4.2.2等差数列的前n项和（第2课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2.2等差数列的前n项和（第2课时） 基础巩固 1．记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（　　） A．2 B．4 C．1 D． 2．在等差数列中，若，，则（    ）. A．110 B．120 C．130 D．140 3．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（    ） A．8.5尺 B．30尺 C．66尺 D．96尺 5．求值：（    ） A．1013 B．－1012 C．－1013 D．1012 6．设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 7．已知数列的前项和为，若，则（    ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 8．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 9．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 10．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 11．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 12．在我国古代，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与相关的设计.例如，北京天坛丘的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共圈，则第圈的石板数为 ，前圈的石板总数为 . 13．已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和；(2)求使得最大的序号n的值. 14．已知等差数列中， (1)求数列的通项公式 (2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 能力提升 15．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 16．已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 17．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ） A．230 B．115 C．110 D．100 18．等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 19．已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 20．已知等差数列的前项和为，，，若（，，且），则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 21．已知数列的前项和满足，，则（    ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 22．等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 23．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列是数列的前项和.以下说法正确的是（　　） A． B．是数列的第8项 C．当时，最大 D．是公差为的等差数列 25．设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．当时，n的最小值为13 26．在数列中，，若是等差数列，，数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 27．已知数列的前项和满足． (1)求证：是等差数列；(2)若当且仅当时，最大，比较与的大小． 28．已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值；(2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 29．在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式；(2)求取最大值时的值； (3)设，求． 拓展延伸 30．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.    (1)试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给个人.（已知） 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.2.2等差数列的前n项和（第2课时） 基础巩固 1．记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（　　） A．2 B．4 C．1 D． 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【解析】根据等差数列的前项和公式，结合题设条件，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的求和公式，可得， 又因为，所以，可得. 故选：B. 2．在等差数列中，若，，则（    ）. A．110 B．120 C．130 D．140 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设公差为d，进而根据题意得，再根据求解即可. 【详解】解：设公差为d，则 ，所以， 所以. 故选：C 3．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【知识点】前n项和与n的比所组成的等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（    ） A．8.5尺 B．30尺 C．66尺 D．96尺 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列基本量列方程组、方程求解. 【详解】设这个等差数列为，公差为，首项为冬至日最短日影长，根据题意有 即，解得 所以. 故选:B 5．求值：（    ） A．1013 B．－1012 C．－1013 D．1012 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】利用分组求和法求解即可. 【详解】 ． 故选：A 6．设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据，则（）；（），但不一定小于0，得到答案. 【详解】若，则（），所以是单调递减数列； 若是单调递减数列，则（），即（）， 但不一定小于0. 所以甲是乙的充分不必要条件， 故选：A. 7．已知数列的前项和为，若，则（    ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确； 【详解】因为，， 所以数列是公差为，首项是20的等差数列， 即， 对于A，，所以4是数列中的项，故A正确； 对于B，令，即，前五项大于零， 所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误； 对于C，， 所以，， ， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确； 故选：ACD. 8．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABC 9．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【答案】BCD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、前n项和与n的比所组成的等差数列、等差数列前n项和的基本量计算、验证是否为等差数列中的项 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. 10．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【答案】50 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差中项的应用 【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可. 【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 11．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 12．在我国古代，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与相关的设计.例如，北京天坛丘的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共圈，则第圈的石板数为 ，前圈的石板总数为 . 【答案】 63 405 【知识点】数列、等差数列的简单应用 【分析】由题可知从第1圈到第9圈石板数形成首项为9，公差为9的等差数列，即可得出所求. 【详解】由题可知从第1圈到第9圈石板数形成等差数列，且首项，公差， 则第圈的石板数为，前圈的石板总数为. 故答案为：63；405. 13．已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和. (2)求使得最大的序号n的值. 