F1PF2=,且△F1PF2的面积等于3,所以+=4c2,且|PF1|·|PF2|=6, 则+=-2|PF1||PF2|=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1.故选D. 5.C　由题意得F1(-c,0),F2 (c,0),设点P,PF1的中点为K,则K, ∴·=-1,即·=-1, ∴m2=-·≥0,∴a4-2a2c2-3c4≤0,∴3e4+2e2-1≥0,∴e2≥,∴e≥. 又∵e∈(0,1),∴≤e<1. 6.BD　由题意可得2a=4,所以a=2,由点P(,1)在椭圆内部可得+<1,可得2<b2<4,即2<4-c2<4,所以0<c<.对于A,e=∈,故A错误;对于B,当e=时,c=,F2,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=4+,故B正确;对于C,由A知0<e<,若e=,当Q在短轴端点时,∠F1QF2最大,此时cos∠F1QF2==0,则∠F1QF2=90°,由0<e<,可得∠F1QF2的最大值小于90°,所以不存在点Q使得·=0,即C错误;对于D,+==≥==1,当且仅当|QF1|=|QF2|=2时等号成立,故D正确.故选BD. 7.答案　[10-,10+] 解析　+可表示椭圆+=1上的点P(x,y)与点A(1,0)及上焦点F2(0,3)间的距离之和,即+=|PA|+|PF2|,设椭圆的下焦点为F1(0,-3),由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=10,所以|PA|+|PF2|=10+|PA|-|PF1|,又因为||PA|-|PF1||≤|AF1|=,所以-≤|PA|-|PF1|≤,故10-≤|PA|+|PF2|≤10+. 8.答案　90 解析　∵a2=36,b2=27,∴c==3, 圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为2,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为1, 易知C1(-3,0),C2(3,0)为椭圆的两个焦点,如图所示: |PM|2+2|PN|2=-4+2(-1)=+2|PC2|2-6, 根据椭圆的定义得|PC1|+|PC2|=2a=12,设|PC2|=t,则a-c≤t≤a+c,即3≤t≤9, 则|PM|2+2|PN|2=(12-t)2+2t2-6=3t2-24t+138=3(t-4)2+90,∴当t=4时,|PM|2+2|PN|2取得最小值,最小值为90. 9.解析　(1)由题意可得2b=2,则b=1, 将y=-c代入椭圆方程可得+=1, 则x2=b2=,解得x=±, 由题意可得==,所以a=, 因此,椭圆C的标准方程为+x2=1. (2)易知点A(1,0),B(0,), 所以直线AB的方程为x+=1,即x+y-=0. 不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),且x1<x2, 由⇒x1=-,x2=,则x2=-x1, 则M到直线AB的距离d1===, N到直线AB的距离d2==, 则S四边形AMBN=|AB|(d1+d2)=··=(k+)x2===·=·=·≤·=,当且仅当k=时,等号成立, 因此,四边形AMBN的面积的最大值为,此时k=. 10.解析　(1)由已知可得解得因此,椭圆C的标准方程为+=1. (2)(i)设点P的坐标为(x0,y0). 当直线l1,l2的斜率都存在时, 不妨设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 过点P且斜率存在的直线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0), 联立消去y可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0, 由Δ=182k2(y0-kx0)2-4(9k2+4)[9(y0-kx0)2-36]=0,可得(9-)k2+2kx0y0+4-=0, 由题意可知,k1,k2是关于k的二次方程(9-)k2+2kx0y0+4-=0的两根, 因为l1⊥l2,所以k1k2==-1,化简可得+=13. 当l1,l2分别与两坐标轴垂直时,满足l1⊥l2,此时点P的坐标为(±3,±2),点P在圆x2+y2=13上. 综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13. (ii)由(i)可知|OP|=, 如图所示,过点O分别作直线l1、l2的垂线,垂足分别为M,N. 因为PN⊥PA,OM⊥PA,所以OM∥PN,同理可得ON∥PM,所以四边形OMPN为矩形, 故+=|OM|2+|ON|2=|OP|2=13, 由基本不等式可得d1d2≤=,当且仅当d1=d2=时,等号成立. 因此,d1d2的最大值为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$