复习01 集合与常用逻辑用语的含参问题（七大题型）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习01 集合与常用逻辑用语的含参问题 题型聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 根据元素与集合的关系求参数】 【题型2 根据集合中的元素个数求参数】 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 【题型5 根据集合的交、并、补集求参数】 【题型6 根据充分、必要条件求参数】 【题型7 根据含量词命题的真假求参数】 知识点 1 ：集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 知识点 2 ：集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 知识点 3 ：集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 知识点 4 ：充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 知识点 5 ：全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 难点 1 ：元素与集合的参数问题 先利用确定性解出字母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. 难点 2 ：集合间的参数问题 （1）当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; （2）当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用， 难点 3 ：交、并、补运算的参数问题 （1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； （2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 难点 4 ：充分必要条件的参数问题 （1）利用充分、必要条件求参数的思路：:根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将等价转化,再根据充分、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解； （2）从集合角度看充分、必要条件:设命题分别对应集合,若,则p是q的充分条件;若，则是的必要条件. 难点 5 ：含量词命题的参数问题 （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决； （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设 题型归纳 【题型1 根据元素与集合的关系求参数】 例1．（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 例2．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知集合，则实数的取值范围为 ． 变式1-2．已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 变式1-3．已知集合，，若，则实数 . 【题型2 根据集合中的元素个数求参数】 例3．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 变式2-1．若集合的子集只有两个，则实数 ． 变式2-2．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 变式2-3．已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 例5．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 例6．若集合，则 . 变式3-1．已知数集，，若，则 . 变式3-2．1.若集合，则的值为 变式3-3．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 例7．已知集合，且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．3 例8．已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 变式4-1．（多选）设集合，，且，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 变式4-2．若集合，，且，则实数 ． 变式4-3．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【题型5 根据集合的交、并、补集求参数】 例9．已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 例10．已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 变式5-1．已知集合，，，，求： (1)的值； (2)集合和集合； (3)，的值. 变式5-2．已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 变式5-3．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【题型6 根据充分、必要条件求参数】 例11．已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 例12．已知集合，全集． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式6-1．已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 变式6-3.已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【题型7 根据含量词命题的真假求参数】 例13．已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 例14．已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 变式7-1．若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 变式7-2．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 变式7-3．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 2．（23-24高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东汕头 期中）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 6．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 10．（23-24高一上·安徽宿州·阶段练习）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 13．（23-24高一上·福建泉州·期中）集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若集合，则 ． 四、解答题 15．（2024高一·福建厦门 期中）设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 16．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 17．（23-24高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 18．（23-24高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 19．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. (1)求集合 (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习01 集合与常用逻辑用语的含参问题 题型聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 根据元素与集合的关系求参数】 【题型2 根据集合中的元素个数求参数】 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 【题型5 根据集合的交、并、补集求参数】 【题型6 根据充分、必要条件求参数】 【题型7 根据含量词命题的真假求参数】 知识点 1 ：集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 知识点 2 ：集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 知识点 3 ：集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 知识点 4 ：充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 知识点 5 ：全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 难点 1 ：元素与集合的参数问题 先利用确定性解出字母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. 难点 2 ：集合间的参数问题 （1）当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; （2）当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用， 难点 3 ：交、并、补运算的参数问题 （1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； （2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 难点 4 ：充分必要条件的参数问题 （1）利用充分、必要条件求参数的思路：:根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将等价转化,再根据充分、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解； （2）从集合角度看充分、必要条件:设命题分别对应集合,若,则p是q的充分条件;若，则是的必要条件. 难点 5 ：含量词命题的参数问题 （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决； （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设 题型归纳 【题型1 根据元素与集合的关系求参数】 例1．（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【详解】集合，则， 解得，可知BD符合题意， 故选：BD. 例2．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 变式1-1．已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式1-2．已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 变式1-3．已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【题型2 根据集合中的元素个数求参数】 例3．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 例4．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 变式2-1．若集合的子集只有两个，则实数 ． 【答案】0或 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 故答案为：0或． 变式2-2．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 【答案】/ 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 变式2-3．已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 例5．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 例6．若集合，则 . 【答案】1 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 变式3-1．已知数集，，若，则 . 【答案】1 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 变式3-2．1.若集合，则的值为 【答案】12 【详解】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 变式3-3．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 例7．已知集合，且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】因为，且， 则,所以. 故选：D. 例8．已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 变式4-1．（多选）设集合，，且，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】ACD 【详解】， 因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，，解得， 综上，或2或. 故选：ACD 变式4-2．若集合，，且，则实数 ． 【答案】0或1 【详解】由题设，又，且， 由于，讨论如下： 当，即时，，满足； 当，即时，，满足； 而或或时，，不满足. 所以0或1. 故答案为：0或1 变式4-3．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为集合，，显然， 若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型5 根据集合的交、并、补集求参数】 例9．已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】解得，即， ∵，∴ 故答案为： 例10．已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，所以，则， 由，得，则. （2）假设存在实数，使得，由，得， 则，方程组无解，从而假设不成立， 故不存在实数，使得. 变式5-1．已知集合，，，，求： (1)的值； (2)集合和集合； (3)，的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【详解】（1）由题设，故，则. （2）由（1）知：， 又，，所以； （3）由（2）知，则，可得. 变式5-2．已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）若，则， 所以或，又集合或， 所以或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时符合题意，此时，即； 当时，要使， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 变式5-3．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 【题型6 根据充分、必要条件求参数】 例11．已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，， 若是成立的充分条件，则， 所以，，解得. 故选：C. 例12．已知集合，全集． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，或， 又， 故或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解集为， 若，则或， 解得， 综上，实数的取值范围是 变式6-1．已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 变式6-2．已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 变式6-3.已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； （2）由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 【题型7 根据含量词命题的真假求参数】 例13．已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 例14．已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 变式7-1．若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 变式7-2．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 变式7-3．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 过关检测 一、单选题 1．（2023-24高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 2．（2023-24高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】C 【详解】因为，且， 所以，则或，解得或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足元素的互异性，故舍去； 当时，，，不满足，故舍去； 同理，则则或，即或或， 由以上分析可知符合题意，不符合题意， 时，，，不符合题意； 综上可得. 故选：C 3．（2023-24高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得. 故选：D. 4．（2023-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由命题“，”为真命题可得恒成立， 即可得； 可推得，而推不出，即只有A符合题意； 故选：A 5．（2023-24高一上·广东汕头 期中）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 6．（2023-24高三上·山东青岛·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，， 因为， 所以，即. 故选：C 7．（2023-24高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 8．（2023-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 二、多选题 9．（2023-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：若A中只有一个元素， 即方程有一个根，或两个相等实根， 当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程有两个相等实根， 所以，即， 所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误； 对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中有两个元素时，方程有两个不等实根， 所以即且， 所以若A中至少有一个元素，则，故B正确； 对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中没有元素时，即方程无实根， 所以即， 所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误； 对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误； 故选：ACD 10．（2023-24高一上·安徽宿州·阶段练习）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，或为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以． 故选：BD． 11．（2023-24高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 三、填空题 12．（2023-24高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【答案】 【详解】解：由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 13．（2023-24高一上·福建泉州·期中）集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 【答案】（的范围为集合的真子集即可） 【详解】因为集合，，且，则， 故使得的一个充分不必要条件为“”. 故答案为：（的范围为集合的真子集即可）. 14．（2023-24高一上·江苏南通·阶段练习）若集合，则 ． 【答案】或 【详解】集合，即方程有唯一根， 所以或， 解得或， 所以或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（2024高一·福建厦门 期中）设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 【答案】(1)两个， (2)不能，理由见解析 【详解】（1）由于，则， 因此，. 于是，所以中至少还有两个元素：. （2）若，则，且中只有一个元素，所以，即，，该方程在实数范围内无解，所以中不能只含有一个元素. 16．（2023-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 17．（2023-24高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 18．（2023-24高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 19．（2023-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. (1)求集合 (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为命题为假命题，所以关于的一元二次方程无解， 即，解得， 故集合，所以或； （2）由是的必要不充分条件，则BA， 当时，，解得，此时满足BA， 当时， 则，且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$