5.1定义与命题（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

5.1定义与命题 题型一 判断一个语句是否是命题 1．给出下列语句：不许大声讲话；鸟是动物；连结A、B两点；无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．其中不是命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 3．下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 4．下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 题型二 判断真命题与假命题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 2．下列命题中真命题的个数是（  ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 4．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．底边相等的两个等腰三角形全等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．边长相等的两个等边三角形一定全等 5．下列命题是假命题的有（    ） ①若，则；②若a，b是有理数，则；③两点确定一条直线；④如果，那与是对顶角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．对于下列两个命题：①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等．②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等．说法正确的（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①②均为真命题 D．①②均为假命题 7．下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 8．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 题型三举反例说明一个命题是假命题 1．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 3．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 4．下列选项中，可以作为命题“两个锐角的和等于直角”是假命题的反例的是（  ） A．， B．， C．， D．， 1．在①，②，③，这三个条件中选择其中两个作为题设，一个作为结论，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，与相交于点O，连接，．若___________，求证：___________．（写出一种你判断的真命题并证明即可） 2．如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：． (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写形式，即写成如果……，那么……形式．）； (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 3．如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 4．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 5．求证：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为_______； (2)结合图形，补全此命题的已知和求证并证明． ①已知：如图，； 平分交于点， ______________________________． 求证：___________________． ②写出证明过程 (3)在中，平分交于点，若于点，，点是边上一个动点，则的最小值为______． 1．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离．则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： ①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个． 上述命题中，正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 2．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题： ①； ②； ③； ④______； … (1)将横线上的等式补充完整； (2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数； (3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由． 3．【旧知重现】 （1）教材P56有这样一道习题： 如图，、分别是和，、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． 【类比思考】 （2）下列命题中是真命题的是________．（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ③一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ④一直角边和斜边上的高分别相等的两直角三角形全等 4．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 1．某班有36位同学参加羽毛球，乒乓球比赛，每人必须选择一项或两项参赛，关于参赛人数有以下三个说法，甲说：“只参加一项的人数不少于25人．”乙说：“参加两项的人数小于10人．”丙说：“参加两项的人数是参加一项人数的一半”，对于甲、乙、丙三人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是（　　） A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则丙对 C．若丙对，则甲错 D．若甲对，则丙对 2．甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：①；②；③． (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、③，那么②） (2)选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1定义与命题 题型一 判断一个语句是否是命题 1．给出下列语句：不许大声讲话；鸟是动物；连结A、B两点；无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．其中不是命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题．命题是对一件事物做出判断的语句，要想判断一个语句是不是命题就要看这个语句是否对一件事物做出了判断． 【详解】解：：不许大声讲话，这个语句没有对一件事物做出判断，所以不是命题； 鸟是动物，这个语句对鸟做出了判断，所以是命题； 连结A、B两点，这个语句没有对一件事物做出判断，所以不是命题； 无论为怎样的自然数，式子的值都是质数，这个语句对式子的值做出判断，所以是命题． 这四个语句中有两个不是命题． 故选：B． 2．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、延长线段到，没有做出判断，不是命题； B、用量角器画，没有做出判断，不是命题； C、三角形的内角和是，做出了判断，是命题； D、任意数的平方都不小于0吗？没有做出判断，不是命题； 故选：C． 3．下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断． 【详解】解：A、是命题，故不合题意； B、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 4．下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③同角的余角相等，是命题； ④内错角相等吗？不是命题． 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 5．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 题型二 判断真命题与假命题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．下列命题中真命题的个数是（  ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、对顶角相等、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断． 根据平行线的性质、垂线的性质、对顶角相等、平行线公理，点到直线的距离逐项判断即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原选项错误，是假命题，不符合题意； ②对顶角相等，选项正确，是真命题，符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原选项错误，是假命题，不符合题意； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原选项错误，是假命题，不符合题意； ⑤在 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项正确，是真命题，符合题意． 