精品解析：云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一年级期中测试 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 某生物制药公司为了节约成本开支，引入了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本（元）与月处理量（吨）满足函数关系式．则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为（ ） A. 80吨 B. 100吨 C. 120吨 D. 150吨 5. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知，且函数在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ） A. 三项都参加的有1人 B. 只参加拔河的有3人 C. 只参加4人足球的有2人 D. 只参加羽毛球的有4人 11. 设函数的定义域为，，，若，，则可以（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，求的最小值__________ 13. 已知函数是偶函数，则______. 14. 若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为. （1）当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？ （2）当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？ 17. 已知函数为幂函数，且在上单调递减． （1）求的值； （2）若函数，且，判断的单调性，并证明． 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围. 19. 定义为不大于的最大整数，例如，．已知集合，且，，． （1）若，求（用列举法表示）； （2）若，求真子集个数的最大值； （3）已知，若正整数满足：对任意都有时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期中测试 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】由题可知，又因为，故． 故选：B 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析的范围，再进行根式的运算，判断选项. 【详解】由得，所以． 故选：C 4. 某生物制药公司为了节约成本开支，引入了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本（元）与月处理量（吨）满足函数关系式．则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为（ ） A. 80吨 B. 100吨 C. 120吨 D. 150吨 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解平均处理成本的解析式，再根据基本不等式求取得最值时的的取值. 【详解】依题意，每吨的平均处理成本， 当且仅当，即时取等号， 所以当月处理量为100吨时，可以使每吨的平均处理成本最低． 故选：B． 5. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简命题，并求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】或，则， ，则或， 因此推出，而不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 7. 已知，且函数在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 8. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解. 【详解】由，得， 所以， 所以，即， 解得或， 故的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，，得，A选项错误； B选项：由，得，而，故，B选项正确； C选项：由，，得，故，C选项错误； 对于D，由，得，而，则，D选项正确； 故选：BD． 10. 某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ） A. 三项都参加的有1人 B. 只参加拔河的有3人 C. 只参加4人足球的有2人 D. 只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【解析】 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 11. 设函数的定义域为，，，若，，则可以（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断ABC；利用举例子方法判断D 【详解】. A.若，，则是奇函数，所以A正确； B.若，，则是偶函数，所以B正确； C.若，，既是奇函数又是偶函数，此时，，，，这与，矛盾，所以C错误； D.设，此时满足，但既不是奇函数又不是偶函数，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，求的最小值__________ 【答案】24 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值24. 故答案为：24 13. 已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 14. 若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果. 【详解】由题可得, 因为函数在 上的最小值为1， 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可； （2）分析得，分和讨论即可. 【小问1详解】 时，， 则，. 【小问2详解】 若，则以， 当时，则； 当时，则，则. 综上，的取值范围为. 16. 在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为. （1）当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？ （2）当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？ 【答案】（1）6秒 （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，分和两种情况解不等式即可； （2）根据题意结合单调性可得当时，，且在内恒成立，分析求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可知：， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：， 所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为（秒）. 【小问2详解】 令，解得，可得， 因为在上单调递增， 由题意可得：当时，，解得； 且在内恒成立，则，解得； 综上所述：，. 17. 已知函数为幂函数，且在上单调递减． （1）求的值； （2）若函数，且，判断的单调性，并证明． 【答案】（1）1 （2），在区间单调递增． 证明如下：任取， 则， 由可得：，， 则，即， 故在区间单调递增． 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义，求出，由函数在上单调递减验证即可. （2）由（1）可得，用定义证明即可. 【小问1详解】 由题意知，解得：或2， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以的值为1． 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，不等式，不等式因式分解，利用单调性即可求解. （2）先将函数整理并化简，根据函数是“可构造三角形函数”， 须由得出，且，即通过不等式求得. 【小问1详解】 当时，不等式，即为， 也就是，解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由于函数 所以是“可构造三角形函数” 首先，必有才能保证；且必有， ①当时，即时，是上的增函数， 则的值域为，由，解得； ②当时，即时，，符合题意； ③而当时，即时，是上的减函数， 则的值域为， 故，解得. 综上，实数的取值范围. 【点睛】本题第（1）问主要考查可化为一元二次不等式解法，结合指数函数的单调性；第（2）问通过新定义“可构造三角形函数”， 得出，且，考查了学生思维能力，运算能力，也进一步运用分类讨论思想，结合函数的单调性，本题综合性较强. 19. 定义为不大于的最大整数，例如，．已知集合，且，，． （1）若，求（用列举法表示）； （2）若，求真子集个数的最大值； （3）已知，若正整数满足：对任意都有时，求的最小值． 【答案】（1） （2）7 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据条件，依次求解和； （2）通过列举前几项，发现规律，即可求解中的元素个数，即可求解； （3）首先根据的范围，确定，再依次求解后面的，再将条件，转化为求解的最小值. 【小问1详解】 ，则，，， ，，． 【小问2详解】 ，，故，， ，，故，， ，，故， 则，， 故真子集个数最大为. 【小问3详解】 ，故，， 故， ， 由，，；，， 故，，且， 故，， 故．故当时，， 所以，的最小值为3． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，并能利用新定义求解，本题的难点是第三问，关键是理解，转化为判断相邻项相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $