黄金卷07（广东专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D A C D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。 9 10 11 CD AC ACD 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13.0 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1），则， 所以切线方程为， 又，设直线与图象的切点为， 则，解得. （2）， 当时，，，，所以函数单调递减， 所以，此时函数无零点； 当时，设，则，即递增， ，， 因此在即在上有唯一零点，记零点为，即， 在上，，单调递减，在上，，单调递增， 又，，，， 所以在有一个零点，在上有一个零点， 综上所述，在上有2个零点. 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 由底面为矩形，有，而平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而平面，所以平面平面， 所以， 又平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．   ，则不妨设，，, 则， 点是的中点，所以， 由平面，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成锐二面角为， ， 即平面与平面所成二面角的大小为， 17．（15分） 【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根据题意列方程组解决即可； （2）设直线，联立方程得，得，由，得，再根据弦长公式解决即可. 【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为， 所以，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，，因为直线与椭圆交于，两点， 由题可知，直线斜率为0时，，所以直线的斜率不为0， 所以设直线，联立方程，得，所以， ，所以 ，解得，此时恒成立， 所以直线的方程为直线，直线过定点， 此时，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为3. 18．（17分） 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3) 【解析】（1）从类道题中任选道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以该同学被终止比赛的概率为． （2）由题意可知，的所有可能取值为90,60,30,0， 则，， ，， 所以的分布列为： 所以． （3）该同学获得三等奖，共有两种情况， 第一轮得20分（答对2道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为； ②第一轮得30分（答对3道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为， 所以该同学获得三等奖的概率为． 19．（17分） 【答案】(1)③；(2)20；(3)2032 【解析】（1）数列满足：或1（k=1,2,…,n－1）． 对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等． ∴在①中，1，1，2，2，不符合题目条件； 在②中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件； 在③中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件； 故所有符合题目条件的数列的序号为③． （2）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意． ①假设，则有（对任意）， 与已知矛盾，所以． 同理可证：． ②假设，则存在唯一的，使得． 则对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以． 综上，，， 所以，故S的最小值为20. （3）设1，2，…，2024出现频数依次为． 同（2）的证明，可得，所以． 取，，得到的数列为： 下面证明满足题目要求． 对，不妨令， ①如果或，由于，所以符合条件； ②如果或， 由于，， 所以也成立； ③如果，则可选取； 同样的，如果，则可选取， 使得，且i，j，s，t两两不相等； ④如果，则可选取， 注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立． 综上对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等． 因此满足题目要求， 所以n的最小值为2032． 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 4．在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则（    ） A．126 B．124 C．64 D．62 5．某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ）      A． B． C． D． 6．已知实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 8．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 10．已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 11．如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（    ）    A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ． 13．已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 14．已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数，e为自然对数的底数，函数. (1)若在处的切线也是的切线，求实数a的值； (2)求在上的零点个数. 16．（15分）四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE． (1)证明：面DEF； (2)若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小． 17．（15分）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的的标准方程； (2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值. 18．（17分）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 19．（17分）数列，满足：或，对任意i，j都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，2，2    ②1，1，1，2，2，2    ③1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，求S的最小值； (3)若，求n的最小值． 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由集合且，得，所以. 故选：D 2．在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意可得：， 由正弦定理可得.故选：D. 3．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为.故选：D. 4．在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则（    ） A．126 B．124 C．64 D．62 【答案】A 【分析】根据成等差数列建立等量关系，计算等比数列的公比，代入公式求和. 【详解】设等比数列的公比为， ∵成等差数列， ∴， ∴，即， 解得， ∴. 故选：A. 5．某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度，   ，， 在中，，， ，解得：， 即灯光带的最小长度为.故选：C. 6．已知实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得，再结合选项逐项判断可得答案. 【详解】因为，则， ， 因为，所以， 令，则 ，所以，又因为，所以，可得， 所以， 对于A，因为，所以，由得， 所以，可得，故A错误；     对于B，即证，因为，所以，由得，所以，故B错误； 对于C，即证，因为，所以，由得，所以，故C错误；     对于D，，因为，所以，由得，所以，即，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用对数函数、指数函数的单调性得出，考查了学生运算求解能力. 7．已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可. 【详解】 由题意得，设一条渐近线的方程为， 所以，由勾股定理得， 因为垂直于渐近线，所以， 因为，所以，而， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 化简得，所以，故，则B正确. 故选：B 8．