综上所述，真命题的个数是2个． 故选：B． 3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质等等，根据对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，原命题是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 4．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．底边相等的两个等腰三角形全等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．边长相等的两个等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查真假命题，掌握对顶角的性质，全等三角形的判定性质，角平分线的性质定理，是解题的关键． 根据对顶角的性质，等腰三角形和等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A．对顶角相等，是真命题，故该选项不符合题意； B．如果底边一样，腰不一样长，根据等边对等角，两底角也不相等，故底边相等的两个等腰三角形不一定全等，所以该命题是假命题，该选项符合题意； C．角平分线上的点到角两边的距离相等，故该选项不符合题意； D．边长相等的两个等边三角形一定全等，根据等边三角形的性质等边三角形的三条边相等，根据可得两个三角形全等，故该命题是真命题，不符合题意； 故选：B． 5．下列命题是假命题的有（    ） ①若，则；②若a，b是有理数，则；③两点确定一条直线；④如果，那与是对顶角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据平方根、两点确定一条直线、绝对值、对顶角的性质，逐个判断，即可得到答案． 【详解】若，则或，故①是假命题； 当，是有理数，且，符号相同时可以得到，故②是假命题； 两点确定一条直线，故③是真命题； ，和与不一定是对顶角，故④是假命题； ∴假命题有①②④ 故选：C． 6．对于下列两个命题：①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等．②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等．说法正确的（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①②均为真命题 D．①②均为假命题 【答案】A 【分析】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①如图，由三角形中线可得，根据等底等高可得和到距离相等，即三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等．是真命题，正确； ②三角形角平分线上的点到另两边的距离相等，但这个点不一定是边上的中点，即三角形一条边上的中点到另两边的距离不一定相等，故②是假命题； 故选：A． 7．下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，再结合相关知识对各个命题逐一分析判断即可． 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； ②在同一平面内，若，则，故本选项符合题意； ③若，则与互为补角，不一定互为邻补角，故本选项不符合题意； ④如图，互为邻补角，分别平分， ， ，则互为邻补角的两角的平分线互相垂直，故本选项符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项不符合题意； 综上所述，真命题有②④， 故答案为：②④． 8．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 题型三 举反例说明一个命题是假命题 1．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不能说明，故A不符合题意； B．，则，，可以说明，故B符合题意． C．，则，，不能说明，故C不符合题意； D．，则，，不能说明，故D不符合题意． 故选：B． 2．对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．当时，满足条件，但不能得出的结论，即可判断答案． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 故能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是． 故选：A． 3．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题，判断一个命题是假命题，只要举的反例满足：符合命题的条件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题；根据四个选项中的k值进行判断即可． 【详解】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例； B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例； 选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例； 故选：B． 4．下列选项中，可以作为命题“两个锐角的和等于直角”是假命题的反例的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了命题，要想说明一个命题是假命题只要举一个反例即可，所举反例要符合命题的条件，但是不符合命题的结论． 【详解】解：A选项：，，其中是钝角不是锐角，不符合命题的条件，不能说明命题是假命题，故A选项不符合题意； B选项：，，其中，两个角都是锐角且和等于直角，不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，，其中，两个角都是锐角且和等于直角，不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意； C选项：，，其中，两个角都是锐角且和小于直角，能说明命题是假命题，故D选项符合题意； 故选：D． 1．在①，②，③，这三个条件中选择其中两个作为题设，一个作为结论，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，与相交于点O，连接，．若___________，求证：___________．（写出一种你判断的真命题并证明即可） 【答案】①，②；③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及真命题的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解本题的关键． 根据题意填写题设与结论后可证出即可． 【详解】解：①，②，求证③． 证明：在和中， ， ， ； 2．如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：． (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写形式，即写成如果……，那么……形式．）； (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了命题，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据命题书写形式，分别写出所有的正确命题，即可作答． （2）先由平行线的性质得，再证明，然后根据全等三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②， （2）解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一） 如图和中，，点在同一直线上， 求证：． 证明如下： ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 即． 3．如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 【答案】可得到4个命题，其中真命题有2个；①②④为条件，③为结论，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形判定定理，进行分析证明即可，注意：不能判定两个三角形全等． 【详解】解：可得到4个命题， ②③④为条件，①为结论，为假命题， ①③④为条件，②为结论，为真命题， ①②④为条件，③为结论，为真命题， ①②③为条件，④为结论，为假命题． 所以，其中真命题有2个． 选择以下一个真命题进行证明： ①②④为条件，③为结论． ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故本命题为真命题． 4．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 5．求证：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为_______； (2)结合图形，补全此命题的已知和求证并证明． ①已知：如图，； 平分交于点， ______________________________． 求证：___________________． ②写出证明过程 (3)在中，平分交于点，若于点，，点是边上一个动点，则的最小值为______． 