【答案】(1)Sn= (2)7或8 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程组，求得，即可求解； （2）由（1）得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得S10=，代入公式， 可得，解得， 所以. （2）解：由（1）可得， 因为，所以当或时，取得最大值，最大值为. 14．已知等差数列中， (1)求数列的通项公式 (2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 【答案】(1)或 (2) 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列的性质求出，进而可求出公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设的公差为， 因为， 则为方差的两根， 所以或， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，或； （2）若单调递增，则， 故， 所以， 所以当时，取得最小值. 能力提升 15．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 16．已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】应用等差数列和的公式计算得出，再结合基本量运算得出通项，根据数列正负值及得出和的最大值. 【详解】，则， 由于，所以， 则等差数列是首项为正的单调递减数列， 令，解得， 所以当或6时，取得最大值． 故选：C. 17．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ） A．230 B．115 C．110 D．100 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和. 【详解】，① ，② 两式相加，又因为 故，所以 所以的前20项的和为 故选：B 18．等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 19．已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、判断等差数列 【分析】由题可得，进而可得，然后可得，利用等差数列的定义及求和公式即得. 【详解】由得， 即， 所以，所以， 两式作差，得，即， 所以， 所以或，又， 故， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以数列的前n项和. 故选：A. 20．已知等差数列的前项和为，，，若（，，且），则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设公差为，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【详解】设公差为，由及，解得，， 所以数列为，，，，，，，，，，，…，故i取值的集合为. 故选:. 21．已知数列的前项和满足，，则（    ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 【答案】ABC 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、判断等差数列 【分析】令可求出的值，当时，由可得出，两式作差，结合等差数列的定义可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和满足， 则，即，可得， 当时，由可得， 两式作差，有， 又由，可得当时，，则 有， 可得数列的奇数项、偶数项均成等差数列，可知选项AB正确； ， 故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：ABC. 22．等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值. 【详解】设等差数列的首项为， 因为，且， 所以， 解得， 则 ， 即取最大值为9. 故选：C. 23．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算. 【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故选:B． 24．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列是数列的前项和.以下说法正确的是（　　） A． B．是数列的第8项 C．当时，最大 D．是公差为的等差数列 【答案】BC 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据题意，求得，结合题意，得到，结合等差数列的性质的求和公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由等差数列的首项，公差，可得， 对于A中，根据题意，可得，所以公差为， 所以数列的通项公式为，所以A错误； 对于B中，由，令，解得，所以B正确； 对于C中，令，解得，所以或时，取得最大值，所以C正确； 对于D中，由，可得，所以是公差为，所以D错误. 故选：BC. 25．设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．当时，n的最小值为13 【答案】ABD 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】通过数列的性质可将化为，结合，则选项A可判定；由，，，，通项公式构建公差的不等式组， 则选项B可判定； 等差数列中，，可知的最大值为，则选项C可判定；将，转化为前n项的和的正负，即可判定D选项. 【详解】等差数列中，则，即， 所以由等差数列的性质可得，又，所以，故A正确； 已知，，，， 所以，，， 解得，故B正确； 等差数列中，，可知的最大值为，故C错误； 等差数列中，所以， 继而可得，又，故D正确. 故选: ABD. 26．在数列中，，若是等差数列，，数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】累加法求数列通项、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】 由题意求出，从而得到，从而得到，再由裂项相消法求和，得到结果. 【详解】 数列是等差数列，因为， 所以，所以数列的公差为2， 所以 当时， ， 也符合上式， 所以，则，故A正确； 所以，所以，故B错误； 所以，故C正确，D错误， 故选：AC 27．已知数列的前项和满足． (1)求证：是等差数列； (2)若当且仅当时，最大，比较与的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据等差数列前n项和的最值求参数、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）根据与之间的关系可得，则，两式相减得，即可证明； （2）根据题意结合等差数列分析可知，解得，结合等差数列性质分析判断. 【详解】（1）因为，则有： 若，则，即； 且， 两式相减得， 即，则， 两式相减得，所以是等差数列. （2）设等差数列的公差为， 由题意可知：，即，解得， 则，且， 所以. 28．已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)1. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】（1）先由条件可得公差，再由等差数列前项和公式，代入计算，即可求解； （2）由等差数列的前项和公式可得，从而可得，再结合对勾函数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）为等差数列，由，得， 再由，可得， 即，化简得，解得. （2）由（1）可得，，则， 所以， 由，得， 即， 令， 由对勾函数的性质可知，当时，取得最小值， 又当时，， 当时，， 所以，故的最大值为1. 29．在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 拓展延伸 30．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.    (1)试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给个人.（已知） 【答案】(1)，，图形见解析，最少要切下 (2) (3)，最多需要切4下 【知识点】累加法求数列通项、数列-其他模型 【分析】（1）根据题意，作出相应简图，从而分析得解； （2）根据题意分析得，从而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解； （3）利用（2）中结论，分析得，进而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）如图：，，    可知，再作一条直线，使其与，，都相交于圆内，且与相交于圆上，可分为块，    故最少要切下. （2）记线段上个点将其划分成段，则， 为使得划分区域块尽可能多，每添加一条直线， 使其与前条直线，，，都相交于个不同的点， 则新增个区域块，即，且， 故. （3）记第刀所形成的切面所在平面为， 若切第刀，新增切面平面与前个平面，，，， 相交于条不同的直线，，，，， 这条不同的直线把划分的区块数即为新增的空间区块数， 由（2）可知为使此数最大，则，且， 故 ， 则，故此时最多切下即可. 试卷第20页，共21页 试卷第19页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$