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且对恒成立，设，则问题转化为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分和两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得. 【详解】由题意可知，，即对恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，；当时，． ①在上，若恒成立，即，； ②在上，若，则恒成立，即恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以，综上所述，实数的取值范围为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】CD 【分析】根据复数的虚部即可判断A，根据复数的乘法以及模长公式即可判断BC，根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】由题意可得，所以的虚部为，A错误， ，故，B错误， ，C正确， 表示点到的距离不大于1的点构成的图形，故为以为圆心，以1为半径的圆以及内部，故面积为，D正确， 故选：CD 10．已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 【答案】AC 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性 【分析】对于AC：根据对称性的定义分析判断；对于B：根据A中结论根据周期性的定义分析判断；对于D：换元令，构建函数，结合单调性和奇偶性分析值域即可. 【详解】对于选项A：令，解得， 可知的定义域为， 且， ， 可得，所以关于对称，故A正确； 对于选项B：因为， 所以不是的周期，故B错误； 对于选项C：因为， 所以是的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：令，则， 且在单调递增，则， 可知在上的范围为， 且，可知为奇函数， 则在上的范围为， 所以的值域为，故D错误. 故选：AC. 11．如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（    ）    A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值. 【详解】   对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误； 若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确； 若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以点到的距离， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题. 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ． 【答案】 【解析】， 又， 所以， 所以 ， 13．已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 【答案】0 【解析】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称， 又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称， 所以，所以，即， 所以，则函数的一个周期为4， 对， 令，则，所以， 令，则，又，所以， ， 所以. 14．已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 求得四边形面积最小时点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线的方程. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径， ， 所以当最小，也即垂直时，四边形面积最小， 直线的斜率为，则此时直线的斜率为， 则直线的方程为，由，解得， 即，对应，， 以为圆心，半径为的圆的方程为：， 即， 由， 两式相减并化简得， 也即直线的方程为. 故答案为：    【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数，e为自然对数的底数，函数. (1)若在处的切线也是的切线，求实数a的值； (2)求在上的零点个数. 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1），则， 所以切线方程为， 又，设直线与图象的切点为， 则，解得. （2）， 当时，，，，所以函数单调递减， 所以，此时函数无零点； 当时，设，则，即递增， ，， 因此在即在上有唯一零点，记零点为，即， 在上，，单调递减，在上，，单调递增， 又，，，， 所以在有一个零点，在上有一个零点， 综上所述，在上有2个零点. 16．（15分）四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE． (1)证明：面DEF； (2)若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 由底面为矩形，有，而平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而平面，所以平面平面， 所以， 又平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．   ，则不妨设，，, 则， 点是的中点，所以， 由平面，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成锐二面角为， ， 即平面与平面所成二面角的大小为， 17．（15分）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的的标准方程； (2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值. 【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根据题意列方程组解决即可； （2）设直线，联立方程得，得，由，得，再根据弦长公式解决即可. 【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为， 所以，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，，因为直线与椭圆交于，两点， 由题可知，直线斜率为0时，，所以直线的斜率不为0， 所以设直线，联立方程，得，所以， ，所以 ，解得，此时恒成立， 所以直线的方程为直线，直线过定点， 此时，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为3. 18．（17分）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3) 【解析】（1）从类道题中任选道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以该同学被终止比赛的概率为． （2）由题意可知，的所有可能取值为90,60,30,0， 则，， ，， 所以的分布列为： 所以． （3）该同学获得三等奖，共有两种情况， 第一轮得20分（答对2道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为； ②第一轮得30分（答对3道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为， 所以该同学获得三等奖的概率为． 19．（17分）数列，满足：或，对任意i，j都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，2，2    ②1，1，1，2，2，2    ③1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，求S的最小值； (3)若，求n的最小值． 【答案】(1)③；(2)20；(3)2032 【解析】（1）数列满足：或1（k=1,2,…,n－1）． 对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等． ∴在①中，1，1，2，2，不符合题目条件； 在②中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件； 在③中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件； 故所有符合题目条件的数列的序号为③． （2）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意． ①假设，则有（对任意）， 与已知矛盾，所以． 同理可证：． ②假设，则存在唯一的，使得． 则对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以． 综上，，， 所以，故S的最小值为20. （3）设1，2，…，2024出现频数依次为． 同（2）的证明，可得，所以． 取，，得到的数列为： 下面证明满足题目要求． 对，不妨令， ①如果或，由于，所以符合条件； ②如果或， 由于，， 所以也成立； ③如果，则可选取； 同样的，如果，则可选取， 使得，且i，j，s，t两两不相等； ④如果，则可选取， 注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立． 综上对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等． 因此满足题目要求， 所以n的最小值为2032． 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$