【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等 (2)①平分交于点，；②见解析 (3)3 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）①根据已知，结论，具体化写出来即可． ②根据全等三角形的判定和性质证明即可． （3）根据角的平分线的性质定理和垂线段最短原理解答即可． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应角的平分线相等． ∴改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等． （2）解：①已知：如图，； 　　　平分交于点，平分交于点． 求证：． 故答案为：平分交于点，． ②证明：∵， ∴，，， ∵平分交于点，平分交于点． ∴ ∵ ∴， ∴． （3）解：过点D作于点F， 根据垂线段最短，此时，最小， ∵平分交于点，，且， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理，垂线段最短原理，命题的改写，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 1．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离．则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： ①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个． 上述命题中，正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义“距离坐标”，解题的关键是理解题意．根据“距离坐标”的定义，以及，，逐一判断即可． 【详解】解：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个，此点为点，故①正确； ②若，且，则、中有且仅有一个为，当为时，坐标点在上，分别关于点对称的两点，反之在上也有两点，但这种情况不能同时存在，故“距离坐标”为的点有且仅有个，故②正确； ③正确，如下图，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点． 故正确的有：①②③， 故选：D． 2．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题： ①； ②； ③； ④______； … (1)将横线上的等式补充完整； (2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数； (3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是真命题，见解析 【分析】本题主要查了平方差公式： （1）根据前三个等式解答即可； （2）根据平方差公式解答即可； （3）设两个连续的正奇数为，（为正整数），根据平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 为正整数， 为正整数， 两个连续的正偶数，（为正整数），它们的平方差是4的倍数； （3）解：是真命题；理由： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）． ． 为正整数， 两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍． 3．【旧知重现】 （1）教材P56有这样一道习题： 如图，、分别是和，、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． 【类比思考】 （2）下列命题中是真命题的是________．（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ③一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ④一直角边和斜边上的高分别相等的两直角三角形全等 【答案】（1）见解析；（2）①③④ 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，真假命题的判断，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）根据三角形中线的定义证明，先证明，可得，再证明即可； （2）把每个命题的题设与结论写好，画好图形，再根据全等三角形的判定方法可得出结论． 【详解】证明：（1）是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． （2）①如图，，中，，，，分别平分，，， 求证：． 证明：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；是真命题； ②如图，在与中，，，高相同，但是与不全等． ∴两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；是假命题； ③如图，，中，，，分别是，的中线，，分别是高，，， 求证：， 证明：∵，分别是高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，分别是，的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∴一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；是真命题； ④如图，如图，，中，，， ，分别是高，， 求证：， 证明：∵，分别是高， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴一直角边和斜边上的高分别相等的两直角三角形全等．是真命题； 综上①③④是真命题． 4．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 1．某班有36位同学参加羽毛球，乒乓球比赛，每人必须选择一项或两项参赛，关于参赛人数有以下三个说法，甲说：“只参加一项的人数不少于25人．”乙说：“参加两项的人数小于10人．”丙说：“参加两项的人数是参加一项人数的一半”，对于甲、乙、丙三人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是（　　） A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则丙对 C．若丙对，则甲错 D．若甲对，则丙对 【答案】C 【分析】此题主要考查了真假命题的判断，熟练运用举反例来判断命题的真假是关键，分别对选项中的题设假设正确，判断结论，进而得出答案． 【详解】解：选项A，若甲对，设只参加一项的人数为25人，可知两项都参加的人数为11人，则乙错，所以选项A不符合题意； 选项B，若乙对，设两项都参加的人数为6人，可知只参加一项的人数为30人，则丙错，所以选项B不符合题意； 选项C，若丙对，设两项都参加的人数为12人，可知只参加一项的人数为24人，则甲错，所以选项C符合题意； 选项D，若甲对，设只参加一项的人数为25人，可知两项都参加的人数为11人，则参加两项的人数不是参加一项人数的一半，丙错，所以选项D不符合题意． 故选：C． 2．甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了逻辑推理．熟练掌握找出突破口，是解题的关键． 先根据每个名次中都有人猜对，猜第二名是乙的只有一个同学，则乙是第二名，然后依次类推即可得出答案． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名乙只有丁猜到， ∴乙只能是第二名，不能是第三名； ∴甲是第三名，不可能是第一名； ∴只有丙是第一名，丙不可能是第五名，只有丁是第五名； ∴丁不可能是第四名，故第四名只能是戊． 故第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁． 故选：C． 3．如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：①；②；③． (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、③，那么②） (2)选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由． 【答案】(1)如果①，②，那么③；如果②，③，那么① (2)选“如果①，②，那么③”，理由见解析（答案不唯一） 【分析】 本题考查命题及几何证明，涉及命题定义、命题真假判断、平行线性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行线性质及全等综合知识是解决问题的关键． （1）根据题中所给条件，得到三种情况，利用平行线性质及三角形全等的判定与性质即可得到答案； （2）由（1）中得到的如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；选择其中一个，由平行线的性质及全等三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题中三个关系式，可分为三种情况：如果①，②，那么③；如果①、③，那么②；如果②，③，那么①； 当如果①，②，那么③，由平行线性质得到内错角相等，根据，，利用两个三角形全等的判定与性质即可确定命题正确； 当如果①、③，那么②，根据两个三角形全等的判定可知，已知角不是两条已知边的夹角，不能得到，从而得到不结论②，命题错误； 当如果②，③，那么①，由平行线性质得到内错角相等，再由可以推出，由，利用两个三角形全等的判定与性质即可确定命题正确； 综上所述，正确的命题是如果①，②，那么③；如果②，③，那么①； （2）解：若选“如果①，②，那么③”， 理由如下： ， ， ，， ， ， ，即； 若选“如果②，③，那么①”， 理由如下： ， ， ， ，即， 又， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$